Quantization of audio signal.docx
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Quantizationofaudiosignal
Quantizationofaudiosignal
Ximengzhao
Abstract:
ThispaperismainlyfocusingontwobasiccharacteristicsofDSPthataresamplingandquantization.QuantizationrepresentsakeypartintheDSPprocess.Quantizationisalsoessentiallythemappingofananalogvalueintoacorrespondingbinarysequence.Quantizationistheprocessofmappingasetofcontinuousamplitudes（infinitenumberoflevels）intoafinitenumberofpossiblevalues.Whilesamplingrepresentsthetimeofcapturingasignal,quantizationistheamplitudecomponentofsampling.Thesamplesarequantizedbyananalogtodigitalconverterinordertoberepresentedindigitalform.Weloadaudiosignalafterdoingdown-sampledandQuantizethesampledsignalusing8bitand10bit.Afterthat,weproceedtocalculatequantizederrorbyusingthefollowingformulaandapplyamethodcalledVQ（vectorquantization）todealwiththesampledaudiosignal.
Introduction:
Thereiserrorinvolvedwithquantizationduetotheapproximationofthelevelbeingquantized.
Thedifferencebetweenthemisquantizationerror,thedefinedas:
Quantizationerror=Actual-DigitalRepresentation.Wemaythinkofthequantizedsignalasanoisyversionoftheoriginalsignalwithoutquantificationtowhichanoisecomponenthasbeenadded.
Thepurposeofproject:
•TocharacterizethefrequencycontentofanaudiosignalbycalculatingtheFouriertransform.
•Tosimulatesamplingaffectsbydown-samplingtheoriginalbandwidthataratioof1/8.
•DeterminetheMagnitudeandphaseoftheFouriertransformsofthesampledsignal.
•Quantizethesampledsignalusingtwodifferentresolutions:
8bitand10bit.
•ReconstructandanalyzethequantizedsignalfromitsfrequencycontentbycalculatingtheinverseFouriertransform.
•
Analyzetheerrorsoccurredduringsamplingandquantizationandcomparethetworesolutionsused.
Quantizederror=
•usetrainingalgorithmforvectorquantization
Experimentalprocess:
Figure
（1）showsfourimages,whichareoriginalaudiosignalwaveformattimedomain,frequencydomain,itsrealfrequencyandphase.
Figure
（1）
Figure
（2）showsfourimagesafterdown-sampling
Figure
（2）
Figure（3）showsfourimagesofreconstructingthesampledsignalusing8bit
Figure（3）
Figure（4）showsfourimagesofreconstructingthesampledsignalusing10bit
Figure（4）
Figure（5）showstwoImagesoferroranalysisfor8bitand10bit
Figure（5）
wegettheresult:
•Quantizedby8bit.Thequantizederroris0.00378,whichisapproximatelytothesamplingprecision.（1/2e-8=0.0039）
•Quantizedby10bit.Thequantizederroris9.7599e-004,whichisapproximatelytothesamplingprecision.（1/2e-10=9.7656e-004）
•Byreconstructingthetwosampledsignalsandcomparingtheirvariances,wecanseethatmorebitsweused,moreaccuracyweget.
Here,wegivethedefinitionofVQ,amethodforquantization.Thenumberofscalardatasetstoformavector,andthengivethewholequantizationinthewholevectorspacethatcompressthedatawithoutlosingmuchinformation.Encodedintheimagevectorquantizationistheadvancedmethodthatapplyingintheimageandspeechsignalcodingtechniques.
Theprincipleoftrainingalgorithmforvectorquantizationis:
•Pickasamplepointatrandom
•Movethenearestquantizationvectorcentroidtowardsthissamplepoint,byasmallfractionofthedistance
•Eachvectoriscomparedwithacollectionofrepresentativecodevectors
•Usingaminimumdistortionruletochoosebestcodevector
Thefollowingtwoimagesshowthattherelationshipbetweenerrorandbothdimensionsizeandcodebooksize:
Fromtheabovetwoimages,wecanseethattheimageontheleftreflectstherelationshipbetweenerrorandcodebooksize.Ontheotherhand,theimageontherightreflectstherelationshipbetweenerroranddimensionsize.Tosumup,withcodebooksizeincreasedanddimensionsizefixed,theerrordecreases.Onthecontrary,withdimensionsizeincreasesandcodebooksizefixed,theerroralsoturnstohigher.
Wecanseemoreclearlyfromthefollowingimage,whichreflectsdifferentdimensionsizesinoneCoordinatesystemwithcodebooksizeincreasesandanalyzetheerror.
Thehorizontalordinateofthisimageiscodebooksizeandtheverticalordinateofthisimageiserror.Threedifferentcolorlinesshowsthedimensionsize,whichis4,8,16.
Conclusion:
1:
Intheprocessofquantization,byreconstructingthetwosampledsignalsandcomparingtheirvariances,wecanseethatmorebitsweused,moreaccuracyweget.
2:
Intheprocessofvectorquantization,wedrawtheconclusionthatwithcodebooksizeincreasedanddimensionsizefixed,theerrordecreases.Onthecontrary,withdimensionsizeincreasesandcodebooksizefixed,theerroralsoturnstohigher.
References:
[1]:
Dr.BrainVijay”quantizationdspslide”.
[2]:
AlanV.OppenheimRonaldW.Schafer”Discrete-TimeSignalProcessing”ThirdEdition,chapter4.8.
[3]:
[4]:
http:
//en.wikipedia.org/wiki/Vector_quantization
MatlabCode:
%Project2
clear
loadwav
wavplay（wav,fs）;
%%
%originalsignalanalysis
figure
（1）
L=length（wav）;
subplot（221）%waveformtimedomain
plot（（1:
L）/L,wav）;
xlabel（'time（s）'）
ylabel（'Amplitude（v）'）
gridon
axis（[0,1,-0.1,0.15]）
subplot（222）%frequencydomain
yf=fft（wav）;
plot（yf）;
xlabel（'Realpart'）
ylabel（'Imaginarypart'）
gridon
subplot（223）%realfrequency
MagY=abs（yf）;
%MagY=20*log10（MagY/max（MagY））;
AngY=angle（yf）;
plot（（1:
L）/L*fs,MagY）
xlabel（'Frequency（Hz）'）
ylabel（'Amplitude'）
gridon
axis（[0,L,040]）
subplot（224）%phase
plot（AngY）;
xlabel（'Samples'）
ylabel（'Phase'）
gridon
%%
%downsamplinganalysis
downS=8;
wav1=wav（1:
downS:
L,:
）;
L1=length（wav1）;
yf1=fft（wav1）;
MagY1=abs（yf1）;
angY1=angle（yf1）;%MagY=20*log10（MagY/max（MagY））;
figure
（2）
subplot（221）
plot（（1:
L1）/L1,wav1）;
xlabel（'Time（s）'）
ylabel（'Amplitude（V）'）
gridon
subplot（222）%frequencydomain
plot（yf1）;
xlabel（'Realpart'）
ylabel（'Imaginarypart'）
gridon
subplot（223）%realfrequency
plot（（1:
L1）/L1*fs,MagY1）
xlabel（'Frequency（Hz）'）
ylabel（'Amplitude'）
gridon
axis（[0,L,05]）
subplot（224）%phase
plot（angY1）;
xlabel（'Samples'）
ylabel（'Phase'）
gridon
%%
%quantization
na1=10;%quantizeresolution8bits
na2=8;
wav8=quant（wav1,na2）;
wav10=quant（wav1,na1）;
yf8=fft（wav8）;
yf10=fft（wav10）;
MagY8=abs（yf8）;
Ang8=angle（yf8）;
MagY10=abs（yf10）;
Ang10=angle（yf10）;
figure（3）
subplot（221）
plot（（1:
L1）/L1,wav8）;
xlabel（'Time（s）'）
ylabel（'Amplitude（V）'）
gridon
subplot（222）%frequencydomain
plot（yf8）;
xlabel（'Realpart'）
ylabel（'Imaginarypart'）
gridon
subplot（223）%realfrequency
plot（（1:
L1）/L1*fs,MagY8）
xlabel（'Frequency（Hz）'）
ylabel（'Amplitude'）
gridon
axis（[0,L,05]）
subplot（224）%phase
plot（Ang8）;
xlabel（'Samples'）
ylabel（'Phase'）
gridon
%%
figure（4）
subplot（221）
plot（（1:
L1）/L1,wav10）;
xlabel（'Time（s）'）
ylabel（'Amplitude（V）'）
gridon
subplot（222）%frequencydomain
plot（yf10）;
xlabel（'Realpart'）
ylabel（'Imaginarypart'）
gridon
subplot（223）%realfrequency
plot（（1:
L1）/L1*fs,MagY10）
xlabel（'Frequency（Hz）'）
ylabel（'Amplitude'）
gridon
axis（[0,L,05]）
subplot（224）%phase
plot（Ang10）;
xlabel（'Samples'）
ylabel（'Phase'）
gridon
%%
%erroranalysis
yf8=[yf8;zeros（（downS-1）*length（yf8）,1）];%upsampling
yf10=[yf10;zeros（（downS-1）*length（yf10）,1）];
wav8=ifft（yf8）;
wav10=ifft（yf10）;
error8=（real（wav8）-wav）.^2;
er8=sum（error8）
error10=（real（wav10）-wav）.^2;
er10=sum（error10）
figure（5）
subplot（211）
plot（1:
L,error8）
xlabel（'Samples'）
ylabel（'Meansquareerror'）
title（'Quantizedby8bit'）
subplot（212）
plot（1:
L,error10）
xlabel（'Samples'）
ylabel（'Meansquareerror'）
title（'Quantizedby10bit'）
%%
function[disdistortion]=VQ（dimension,codebook_size）
loadwav
Y=wav;
a_seq=downsample（Y（:
1）',8）;
%dimension=2^ii
a_seq=[a_seqzeros（1,ceil（length（a_seq）/dimension）*dimension-length（a_seq））];
%codebook_size=2^4;
%codebook_size=2^ii;
tolerance=10^（-8）;
m=round（length（a_seq）/dimension）;
if（m*dimension-length（a_seq）<0）
error（''）
end
initial=a_seq（1:
dimension*codebook_size）;
initialcodebook=（reshape（initial,dimension,codebook_size））';
updated_codebook=initialcodebook;
newdistortion=0;
distortion=0;
fori=1:
m;
a_seq_block=a_seq（（i-1）*dimension+1:
i*dimension）;
training_matrix（i,:
）=a_seq_block;
distortion_block=[];
forj=1:
codebook_size;
distort=sum（（a_seq_block-updated_codebook（j,:
））.^2）;
distortion_block=[distortion_blockdistort];
end
[distortion_min,ind]=min（distortion_block）;
newdistortion=newdistortion+distortion_min;
index（i）=ind;
end
forl=1:
codebook_size;
partition=（index==l）;
ifsum（partition）>0
updated_codebook（l,:
）=partition*training_matrix/sum（partition）;
end
end
newdistortion=newdistortion/m;
while（abs（distortion-newdistortion）/newdistortion>tolerance）
distortion=newdistortion;
newdistortion=0;
fori=1:
m;
a_seq_block=a_seq（（i-1）*dimension+1:
i*dimension）;
training_matrix（i,:
）=a_seq_block;
distortion_block=[];
forj=1:
codebook_size;
distort=sum（（a_seq_block-updated_codebook（j,:
））.^2）;
distortion_block=[distortion_blockdistort];
end
[distortion_min,ind]=min（distortion_block）;
newdistortion=newdistortion+distortion_min;
index（i）=ind;
end
forl=1:
codebook_size;
partition=（index==l）;
ifsum（partition）>0
updated_codebook（l,:
）=partition*training_matrix/sum（partition）;
end
end
newdistortion=newdistortion/m;
end
codebook=updated_codebook;
disdistortion=newdistortion/dimension;
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