82解二元一次方程组.docx
《82解二元一次方程组.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《82解二元一次方程组.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
82解二元一次方程组
课题
8．2．2消元——二元一次方程组的解法（代入法）
时间
教学目标
知识与技能
使学生熟练的掌握用代入消元法解二元一次方程组。
过程与方法
使学生进一步理解代入消元法所体现的化归思想。
情感、态度与价值观
体会方程是刻画现实世界的有效数学模型
教学重点
学会用代入消元法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组
教学难点
进一步体会在用代入消元法解方程时所体现的化归思想
教学步骤
（体现教学内容、教学问题设计、时间安排、板书设计、
作业布置和预习等）
教学方法
教学手段
学法指导
一、板书课题，揭示目标
今天我们来学习“8．2．2消元——二元一次方程组的解法（代入法）”，本节课的学习目标为：
1．进一步学习用代入消元法解二元一次方程组
2．初步学习列方程组解应用题。
教师出示学习目标，学生观察学习目标
二、指导自学
自学指导
请认真看P.97例2—P98页的内容．思考：
问题一：
题目中存在的等量关系：
_________________________
________________________
问题二：
若设这些消毒液应该分装x大瓶和y小瓶，那么大瓶装______克小瓶装______克，大瓶小瓶共装________________克。
问题三：
根据题目中的等量关系，可列方程组为：
___________________________
问题四：
解上面的方程组，解为________________
5分钟后，比谁能解类似上面问题以及会解类似例2的题目．
三．学生自学
1．学生按照自学指导看书，教师巡视，确保人人学得紧张高效．
2．检查自学效果
自学检测题
1．二元一次方程组
的解是（）
A、
B、
C、
D、
2．解答题：
甲乙两人相距6公里，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙，两人的平均速度各是多少？
3．P99。
练习3
4．P99。
练习4
请三位同学上台板演2、3、4题，其余学生在座位上完成。
其他题目在练习本上完成。
对于第1题，要求学生练习本上完成
四．讨论更正，合作探究
1．学生自由更正，或写出不同解法；
2．评讲
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能
五、课堂小节，作业布置
1、小结（以提问进行）：
这节课你学到那些知识和方法？
2、作业
必做题：
P103、2
、4、6
选做题：
P103、7
教学反思
8．2 消元
（二）（第一课时）
一、知识与技能目标
1.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛
2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
3.会用二元一次方程组解决实际问题.
4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.
5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.
二、过程与方法目标
1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯.
2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.
三、情感态度与价值观目标
1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信息。
2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯。
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识。
4.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。
新授课：
一、创设情境，导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。
甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？
二、师生互动，课堂探究
（一）提高问题，引发讨论
①②
我们知道，对于方程组
可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
（二）导入知识，解释疑难
1.问题的解决
上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得（2x+y）-（x+y）=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。
另外，由①－②也能消去未知数y，得（x+y）-（2x+y）=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
①②
2.想一想：
联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
分析：
这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
解：
由①＋②得19x=11.6x=
把x=
代入①得y=-
∴这个方程组的解为
3.加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
4.例题讲解
①②
用加减法解方程组
分析：
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解：
①×3,得9x+12y=48③
②×2,得10x-12y=66④
③＋④,得19x=114
x=6
把x=6代入①，得3×6+4y=16
4y=-2,y=-
所以，这个方程组的解是
议一议：
本题如果用加减法消去x应如何解？
解得结果与上面一样吗？
解：
①×5，得15x+20y=80③
②×3,得15x-18=99④
③-④,得38y=-19
y=-
把y=-
代入①，得3x+4×（-
）=16
3x=18
x=6
所以，这个方程组的解为
如果求出y=-
后，把y=
代入②也可以求出未知数x的值。
5.做一做
①②
解方程组
分析：
本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。
①②
解：
化简方程组，得
③－④，得4x=36
x=9
把x=9代入④（也可代入③，但不佳），得
10×9-3y=48
-3y=-42
y=14
∴这个方程组的解为
点评:
当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.
6.想一想
（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?
（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
师生共析:
（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:
在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:
如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数）,求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数）,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）,再加减消元.
第三步:
对于较复杂的二元一次方程组,应先化简（去分母,去括号,合并同类项等）,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
（三）归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
作业：
1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.
①②
（1）
消元方法_________.
①②
（2）
消元方法_________.
2.用加减法解下列方程组:
（1）
（2）
（3）
（4）
参考答案
1.
（1）①×②-②消去y
（2）①×2+②×3消去n
2.
（1）
（2）
（3）
（4）
评价与反思
1.应用意识贯穿始终：
从问题的提出，到最后的练习，多出环节以实际问题为背景，为解决问题的需要而学习，最后回归到用新知识解决实际问题，既解决了为什么要学习二元一次方程组的解法的问题，同时，由于目标明确具体，学生探究时容易把握方向，在一定程度上分解了难点，提高了学生学习的兴趣。
2.循序渐进原则的运用：
学生对消元思想的理解很难一步到位，所以采用结合具体问题逐步渗透、感悟，然后提炼升华的方式学习，类似地，对二元一次方程组的解法，经历了从特殊到一般，从简单到复杂的循环上升过程，学生对数学思想的理解随之加深。
8．2 消元
（二）（第二课时）
一、创设情境,导入新课
七年级（3）班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上（如下表）.
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
二、师生互动,课堂探究
（一）指出问题,引发讨论
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?
（经过学生思考、讨论、交流）
（二）导入知识,解释疑难
1.例题讲解（见P109）
分析:
如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷.
解:
设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组
①②
去括号,得
②-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
把x=0.4代入①,得y=0.2
这个方程组的解是
答:
1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
3.做一做
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克?
分析:
如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.
解:
设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得
①②
②×2-①,得y=20
把y=20代入②,得2x+3×20=240,x=90
所以这个方程组的解为
答:
1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.
4.练一练:
P111练习第2、３题.
（三）归纳总结,知识回顾
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
作业：
1.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了
44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?
2.一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路?
参考答案
1.设王大析种了x亩茄子,y亩西红柿,根据题意得
解得
所以获纯利为10×2400+15×2600=63000元
2.旅游者一共走了20千米路.设平路长x千米,坡路长y千米,
依时间关系有
=5,即
（x+y）=5,2（x+y）=20.
评价与反思
学以致用：
问题解决遇到的新问题，需要学习新知识，新方法，掌握之后用新知识新方法去解决一系列的问题，形成技能技巧。
先做后说：
提出问题先让学生思考解答，然后说思路方法，先放手让学生尝试交流，然后引导学生归纳总结。
七年级数学下册
第八章8.2消元——解二元一次方程组
编者学校：
刘庄中学姓名：
李秀强
一、教学目标：
知识与技能：
1、理解加减消元法的含义。
2、掌握用加减法解二元一次方程组。
过程与方法：
使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；
情感态度与价值观：
体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心
二、教学重点：
用“加减法“解二元一次方程组
三、教学难点：
用“加减法“解二元一次方程组
四、教学过程设计：
问题与情境设计
师生活动设计
情
景
引
入
回顾：
1、用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
2、用代入法解下列方程组：
1题学生思考后回答
2题让一名学生上黑板展示
由练习导入新课
自
主
探
究
自主探究一：
解方程组
有没有更简洁的解法呢？
教师可做以下启发：
问题1.观察上述方程组，未知数y的系数有什么特点？
（相等）
问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
自主探究二：
变式一
启发：
问题1.观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？
（互为相反数）
问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？
自主探究三：
变式二：
观察：
本例可以用加减消元法来做吗？
启发引导：
问题1.这两个方程直接相加减能消去未知数吗？
为什么？
问题2.怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
自主探究四
变式三：
想一想：
本例题可以用加减消元法来做吗？
分析得出解题方法：
解法1：
通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
解法2：
通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
由学生结合问题自主探究，并给出不同的解法。
解法一由①得：
x=
y代人方程②，消去x.
解法二：
把2x看作一个整体，由①得2y=－1－3y,代入方程②，消去2x.
肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．
让小组讨论交流，自主解决
变式的意义在于从“减“的情形自然地过渡到”加“的情形，浑然一体
教师明确加减消元法的含义
启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．
因此：
②×2，得4x－10y=14③，由①－③即可消去x，从而使问题得解．（追问：
③－①可以吗？
怎样更好？
）
让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．
尝
试
应
用
1、方程组
中x的系数特点是___________,方程组
中y的系数特点是____________，这两个方程组用_________法解比较简便。
2、如果关于x、y的方程组
的解满足x+y=3，则a的值是________.
3、用加减法解方程组：
（1）
（2）
让各组同学自主完成1、2两题，完成后交流。
教师巡视指导。
1、x的系数相同，y的系数互为相反数，加减法
2、a=1
第3题让两个小组的两名同学上黑板展示，其他同学自主完成，然后交流，教师针对出现的问题简评。
3、
（1）
（2）
补
偿
提
高
用加减法解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
让四个小组的四名同学上黑板展示，其他学生自主完成，完成后交流
（1）
（2）
（3）
（4）
小
结
与
作
业
1、谈一谈本节课的收获：
（1）用加减法解二元一次方程组的思想
（2）用加减法解二元一次方程组的条件
（3）用加减法解二元一次方程组的步骤
2、作业：
必做题：
课本103页习题8.2第3题
选做题：
同步学习77页—78页
以小组为单位，在小组内进行总结交流。
达标测评题（时间约5分钟，题目、题型要根据本节内容灵活把握）
一、选择题：
1、方程组
的解是（）
A、
B、
C、
D、
2、已知y=kx+b中，当x=－1时，y=2;当x=－2时，y=8,那么k与b的值分别是（）
A、k=－6,b=－4B、k=b=－6C、k=b=－4D、k=－4,b=－6
二、解答题：
“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12℅，玉米超产10℅，该专业户去年计划生产小麦、玉米各多少吨？
附答案：
一、1、D2、A
二、解：
设原计划生产小麦x吨，玉米y吨，据题意得：
解得
答：
该专业户去年计划生产小麦10吨、玉米8吨。
课题
8．2．4消元——二元一次方程组的解法（加减法）
时间
教学目标
知识与技能
使学生熟练的掌握用加减消元法解二元一次方程组。
过程与方法
使学生进一步理解加减消元法所体现的化归思想。
情感、态度与价值观
进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型
教学重点
学会用代入消元法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组
教学难点
进一步体会在用代入消元法解方程时所体现的化归思想
教学步骤
（体现教学内容、教学问题设计、时间安排、板书设计、
作业布置和预习等）
教学方法
教学手段
学法指导
三、板书课题，揭示目标
今天我们来学习“8．2．4消元——二元一次方程组的解法（加减法）”，本节课的学习目标为：
5．进一步学习用加减消元法解二元一次方程组
6．进一步学习列方程组解应用题。
教师出示学习目标，学生观察学习目标
四、指导自学
自学指导
请认真看P.101—P102页的内容．思考：
问题一：
题目中存在的等量关系：
_________________________
________________________
问题二：
根据题目中的等量关系，可列方程组为：
___________________________
问题三：
解上面的方程组，解为________________
5分钟后，比谁能解类似上面问题以及会解类似例4的题目．
三．学生自学
1．学生按照自学指导看书，教师巡视，确保人人学得紧张高效．
2．检查自学效果
自学检测题
1、方程组
的解是（）
A、
B、
C、
D、
2、已知y=kx+b中，当x=－1时，y=2;当x=－2时，y=8,那么k与b的值分别是（）
A、k=－6,b=－4B、k=b=－6C、k=b=－4D、k=－4,b=－6
3．解答题：
“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12℅，玉米超产10℅，该专业户去年计划生产小麦、玉米各多少吨？
请三位同学上台板演3题，其余学生在座位上完成。
其他题目在练习本上完成。
四．讨论更正，合作探究
1．学生自由更正，或写出不同解法；
2．评讲
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能
五、课堂小节，作业布置
1、小结（以提问进行）：
这节课你学到那些知识和方法？
2、作业
必做题：
P103、5、8
选做题：
P104、9
教学反思
8.2消元——二元一次方程组的解法
第一课时
教学要求：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
教学重点：
用代入法解二元一次方程组.
教学难点：
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程：
复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：
设这个队胜x场，根据题意得
解得
x＝18
则 22－x＝4
答：
这个队胜18场，负4场.
新课：
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，
设胜的场数是x，负的场数是y，
x＋y＝22
2x＋y＝40
那么怎样求解二元一次方程组呢？
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝22说明y＝22－x，将第2个方程
2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程
.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）3x－y＝5
（2）3x＋2y－1＝0
例2 用代入法解方程组
x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
例3 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
归纳：
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把
（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入
（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
课堂练习：
P98--99页
升级会员 