接下来n行分别输入Mini和Maxi（0≤Mini≤Maxi≤M）
输出：
输出一个整数，表示妈妈有多少种分配方案（骨头不能浪费，必须都分给孩子们）
初步分析：
该题模型很简单，即求如下方程组的整数解的个数：
我们知道，方程组简单形式
的整数解个数为
设Yi=Xi+Mini，则原方程组转化为
对于下界限制，我可以通过换元得到简单形式，但是因为有上界的限制，我们似乎还无法直接计算出答案。
应用逆向思维：
设S为全集，表示满足Xi≥Mini的整数解集。
设
为S中满足约束条件Xi≤Maxi的整数解的集合,
为
在S中的补集，即满足Xi>Maxi。
无法计算，但是，
可解！
！
！
我们希望把
的计算转化到可解的
。
于是：
这是一种容斥原理的形式。
至此，问题已经解决。
我们应用逆向思维，在原集合的模
不可解的情况下，通过可解的
得到答案。
并给出了一个基于容斥原理的算法。
时间复杂度为O（2n*（n+M））。
例二、GreedyPath
题目大意：
有n个城市，被m条路连接着。
最近成立了一些旅行社，在这些城市之间给旅行者们提供服务。
旅行者从城市i到城市j需要付给旅行社的费用是Ci,j，需要的时间为Ti,j。
很多旅行者希望加入旅行社，但是旅行社只有一辆车。
于是旅行社的老板决定组织一次旅行大赚一笔。
公司里的专家需要提供一条使得贪心函数F（G）最大的回路G。
F（G）等于总花费除以总时间。
但是没有人找到这样的回路，于是公司的领导请你帮忙。
输入：
第一行包含两个数n（3≤n≤50）,m分别表示点数和边数。
接下来m行每行包含一条路的描述。
输入四个数,A,B,CA,B,TA,B（0≤CA,B≤100，0≤TA,B≤100）
输出：
如果不存在这样的路，输出0。
否则输出回路中包含的城市个数，然后依次输出通过的城市的顺序。
如果有很多条这样的路，输出任意一条。
初步分析：
题目要求是求一条回路，但不是边权和最大或者最小，所以我们不能直接使用经典算法。
设G=（V,E），S为G中所有回路C=（V’,E’）组成的集合。
我们的目标是找到集合S中的一条回路使得F（C）取到最大值：
应用逆向思维：
如果我们知道C*=（V*,E*）
S是一条最优回路，那么
于是我们定义函数o（t）:
o（t）=
我们做一个猜想：
如果有o（t*）=0，那么存在C*=（V*,E*）
S满足
我们认为C*就是一条最优回路。
证明：
假设存在另一条回路C1=（V1,E1）
S更优，则：
但是这与o（t*）=0矛盾。
所以C*是一条最优回路。
如果t*是最优答案，则存在：
（性质一）
于是我们就得到了算法：
我们从一个包含t*的区间（tl,th）开始。
（例如tl=
th=
）
每一次，选取tl与th的中点t,计算O（t）。
O（t）的计算方法：
对于边e
E,设一个新的参数We=Ce–t*Te
用Floyd算法计算有向图的最大权值环。
该最大权值即O（t）。
根据性质一，更新tl或th,得到新的上下界，继续二分，直到达到精度要求。
假设二分的次数为K,则算法的时间复杂度为O（K*n3）。
这虽然不是一个严格的多项式算法，但是对于题目给定的范围，该算法可以很快地求出答案。
例三、BuildingTowers
题目大意：
有N块积木，我们需要用这些积木造塔。
每个塔有H层，最底层包含M块积木；对于上面的每一层，包含的积木块数必须比下面一层的多1或者少1。
下图是一个合法的塔（H=6,M=2,N=13）：
你的任务是计算一共可以建造出多少种不同的塔（注意积木不一定要全部用完）。
两个塔被认为不同，仅当存在一个i（1≤i≤H），两个塔的第i层包含不同数目的积木。
我们用H个正整数来表示一个塔的结构（从底部到顶部）。
你还需要输出字典序第K小的建塔方案。
输入：
第一行包含三个整数,N,H,M（N≤32767,H≤60,M≤10）。
接下来每行包含一个正整数K（除了最后一行）。
最后一行包含一个-1表示输入的结束。
输出：
第一行包含可以建造的不同的塔的总数。
接下来每一行输出对应的字典序第K小的塔的结构。
初步分析：
首先，看到题目，思维的惯性让我们下意识的想到了经典、传统的动态规划算法。
用F[i,j,k]表示当前层有i块砖，还剩下j层，可用的砖块数量为k的方案总数。
可以写出动态规划方程为：
F[i,j,k]=F[i+1,j+1,k-i]+F[i-1,j+1,k-i]
边界条件:
F[M,H,N]=1,其他为０
很容易看出，这个动态规划方程一共涉及了N*M*K个状态，最大约为60*70*2400=10M。
如果每个状态用一个double来保存信息，则至少需要80M的内存（注意，因为我们需要输出字典序第K小的塔，所以我们无法使用滚动储存的优化）。
不论是时间复杂度还是空间复杂度，都让人难以接受。
至此，动态规划算法失败了。
应用逆向思维：
自底向上的动态规划在时空上都难以让人承受。
我们不妨在处理时“反个方向”，看看自顶向下的搜索算法。
搜索算法向来是“低效”、“指数”的代名词。
然而，如果加入记忆化因子，则正好是一个“逆向动态规划”的过程。
将动态规划的顺序作一个反转，其好处在于：
首先，自顶向下的看问题，有“一览众山小”的开阔视野，可以顺利地为如何搜，先搜什么后搜什么，以及如何剪枝等作合理的布局。
在本题中，这一点体现为搜索过程不会搜索到很多荒唐的状态，例如砖块数目明显不够，奇偶性差异等等。
而在一些最优化的问题中，搜索记忆化的方法可以有效地配合最优性剪枝，避免许多明显没有价值的状态，而这正是正向的动态规划所不能企及的。
第二，在类似于本题的计数问题中，可以采用部分记忆化的方法，即只记录那些比较容易被多次搜索到的状态。
这样一来，减少了存储的状态量，加快了查询的速度。
实现的时候，我们用三元组（N，H，M）来表示一个状态，即当前层有M块砖，还剩下H层，可用的砖块数量为N。
F（N,H,M）表示该状态下的方案数。
用Hash表存储，并加入以下一些优化：
1）可以事先计算出当前状态最多和最少还需要的砖块数目。
如果N小于最小的需求量，那么显然答案为0；如果N大于最大需求量，那么可以把N设置为该最大需求量，以避免等同状态的重复存储。
2）如果N不小于最大需求量且H≤M，则答案为2H。
3）为了减少存储的状态量，我们设一个存储上界，即仅当F（N,H,M）不大于该上界时才将其存入Hash表。
为什么这样做是有效的呢？
观察可以发现，搜索的状态树是以指数的形式往下展开的。
也就是说，在树越深的地方，状态量会越多，进入查询也越频繁，而接近根的地方，状态的分布比较稀疏，当F（N,H,M）较大时，访问它们的频率就会相应的降低。
所以我们可以重复搜索这些状态，从而减少存储状态量，加快Hash表检索速度。
我们不妨来看一下“逆向动态规划”的表现：
N
H
M
正向动态规划所需要处理的状态数量
逆向动态规划中Hash表中所存储的状态量
正逆向规划中状态数目的比值
1000
40
10
1200000
3055
392.80
1500
50
10
2625000
5371
488.74
1200
60
10
2880000
49875
57.74
1500
60
10
3600000
38018
94.69
即便是在最坏情况下，逆向动态规划也只需要处理大约1/50的状态。
至此，我们已经完美地解决了这个问题。
【总结】
例一，是一种补集转化的思想，我们对原集合无从下手，转而去求原集合的补集，从反面看问题，得到答案。
例二，我们没有去看问题的反面，而是去看一个事实的反面。
我们现在不知道答案，如果知道答案又将如何呢？
例三，在经典的动态规划无法解决问题的情况下，我们将规划顺序颠倒，得到了逆向动态规划的方法，从而避免许多无效状态，在时间和空间上都取得了质的飞跃。
上述三个例子，都是逆向思维的一些简单应用。
“正难则反”的逆向思维，帮助我们打破思维定势，以退为进，避其锋芒，攻其软肋。
让我们在山重水复疑无路时柳暗花明又一村；在踏破铁鞋无觅处时得来全不费功夫；让我们在为伊消得人憔悴后蓦然发现那人却在灯火阑珊处。
所谓反弹琵琶成新曲，愿逆向思维助你一臂之力，更上一层楼！
【感谢】
特别感谢安徽芜湖一中周源同学的帮助，感谢所有帮助过我的人。
Acm.sgu.ru
Acm.timus.ru
A
【参考文献】
刘汝佳，黄亮《算法艺术与信息学竞赛》清华大学出版社
GunnarW.Klau等《TheFractionalPrize-CollectingSteinerTreeProblemOnTrees》
任初农《说说逆向思维》
【附件】
例三《BuildingTower》一题的源程序Tower.cpp
【附录】
[例一原题]
DinnerIsReady
Dinnerisready!
WishingBone'sfamilyrushtothetable.WishingBone'smotherhaspreparedmanydeliciousbones.WishingBonehasseveralbrothers,namelyWishingTwoBones,WishingThreeBones.WishingBonewantsatleastonebone,WishingTwoBonestwoandWishingThreeBonesthree.:
-PButastheyarenottoogreedy（ortheywanttokeepshape）,theydecidethattheywantatmosttwiceoftheirminimalrequirement.Nowlet'ssupposemotherhasprepared7bones,onewaytodistributethemis2-2-3,theothertwowaysare1-3-3and1-2-4.Ofcoursemotherdoesn'twanttowasteanybones,soifshehadprepared13bones,shewouldendupwithoutanyfeasibledistribution.
AscuriousasWishingBone,motherwantstoknowhowmanydifferentwaysshecandistributethosebones.
Input
ThefirstlineofinputisapositiveintegerN<=100,whichisthenumberoftestcases.
Thefirstlineofeachcasecontainstwointegersnandm（0Thenextnlineshavetwointegersminiandmaxi（0<=mini<=maxi<=m）,whichistheminimalandmaximalrequirementoftheithchild.
Output
Nintegerswhicharethenumbersofwaystodistributethembones,oneperline.
SampleInput
2
37
12
24
36
313
12
24
36
SampleOutput
3
0
[例二原题]
GreedyPath
ThereareNtownsandMroutesbetweenthem.Recently,somenewtravelagencywasfoundedforservicingtouristsinthesecities.Weknowcostwhichtouristhastopay,whentravelingfromtownitotownjwhichequalstoCijandtimeneededforthistravel-Tij.Therearemanytouristswhowanttousethisagencybecauseofverylowratesfortravels,butagencystillhasonlyonebus.Headofagencydecidedtoorganizeonebigtravelroutetogainmaximalpossibleamountofmoney.ScientistsofthecompanyoffertofindsuchacyclicpathG,whengreedyfunctionf（G）willbemaximum.Greedyfunctionforsomepathiscalculatedastotalcostofthepath（sumofCijforall（i,j）-routesusedinpath）dividedbytotaltimeofpath（similartoCij）.Butnobodycanfindthispath,andHeadofthecompanyasksyoutohelphiminsolvingthisproblem.
Input
TherearetwointegersNandMonthefirstlineofinputfile（3<=N<=50）.NextMlinescontainroutesinformation,onerouteperline.EveryroutedescriptionhasformatA,B,Cab,Tab,whereAisstartingtownforroute,B-endingtownforroute,Cab-costofrouteandTab-timeofroute（1<=Cab<=100;1<=Tab<=100;A<>B）.Notethatorderoftownsinrouteissignificant-route（i,j）isnotequaltoroute（j,i）.Thereisatmostoneroute（inonedirection）betweenanytwotowns.
Output
YoumustoutputrequestedpathGinthefollowingformat.OnthefirstlineofoutputfileyoumustoutputK-numberoftownsinthepath（2<=K<=50）,onthesecondline-numbersofthesetownsinorderofpassingthem.Iftherearemanysuchways-outputanyoneofthem,iftherearenosuchways-output"0"（withoutquotes）.
Sampletest（s）
Input
45
1251
2335
3411
4152
24110
Output
4
1234
[例三原题]
BuildingTowers
TimeLimit:
2second
MemoryLimit:
1000KB
ThereareNcubesinatoyboxwhichhas1-unitheight,thewidthisdoubletheheight.Theteacherorganizesatower-buildinggame.Thetowerisbuiltbythecubes.TheheightofthetowerisH（hlevels）.ThebottomofthetowercontainsMcubes;andforallabovelevel,eachmustcontainsanumberofcubeswhichisexactly1lessthanorgreaterthanthenumberofcubesofthelevelrightbelowit.
BelowisanexampleofatowerofH=6,M=2,N=13.
Yourtaskistodeterminehowmanydifferenttowerscanbethere.Twotowersareconsidereddifferentifthereisatleastonenumberi（1EachtowerisrepresentedbyanarrayofHpositiveintegerswhichdeterminesthestructureofthetowerfromthebottomleveluptothetoplevel.Thosearraysaresortedascendingly.
Input
1stlinecontainsthreepositivenumberN,HandM（N<=32767,H<=60,M<=10）.
Eachfollowingline（exceptthelast）containsanintegerk.Thelastlinecontainsnumber-1.
Output
1stlineisthetotalofdifferenttowersthatcanbefounded.
EachfollowinglinecontainsanarraythatrepresentsthestructureofthetowercorrespondingtothenumberKfrominput.
SampleInput
2254
1
10
-1
SampleOutput
10
43212
45454
Hint
Numberswhichareonthesamelineshouldbeseparatedbyatleastonespace.
Youdon'thavetouseallNcubes.
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