安徽大学07081B《量子力学》试题及答案.docx
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安徽大学07081B《量子力学》试题及答案
安徽大学2007—2008学年第1学期
《量子力学》考试试卷(B卷)
(时间120分钟)
题号
一
二
三
四
总分
得分
阅卷人
一、简答题(每小题5分,共20分)
1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2.一质量为的粒子在一维无限深方势阱V(x)=⎧0,
0
中运动,写出其状态波函数和能级表达式。
⎨∞,
x<0,
x>2a
3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
4.电子自旋假设的两个要点。
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.用球坐标表示,粒子波函数表为
ψ(r,θ,ϕ)
,则粒子在立体角dΩ中被测到的几率为
。
z
6.(L2,L)的共同本征函数是,相应的本征值分别
是和。
7.
⎡⎣z,pz⎤⎦=
,⎡⎣Lx,Lz⎤⎦=
,[y,Lz]=,
⎡⎣σy,σx⎤⎦=
,⎡⎣Ly,pz⎤⎦=
。
⎛ψ(r,/2)⎫
8.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ
(r,sz)=ç
⎪,则
ψ(r,/2)2
⎝ψ(r,-/2)⎭
表示,
⎰d3rψ(r,-/2)2表示。
三、证明题(每小题10分,共20分)
p2
9.一维运动中,哈密顿量
H=+V(x),证明:
2m
ip2dd
①[x,H]=
=
mmdx
;②[p,H]=-idxV(x)。
10.在直角坐标系中,证明:
[L,p2]=0,其中L为角动量算符,p为动量算符。
四、计算题(共40分)
11.设粒子处于一维无限深势阱
V(x)=⎧0,
0⎩
⎨∞,
x<0或
x>a
中,求处于定态ψn(x)中的粒子位置x的平均值。
(10分)
12.一质量为m的粒子在一维势箱02⎛1πx3πx⎫
ψ(x)=
çsin+
a⎝2a
sin⎪
2a⎭
①该量子态是否为能量算符H的本征态?
②对该系统进行能量测量,其可能的结果及其所对应的概率为何?
③处于该量子态粒子能量的平均值为多少?
(15分)
13.
一维无限深势阱(0H'=⎧2λx/a,
⎩
0a/2的作用,求基态能量的一级修正。
(15分)
2007-2008学年第一学期《量子力学》(B)卷参考解答及评分标准
一、简答题
1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
答:
束缚态:
粒子在一定范围内运动,r→∞时,ψ
→0。
能级分立。
非束缚态:
粒子的运动范围没有限制,r→∞时,ψ不趋于0。
能级连续分布。
2.
⎩
一质量为的粒子在一维无限深方势阱V(x)=⎧0,
0
中运动,写出其状态波函数和能级表达式。
⎨∞,
x<0,
x>2a
解:
ψ
⎧
(x)=⎪
⎪
⎩
π22n2
sinnπx,
2a
0,
0x≤0,x≥2a
En=
8μa2,
n=1,2,3,
3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
解:
ψ
(x)=Ae-α2x2/2H
(αx),An=。
E=⎛n+1⎫ω,
n=0,1,2,
2
nç⎪
⎝⎭
4.电子自旋假设的两个要点。
解:
(1)电子具有自旋角动量s,它在空间任意方向的投影只有两个取值:
±2;
(2)电子具有自旋磁矩M,它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍,
即
自旋回转磁比值
gs=
=e=2⎛取
mc⎝
e
2mc
为单位⎫,
⎭
轨道回转磁比值
gl=
=e
2mc
=1。
二、填充题
5.用球坐标表示,粒子波函数表为
ψ(r,θ,ϕ)
,则粒子在立体角dΩ中被测到
∞
的几率为P=dΩ⎰ψ(r,θ,ϕ)2r2dr0
6.(L2,L)的共同本征函数是球谐函数Y
(θ,ϕ)
,相应的本征值分别是
L2Y
z
(θ,ϕ)=l(l+1)2Y
(θ,ϕ)
lm
和LY(θ,ϕ)=mY
(θ,ϕ)。
7.
⎣⎡z,pz⎦⎤=i
⎣⎡Lx,Lz⎦⎤=-iLy
[y,Lz]=ix
⎡⎣σy,σx⎤⎦=-2iσz⎡⎣Ly,pz⎤⎦=ipx
⎛ψ(r,
/2)⎫
8.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ
(r,sz)=ç
⎪,则
ψ(r,/2)2表示电子自旋向上(s
⎝ψ(r,-/2)⎭
=2)、位置在r处的几率密度;
⎰d3r
ψ(r,-/2)2表示电子自旋向下(s
=-2)的几率。
三、证明题
9.一维运动中,哈密顿量
2
H=+V(x),证明:
2m
ip2dd
[x,H]=
=
mmdx
,[p,H]=-idxV(x)。
[]=1[
2]=1⋅2
=ip=2d
证:
x,H
2mx,p
2mipm
,
mdx
[p,H]=[p,V(x)]=-i
dV(x)。
dx
10.在直角坐标系中,证明:
[L,p2]=0,其中L为角动量算符,p为动量算
符。
证:
[L
p2]=[L,p2+p2+p2]=[L,p2]+[L,p2]
xxxyzxyxz
=py[Lx,py]+[Lx,py]py+pz[Lx,pz]+[Lx,pz]pz
=i(pypz+pzpy)-i(pzpy+pypz)=0;
同理,
[L,p2]=0,
[L,p2]=0
所以
[L,p2]=0
四、计算题
11.设粒子处于一维无限深势阱
V(x)=⎧0,
0⎩
⎨∞,
x<0或
x>a
中,求处于定态ψn(x)中的粒子位置x的平均值。
解:
ψ
⎧
(x)=⎪
sinnπx,
a
0
2a
⎪0,
nπx
x<0或
a
x>a
x=⎰sin2xdx=。
a0a2
12.一质量为m的粒子在一维势箱02⎛1πx3πx⎫
ψ(x)=
çsin+
a⎝2a
sin⎪
2a⎭
①该量子态是否为能量算符H的本征态?
②对该系统进行能量测量,其可能的结果及其所对应的概率为何?
③处于该量子态粒子能量的平均值为多少?
解:
①在此一维势箱中运动的粒子,其波函数和能量表达式为
⎧
ψn⎨
⎪0,
sinnπx,
a
0x≤0或x≥a
n2π22
En2μa2,
n=1,2,3,
对波函数的分析可知
ψ(x)=1ψ
2
1(x)+
3(x)
23
即粒子处在ψ1(x)和ψ3(x)的叠加态,该量子态不是能量算符H的本征态。
②由于ψ(x)是能量本征态ψ1(x)和ψ3(x)的线性组合,而且是归一化的,因此能量测量的可能值为
π22
E1=2μa2,
π22
E3=2μa2
其出现的概率分别为
⎛1⎫21
⎛3⎫23
ç2⎪=4,
ç⎪=
24
⎝⎭⎝⎭
③能量测量的平均值为
13⎛13⎫π22
7π22
E=4E1+4E3=ç4+4⨯9⎪2μa2=
2μa2
⎝⎭
13.一维无限深势阱(0H'=⎧2λx/a,
⎩
0a/2的作用,求基态能量的一级修正。
0a2a
解:
一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为
(0)=π22n2
(0)
nπx
En
(0)
2μa2
π22
ψn
=
(0)
sin
a
πx
n=1,2,3,
基态,
E1=2μa2,
ψ1=
sin。
a
基态能量的一级修正为
E
(1)=H'=⎰
ψ(0)2'
=2⎰a
2sin2πx⋅2λxdx+2⎰a
sin2πx⋅2λ⎛1-x⎫dx。
a0aa
aa2aç⎪
作变换:
u=πx,
a
x=au,
π
dx=adu;
p
代入上式完成积分:
v=π-πx,
a
x=a-av,
p
dx=-adv。
p
(1)
1
=4λ
π2
π2
⎰sin2
0
u⋅udu-4λ
ππ2
sin
2(π-v)
∙vdv
8λπ2
⎛12⎫
=π2
sin2u⋅udu=ç
0⎝2
+⎪λ,
π⎭
(0)
(1)
π22⎛12⎫
E1=E1
+
E1
=2μa2+ç2+π2⎪λ。
⎝⎭