知识讲解空间直角坐标系提高.docx
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知识讲解空间直角坐标系提高
空间直角坐标系
【学习目标】
通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置•通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式•
【要点梳理】
要点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点0引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点
0叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平
面、yOz平面、zOx平面•
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的
正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
要点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：
原点0,0,0；x,y,z轴上的点的坐标分别为x,0,0,0,y,0,0,0,z；坐标平面
xOy,yOz,xOz上的点的坐标分别为x,y,0,0,y,z,x,0,z.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点Px,y,z，则有
点P关于原点的对称点是p（―x,-y,—z）；
点P关于横轴（x轴）的对称点是p,x,-y,-z；
点P关于纵轴（y轴）的对称点是F3-x,y,-z；
点P关于竖轴（z轴）的对称点是r（_x,—y,z）；
点P关于坐标平面xOy的对称点是P-x,y,-z；
点P关于坐标平面yOz的对称点是P6-x,y,z；
点P关于坐标平面xOz的对称点是P7x,-y,z.
要点三、空间两点间距离公式
1.空间两点间距离公式
空间中有两点Axi,yi,Zi,BX2,y2,Z2，则此两点间的距离
d=|AB\=.（X1~X2）（yi~■y2）（Z1~'Z2）•
特别地，点Ax,y,z与原点间的距离公式为OA=xy-z.
2.空间线段中点坐标
空间中有两点
Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2，则线段AB的中点C的坐标为
%+y2乙+Z2■
2，2_
【典型例题】
类型一：
空间坐标系
例1.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。
（1）求各顶点的坐标；
（2）求棱C1C中点的坐标；
（3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。
【答案】
（1）略
（2）1,1，丄（3）丄,0,丄
I2丿辽2丿
【解析】如图所示，由棱长为1，可得
（1）
■E
各顶点坐标分别是A（0,0,0）、B（1,0,0）、C（1,1,0）、D（0,1,0）、A1（0,0,1）、B1（1,0,1）、C1（1,1,1）、D1（0,1,1）;
（1）
（2）棱CC1中点为M1,1-；
I2丿
…、、『11）
（3）平面AA1B1B对角线交点为N—,0,-
122丿
p&+x24+Z2]
.2,2,2。
（2）
X
熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。
举一反三：
【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N
是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标.
【答案】O（0,0,0）,A（1,0,0）,B（1,1,0）,C（0,1,0）,D1（0,0,
1
1）,A1（1,0,1）,B1（1,1,1）,C1（0,1,1）,N（1,1,）。
2
例2.在平面直角坐标系中，点P（x,y）的几种特殊的对称点的坐标如下：
（1）关于原点的对称点是p/（—x,—y）;
（2）关于x轴的对称点是P"（x,—y）;
（3）关于y轴的对称点是P'''（—x,y）.
那么，在空间直角坐标系内，点P（x,y,z）的几种特殊的对称点坐标为:
1关于原点的对称点是P1;
2关于横轴（x轴）的对称点是P2；
③关于纵轴（y轴）的对称点是
P3
;
④关于竖轴（z轴）的对称点是
P4
;
⑤关于xOy坐标平面的对称点是
P5
;
⑥关于yOz坐标平面的对称点是
P6
;
⑦关于zOx坐标平面的对称点是
P7
【答案】①（—X,—y,—z）x,—y,—z）③（—x,y,—z）④（—x,-y,z）
⑤（x,y,—z）⑥（一x,y,z）炉（x,—y,z）
【解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下
结论：
①Pi（—x,—y,—z尢②P2（x,—y,—z）；③P3（—x,y,—z兀④P4（—x,—y,z）；⑤P5（x,y,—z）;⑥P6（—x,y,z）;⑦P7（x,—y,z）.
【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：
如P点关于原点的对称点Pi,
则有PPi的中点为原点。
由中点坐标公式即可求出Pi点坐标.
上述结论的记忆方法：
“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于xoy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反.
举一反三：
【变式11
（1）在空间直角坐标系中，点P（—2,1,4）关于x轴对称的点的坐标是（）.
A.（—2,1,—4）B.（—2,—1,—4）
（2）在空间直角坐标系中，点P（—2,1,4）
A.（—2,1,—4）B.（—2,—I,—4）
【答案】
（1）B
（2）A
类型二：
两点间的距离公式
例3•如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中过点O作OD丄AC于D，求点01到点D的距离。
【答案】亠286
C.（2,—1,4）D.（2,1,—4）关于xOy平面对称的点的坐标是（）.
C.（2,—1,4）D.（2,1,—4）
13
设D（x,y,0）。
在Rt△AOC中,
如右图，过点D分别作DM丄OA于M,DN丄OC于N,贝URt△ODA与Rt△OMD
相似,
36
可得|OM|
-||,T|OM|-x,•••|OD|2=x•|OA|,•
18
|OD|
|OA|
2
13
同样的，利用RtAODC与Rt△ODN相似,
【总结升华】若原题目中没有建立坐标系，要注意根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多
的点在坐标轴或坐标平面上。
举一反三：
【变式1】在长方体ABCD—AiBiCiDi中，AB=AD=6,AA!
=4，点M在AiCi上,|MC!
|=2|AiMi|,N在CiD上且为CiD的中点，求M、N两点间的距离.
【答案】
M、N两点间的距离为,2io
【变式2】
已知两点A（-4,1,7）和B（3,5,-2），点P在z轴上，若|PA|=|PB|,求点P的坐标.
例4.在正方体ABCD—AiBiCiDi中，P为平面AiBiCiDi的中心，求证：
PA丄PBi.
【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设棱长为1,则A（1,0,0）,Bi（1,1,1）,P〕」，1j,
122丿
由两点间的距离公式得
分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、
0）,
M、N
b2
AM,2a2b2c2
|AN|二
2,|AB1^-'12-12^-；2
2
222
•/|AP|+|PBi|=|ABi|=2,•••AP丄PBi.
【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照
比较，也更体现出了坐标法解题的优越性.
依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，禾U用空间中两点问的距离公式可以求距离、证垂直、求举一反三：
【变式1】如右图所示，已知PA丄平面ABCD，平面ABCD为矩形，分别是AB、PC的中点，求证：
MN丄AB。
【答案】如图所示，以A为坐标原点，
y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）,设B（a,0,0）,D（0,b,
aabc
P（0,0,c）,因为M、N分别是AB、PC的中点，所以MJ0）,N窕,c
2
方法一：
连接AN，在△AMN中，有|AM|2二邑,|MN|2
4
，所以|AN|2=|MN|2+|AM|2,所以MN丄AB。
MN丄AB。
ABEF，点M在AC上移动，点N
|AN|=|BN|，所以△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，所以例5.正方形ABCD,ABEF的边长都是1，并且平面ABCD丄平面
在BF上移动。
若|CM|=|BN|=a（0：
a•2）。
（1）求MN的长度；
（2）当a为何值时，MN的长度最短。
【答案】
（1）■.a2-•一2a1
（2）
【解析】因为平面ABCD丄平面ABEF，且交线为AB,BE丄AB，所以BE丄平面ABCD，所以BA,BC,BE两两垂直。
取B为坐标原点，过BA,BE,BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图4-3-12所示的空间直角坐标系。
因为|BC|=1,|CM|=a,且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点
|BN|=a，所以点N—a^-a,0。
I22丿
（1）由空间两点间的距离公式，得
即MN的长度为.a-.2a1。
（2）由
（1）得|MN；a2-•2a1二
（满足0：
：
：
a：
：
：
）时,
\（42^1、一一、血
ja+—取得最小值，即MN的长度最短，最短为—。
叽2丿22
【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题
转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN的最小
值。
举一反三:
【变式1】正方体ABCD-ABCD的棱长为1,M为AC的中点，点N在DD上运动，求|MN|的最小值.
-11
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系•由题意可知点M的坐标为（丄,,0）,由于点N在z轴上,
22
故设N的坐标为（0,0,z），由两点间的距离公式可得:
|MN|=11z2
\44
.要使|MN|最小，只需
z=0,
|MN|有最小值为
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