等腰三角形的性质.docx

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等腰三角形的性质

13.3.1等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

教学目标

（一）教学知识点

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

（二）能力训练要求

1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．

2．探索并掌握等腰三角形的性质．

教学重点

1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用．

教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学过程

提出问题，创设情境

在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：

①三角形是轴对称图形吗？

②什么样的三角形是轴对称图形？

导入新课

同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

提问：

1．等腰三角形是轴对称图形吗？

请找出它的对称轴．

2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

底边上的高所在的直线呢？

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：

△ABC各角的度数．

分析：

根据等边对等角的性质，我们可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x，则

∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°

，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．

随堂练习

练习

1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

答案：

（1）72°

（2）30°

2．如右图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

答案：

∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3．如右图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

答：

∠B=77°，∠C=38.5°．

课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简

单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

活动与探究

如右图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：

AE=CE．

过程：

通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．

结果：

证明：

延长CD交AB的延长线于P，如右图，在△ADP和△A

DC中

∴△ADP≌△ADC．

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP，

∴∠4=∠P．

∴∠4=∠ACD．

∴DE=EC．

同理可证：

AE=DE．

∴AE=CE．

板书设计

等腰三角形

一、设计方案作出一个等腰三角形

二、等腰三角形性质

1．等边对等角

2．三线合一

第2课时　含30°角的直角三角形的性质

1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．（重点）

2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．（难点）

一、情境导入

问题：

1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？

2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？

今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．

二、合作探究

探究点：

含30°角的直角三角形的性质

【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）

A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm

解析：

在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.

方法总结：

运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于（　　）

A．3B．2C．1.5D．1

解析：

如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝

PC＝

×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.

方法总结：

含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．

【类型三】利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？

请说明理由．

解析：

由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝

DB.

解：

CD＝

DB.理由如下：

∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED（ASA），∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝

∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝

AD＝

BD，即CD＝

DB.

方法总结：

含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．

【类型四】利用含30°角的直角三角形解决实际问题

某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？

解析：

作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．

解：

如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝

AB＝20m，∴S△ABC＝

×50×20＝500（m2）．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．

方法总结：

解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．

三、板书设计

含30°角的直角三角形的性质

性质：

在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．