高届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第八单元 单元总结.docx

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高届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第八单元单元总结

单元总结八

微专题一

等差数列、等比数列基本量的计算

　　等差数列、等比数列基本量的计算,一般通过“知三求二”,解方程（组）的形式以及灵活运用等差数列、等比数列的性质解决问题.

【例1】

（1）若数列{an}满足=d（n∈N*,d为常数）,则称数列{an}为调和数列,已知数列为调和数列,且x1＋x2＋…＋x20=200,则x5＋x16=（　　）.

A.10B.20C.30D.40

（2）已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4（a4－1）,则a2=（　　）.

A.2B.1C.D.

【分析】

（1）首先通过分析得出{xn}是等差数列,再利用公式求出x1＋x20,最后利用等差数列的性质求得x5＋x16.

（2）（法一）列方程求出公比;（法二）利用性质求第四项,再求公比,进而求得a2.

【试题解析】

（1）∵数列为调和数列,∴=xn＋1－xn=d,∴{xn}是等差数列.

∵x1＋x2＋…＋x20=200=,∴x1＋x20=20.

又∵x1＋x20=x5＋x16,∴x5＋x16=20.

（2）（法一）∵a3=a1·q2,a4=a1·q3,a5=a1·q4,

∴·q6=4（a1·q3－1）.

∵a1=,∴q6－16q3＋64=0,∴q3=8,∴q=2,

∴a2=a1·q=.

（法二）设{an}的公比为q,由等比数列的性质可知a3a5=,∴=4（a4－1）,即（a4－2）2=0,解得a4=2,则q3===8,解得q=2,则a2=a1q=×2=,故选C.

【参考答案】

（1）B　

（2）C

【拓展训练1】

（1）设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1＋a3＋a5=3,则S5=（　　）.

A.5B.7C.9D.11

（2）已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1＋a2=1,则a1=　　　　,d=　　　　. 

【试题解析】

（1）∵a1＋a5=2a3,∴a1＋a3＋a5=3a3=3,

∴a3=1,

∴S5==5a3=5,故选A.

（2）∵a2,a3,a7成等比数列,∴=a2a7,

∴（a1＋2d）2=（a1＋d）（a1＋6d）,即2d＋3a1=0.　①

又∵2a1＋a2=1,∴3a1＋d=1.　②

由①②解得a1=,d=－1.

【参考答案】

（1）A　

（2）　－1

微专题二

数列递推关系的应用

　　已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.

当出现an=an－1＋m时,构造等差数列;

当出现an=xan－1＋y时,构造等比数列;

当出现an=an－1＋f（n）时,用累加法求解;

当出现=f（n）时,用累乘法求解.

【例2】设数列{an}（n=1,2,3,…）的前n项和Sn满足Sn=2an－a1,且a1,a2＋1,a3成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设数列的前n项和为Tn,求Tn.

【分析】

（1）将Sn,an的关系转化为an与an－1的递推关系,构造等差数列,进而得到{an}的通项公式;

（2）根据等比数列的性质,也为等比数列,直接利用公式求解.

【试题解析】

（1）由已知Sn=2an－a1,有an=Sn－Sn－1=2an－2an－1（n≥2）,

即an=2an－1（n≥2）.从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.

又因为a1,a2＋1,a3成等差数列,即a1＋a3=2（a2＋1）,

所以a1＋4a1=2（2a1＋1）,解得a1=2.

所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.

故an=2n.

（2）由

（1）得=,所以Tn=＋…＋==1－.

【拓展训练2】

（1）已知数列{an}的首项a1=,an＋1=,n=1,2,3,…,则{an}的通项公式为　　　　. 

（2）数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,an=2Sn－1＋3n（n≥2）,则该数列的通项公式为an=　　　　. 

【试题解析】

（1）∵an＋1=,∴=,

∴－1=.

又－1=,∴是以为首项,为公比的等比数列,

∴－1=·=,∴an=.

（2）∵an=2Sn－1＋3n,∴an－1=2Sn－2＋3n－1（n≥3）,两式相减得an－an－1=2an－1＋2×3n－1,即an=3an－1＋2×3n－1,∴=（n≥3）,又a2=2S1＋32=2a1＋32=15,=,=,即=,∴数列是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1＋（n－1）×,∴an=（2n＋1）3n－1.

【参考答案】

（1）an=　

（2）（2n＋1）3n－1

微专题三

数列求和

　　求数列前n项和常用的方法有四种:

（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和,在前n项相加的过程中相互抵消）;

（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）;（3）分组求和法（根据数列通项公式的特点,将其分解为等差数列求和以及等比数列求和）;（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显,但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）.

【例3】

（1）数列{an}的前n项和为Sn=2n＋1－2,数列{bn}是首项为a1,公差为d（d≠0）的等差数列,且b1,b3,b9成等比数列.

①求数列{an}与{bn}的通项公式;

②若cn=（n∈N*）,求数列{cn}的前n项和Tn.

（2）已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且有Sn=1－an（n∈N*）,点（an,bn）在直线y=nx上.

①求Tn;

②试比较Tn和2－的大小,并说明理由.

【分析】

（1）①由an=Sn－Sn－1的关系求得{an}的通项公式,列方程解得d;②对cn裂项,进而利用裂项相消法求和.

（2）①由an=Sn－Sn－1的关系求得{an}的通项公式,根据bn的特点利用错位相减法求和;②利用作差法比较Tn和2－的大小.

【试题解析】

（1）①当n≥2时,an=Sn－Sn－1=2n＋1－2n=2n,

又a1=S1=21＋1－2=2=21,也满足上式,

所以数列{an}的通项公式为an=2n.所以b1=a1=2.

由b1,b3,b9成等比数列,得（2＋2d）2=2×（2＋8d）,

解得d=0（舍去）或d=2,

所以数列{bn}的通项公式为bn=2n.

②由①得cn===,

所以数列{cn}的前n项和Tn=＋…＋=1－＋…＋=1－=.

（2）①当n=1时,a1=S1=1－a1,解得a1=.

当n≥2时,an=Sn－Sn－1=（1－an）－（1－an－1）,

则2an=an－1,即=,

所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.

所以an=（n∈N*）.

因为点（an,bn）在直线y=nx上,所以bn=nan=.

所以Tn=＋…＋,

Tn=＋…＋.

两式相减可得,Tn=＋…＋,

所以Tn=1＋＋…＋==2－.

②令Bn=2－,则Tn－Bn=－==.

所以当n=1时,T1－B1＜0,所以T1＜B1;

当n=2时,T2－B2=0,所以T2=B2;

当n≥3时,Tn－Bn＞0,所以Tn＞Bn.

综上所述,当n=1时,Tn＜2－;

当n=2时,Tn=2－;

当n≥3时,Tn＞2－.

【拓展训练3】

（1）已知数列{an}的通项为an=（－1）n（4n－3）,求数列{an}的前50项和.

（2）正项数列{an}的前n项和Sn满足－（n2＋n－1）Sn－（n2＋n）=0.

①求数列{an}的通项公式an;

②令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:

对于任意的n∈N*,都有Tn＜.

【试题解析】

（1）由题意知an＋an＋1=（－1）n＋1·4,

所以数列{an}的前50项和T50=25×4=100.

（2）①由－（n2＋n－1）Sn－（n2＋n）=0,得[Sn－（n2＋n）]（Sn＋1）=0.

由于{an}是正项数列,所以Sn＞0,Sn=n2＋n,于是a1=S1=2.

当n≥2时,an=Sn－Sn－1=n2＋n－（n－1）2－（n－1）=2n.

综上,数列{an}的通项公式为an=2n.

②由于an=2n,

故bn===.

则Tn=1－＋…＋

==.

即对任意的n∈N*,都有Tn＜.

微专题四

数列的实际应用问题

　　解答数列实际应用问题的步骤:

（1）确定模型类型:

理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.

（2）准确解决模型:

解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程（组）或者不等式（组）等,在解模时要注意运算准确.

（3）给出问题的回答:

实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.

【例4】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.

（1）用d表示a1,a2,并写出an＋1与an的关系式.

（2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

【分析】

（1）只要根据增长率求出当年年底的资金总额,再减去上缴的资金,就是剩余资金,即可求出a1,a2,以及建立an＋1与an之间的递推关系式.

（2）使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列{an}的通项公式an,令am=4000即可求出d.

【试题解析】

（1）由题意得a1=2000（1＋50%）－d=3000－d,a2=a1（1＋50%）－d=a1－d=4500－d,

所以an＋1=an（1＋50%）－d=an－d.

（2）由

（1）得,当n≥2时,an=an－1－d

=－d=an－2－d－d

=…

=－1a1－d.

整理得an=－1（3000－d）－2d

=－1（3000－3d）＋2d.

由题意可知,am=4000,

所以－1（3000－3d）＋2d=4000,

解得d==,

故当该企业每年上缴资金d的值为时,经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元.

【拓展训练4】一企业的某产品每件利润100元,在未做电视广告时,日销售量为b件.对产品做电视广告后,记每日播n次时的日销售量为an（n∈N*）件,调查发现,每日播一次,则日销售量a1件在b件的基础上增加件,每日播二次,则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加件,…,每日播n次,该产品的日销售量an件在每日播n－1次时的日销售量an－1件的基础上增加件.合同约定:

每播一次企业需支付广告费2b元.

（1）试求出an与n的关系式.

（2）该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播多少次.

【试题解析】

（1）由题意,电视广告日播k次时,该产品的日销售量ak满足ak=ak－1＋（k∈N*,a0=b）,

所以an=b＋=b＋b=b（n∈N*）,

所以该产品每日销售量an（件）与电视广告播放量n（次/日）的关系式为an=b（n∈N*）.

（2）该企业每日播放电视广告n次时获利为Cn=100b－2bn=100b（n∈N*）.

因为Cn－Cn－1=100b≥0,即2n≤50,n∈N*,所以n≤5（n∈N*）.因为Cn＋1－Cn=100b≤0⇒2n≥25⇒n≥5,

所以n=5.

所以要使该产品每日获得的利润最大,则每日电视广告需播5次.

1.（2018年全国Ⅰ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2＋S4,a1=2,则a5=（　　）.

A.－12B.－10C.10D.12