高等数学同济版多元函数微分学练习题册.docx
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高等数学同济版多元函数微分学练习题册
第八章多元函数微分法及其应用
第 一 节 作 业
一、填空题:
1. 函数z = ln(1 - x 2 ) +y - x 2 + 3 x + y + 1的定义域为
2. 函数f ( x, y, z) = arccos
z
x 2 + y 2
的定义域为
3. 设f ( x, y) = x 2 - y 2 ,ϕ ( x) = cos x,ψ ( x) = sin x, 则f [ϕ ( x),ψ ( x)] =
.
4. lim sin xy
x→0x
y→a
=
.
二、选择题(单选):
sin x sin y 的所有间断点是:
(A) x=y=2nπ(n=1,2,3,…);
(B) x=y=nπ(n=1,2,3,…);
(C) x=y=mπ(m=0,±1,±2,…);
(D) x=nπ,y=mπ(n=0,±1,±2,…,m=0,±1,±2,…)。
答:
()
⎧ sin 2( x 2 + y 2
⎪
⎪2 ,x 2 + y 2 = 0
在点(0,0)处:
(A)无定义;(B)无极限;(C)有极限但不连续;
(D)连续。
答:
( )
三、求 lim 2 -xy + 4
x→0xy
y→a
.
四、证明极限 limx 2 y 2
x→0 x 2 y 2 + ( x - y) 2
y→0
不存在。
71 / 13
一、填空题:
⎧ 1
⎩
第 二 节 作 业
x
.
2. 设f ( x, y) = x + ( y - 1) arcsin
x
y .
:
二、选择题(单选)
设z = 2 x+ y2 , 则z 等于 :
y
( A) y ⋅ 2 x+ y2 ⋅ ln 4;( B) ( x + y 2 ) ⋅ 2 y ln 4;(C ) 2 y( x + y 2 )e x+ y 2 ;( D) 2 y ⋅ 4 x+ y 2 .
答:
()
三、试解下列各题:
x∂z ∂z
y∂x ∂y
y ∂ 2z
x ∂x∂y
四、验证 r =x 2 + y 2 + z 2 满足
∂ 2 r ∂ 2 r ∂ 2 r 2
+ + = .
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r
第 三 节 作 业
一、填空题:
1. 函数z =
dz =
y
x
当x = 2, y = 1, ∆x = 0.1, ∆y = -0.2时的全增量∆z =
.
全微分值
y
2. 设z = e x , 则dz =
.
:
二、选择题(单选)
1. 函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)两偏导数存在是函数在该点全微分存在的:
(A)充分条件;(B)充要条件;(C)必要条件;(D)无关条件。
答:
()
72 / 13
2. f(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数 fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是 f(x,y)在该点连续的:
(A)充分必要条件;(B)必要非充分条件;
(C)充分非必要条件;(D)既非充分亦非必要条件。
答:
()
三、试解下列各题:
1. 设z = xy + x , 求dz.
3. 求函数z = ln(1 + x 2 + y 2 )当x = 1, y = 2时的全微分.
4. 设z = arccosx
x 2 + y 2
求dz.
四、证明:
f ( x, ) =xy 在点(0,0)处的偏导数存在,但在点(0,0)处不可微。
第 四 节 作 业
一、填空题:
1. 设z = e x-2 y , 而x = sin t, y = t 3 , 则 dz
dt
=
.
73 / 13
∂z
y∂x.
3. 设z = f ( x + y, x - y), f可微, 则dz =
:
二、选择题(单选)
1. 设u = ( x - y) z , 而z = x 2 + y 2 , 则u + u 等于 :
xy
( A) 2[ z( x - y) z-1 + ( x + y)( x - y) z ln(x - y)];
(C ) 2( x - y) z ( x + y) ln( x - y);
.
(B) 2 z( x - y) z ;
(D) 2( x - y) z+1 ln(x - y).
答:
( )
2. 设z = 3 xy , 而x = f ( y)且f可导, 则
( A) 3 xy [ y + xf '( y)]ln 3;
3 xy
(C )[ x + yf '( y)];
ln 3
dz
dy
等于 :
( B) 3 xy [ x + yf '( y)]ln 3;
( D) z f '( y) + z - 3 xy [[ x + yf '( y)]ln 3.
x y
答:
( )
∂ 2
∂x∂z
( A) f ' + xf " + zf " + xf " ;( B) xf " + xf ' + xzf " ;
211121212222
(C ) xf " + xzf " ;
2122
( D) f ' + xf " + xzf " .
2 21 22
答:
()
三、试解下列各题:
1.设 z = arctan(xy), 而y = e x, 求
dz
dx
.
2. 求下列函数的一阶偏导数(其中 f 具有一阶连续偏导数):
(1) u = f ( x 2 - y 2 , e xy ).
(2) u = f ( x, xy, xyz).
74 / 13
x∂ 2z
y∂x∂y
.
4. 设 z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy,其中 f 具有连续偏导数,求全微分 dz。
5. 设z = f ( x, y), 且f具有连续的一阶偏导数, 而x = u, y 2 = v - u 2 , 试以u, v为新的自变
∂z∂z
∂x∂y
四、设 z =
y 1 ∂z 1 ∂z z
f ( x 2 - y 2 ) x ∂x y ∂y y 2
一、填空题:
y dy
x dx
第 五 节 作 业
=
75 / 13
.
2. 设z = z( x, y)由方程x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4 z - 10 = 0所确定, 则
∂z
∂x
= .
∂ 2 z
∂x∂y
.
4.由方程xyz +x 2 + y 2 + z 2 =2所确定的函数z = z( x, y)在点(1,0,-1)处的全微分
dz =.
:
二、选择题(单选)
⎧x - u = yv ∂x
⎩
.
1. 函数y = y( x, z)由方程xyz = e x+ y 所确定, 则
∂y
∂x
是 :
y( x - 1)
( A);
x(1 - y)
y
( B) ;
x(1 - y)
yz
(C ) ;
1 - y
y(1 - xz)
( D) .
x(1 - y)
答:
()
2.已知x + y - z = e x , xe x = tan t, y = cos t, 则
11
( A);( B) -;
2
dz
dt
=
t =0
( D) 0 .
答:
()
三、试解下列各题:
∂z
zy∂x∂y
∂ 2 z
33
∂x∂y
76 / 13
3. 设 x = e u cos v, y = e u sin v, z = uv, 试求
∂z ∂z
∂x ∂y
四、设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0 所确定的函数
z=f(x,y)满足 a
∂z ∂z
+ b = c.
∂x ∂y
第 六 节 作 业
一、填空题:
1.曲线x = e t cos t, y = e t sin t, z = 2e t 在相应于t = 0点处的切线与oz轴夹角的正弦
sin γ =.
2.曲线y = f ( x), z = g ( x, y)(其中f ( x)和g ( x, y)皆可微)上点( x , y , z )处的切线方
000
程是.
二、选择题(单选):
⎧ xyz = 2
1.曲线⎨上(2,1,1)点处的一个切向量与oz轴正向成锐角, 则此切向量与oy
⎩ x - y - z = 0
轴正向所夹角为 :
( A) π
( B) 3π ;
π
3 ;
( D) 2π .
3
答:
()
2.曲面xy 2 + z 3 = 12上点(1,-2,2)处的切平面方程是 :
( A) x + y + 3z = 5;( B) - x - y + 3z = 7;
(C ) - x + y + 3z = 3;(D) x - y + 3z = 9.
答:
()
3. 曲线 2x=y2,z=x2 在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等,与这一点相应的 x 值
等于:
( A) 1;
1
( B) ;
2
1
(C ) ;
答:
()
77 / 13
三、试解下列各题:
tπ
22
方程.
2. 求椭球面x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面x - y + 2 z = 0的切平面方程.
在(3,4,5)点处的切线方程.
⎪⎩x 2 + y 2 = z 2
四、试证曲面
等于 a.
x + y + z = a (a > 0)上任何点处的切平面在各坐标轴上 的截距之和
78 / 13
第 七 节 作 业
一、填空题:
1. 函数 z=x2+y2 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点 (2,2 +3) 的方向导数等于。
2. 数量场 f(x,yz)=x+2y+3z 在(-1,2,0)点处的梯度是。
:
3. 设 f(x,y)=x2-xy+y2,则 f(x,y)在点(1,1)变化率最大方向上的单位向量为。
二、选择题(单选)
ρρρρ
函数y = xyz - 2 yz - 3在点(11,1)沿I = 2i + 2 j + k的方向导数等于 :
1111
( A);( B) -;(C );( D) - .
5533
答:
()
三、试解下列各题:
1. 求函数z = 1 - (
方向导数.
x 2 y 2 a b x 2 y 2
+ +
a 2 b 2 2 2 a 2 b 2
= 1在这点的内法线方向的
2. 求函数 u=xyz 在点 M(1,1,1)沿从点(1,1,1)到点(2,5,3)的方向的方向导数。
3. 设 f(x,y,z)=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求 gradf(1,1,1).
79 / 13
ρ
u =6 x 2 + 8 y 2
z
ρ
四、设 u,v 都是 x,y,z 的函数,u,v 的各偏导数存在且连续,
证明:
grad(uv)=vgradu+ugradv.
第 八 节 作 业
一、填空题:
1. 函数 f(x,y)=4(x-y)-x2-y2 的极大值为。
2. 设函数 z=z(x,y)由方程 x2+2y2+3z2+xy-z-9=0 所确定,则函数 z 的驻点为。
3. 函数 z=xy 在闭区域 x≥0,y≥0, x+y≤1 上的最大值为。
二、选择题(单选):
1. z = x + 2 y在满足x 2 + y 2 = 5的条件下的极小值为 :
( A)5;( B) - 5;(C )2 5;( D) - 2 5.
答:
()
2. 函数 z=x2+y3 在(0,0)处:
(A)有极大值; (B)有极小值; (C)没有极值; (D)既有极大值又有极小值。
答:
()
三、试解下列各题:
1. 求函数 f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值。
80 / 13
2. 要造一个容积等于 k 的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使它的表面积最小。
四、将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使
圆柱体的体积为最大?
第 八 章 综 合 作 业
:
一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
1.已知u = xy + yz + zx, 则gradu
(1,2,3) = .
2. 设z = xye x2 + y2 + sin x
y 2
∂z
∂x
.
3. 设z = arctan x + y , 则dz =
x - y
.
4.曲面z = x 2 + 3 y 2在点(1,1,4)处的法线方程是
5. 设z = f ( x, y)在点( x , y )处存在一阶偏导数, 且在( x , y )处取得极值则必有
0000
成立.
:
二、选择题(单选)(每小题 5 分,共 20 分)
1. lim3xy
x→0xy + 1 - 1
y→0
=
(A)3;(B)6;(C)不存在;(D)∞.
答:
()
2. 若函数 f(x,y)在点(x0,y0)处:
(A)偏导数存在,则 f(x,y)在该点一定可微;
(B)连续,则 f(x,y)在该点偏导数一定存在;
(C)有极限,则 f(x,y)在该点一定连续;
(D)可微,则 f(x,y)在该点连续且偏导数一定存在。
答:
()
81 / 13
3.曲线x = sin t, y = cos 2 t, z = sin t cos t在对应于t = π处的切线与xoy面的夹角是 :
πππ1
( A);( B);(C );( D) arccos.
2343
答:
()
4.函数 z=2x3-4x2+2xy-y2 的极值点为:
(A)(0,0);(B)(1,1);(C)(0,0)与(1,1)(D)无极值点。
答:
()
:
三、试解下列各题(每小题 7 分,共 28 分)
y
求df (1,1,1).
∂ 2 z
∂x∂y
2. 设u = x 2 + y 2 + z 2 , x = r sin ϕ cosθ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos ϕ, 求 ∂u , ∂u , ∂u .
∂r ∂θ ∂ϕ
4. 设u = f ( x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 ), 其中f具有二阶连续偏导数, 求u+ u+ u .
xxyyzz
x
四、求曲面 e z + e
y
z
= 4在点(ln 2, ln 2,1)处的切平面及法线方程 (7分).
82 / 13
⎧x 2 + y 2 + z 2 - 3x = 0
五、求曲线 ⎨在点(1,1,1)处的切线及法平面方程(7 分)。
⎩ 2 x - 3 y + 5z - 4 = 0
六、求函数 u=x+y+z 在点 M0(0,0,1)处沿球面 x2+y2+z2=1 在这点外法线方向的方向
导数(8 分)
七、试证当 λ < 2时,函数f ( x, y) = λ(e y - 1)sin x - cos x cos 2 y在原点一定有极
小值(10 分)
83 / 13