中考数学专题复习导学案尺规作图含答案.docx

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中考数学专题复习导学案尺规作图含答案

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中考数学专题复习导学案尺规作图含答案

中考数学专题练习《尺规作图》

【知识归纳】

一）尺规作图

1．定义

只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．

2．步骤

①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；

②分析作图的方法和过程；

③用直尺和圆规进行作图；

④写出作法步骤，即作法．

二）五种基本作图

1．作一条线段等于已知线段；

2．作一个角等于已知角；

3．作已知角的平分线；

4．过一点作已知直线的垂线；

5．作已知线段的垂直平分线．

三）基本作图的应用

1．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）．

（2）作三角形的内切圆．

【基础检测】

1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）

A．a=bB．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1

2.如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（）

A．2.5cm

B．3.0cm

C．3.5cm

D．4.0cm

3.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）

4.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．

（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；

（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．

5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．

（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；

（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．

6．已知：

线段a及∠ACB．

求作：

⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．

7．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC

（1）线段BC的长等于　　；

（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：

①以点　　为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于

②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于

，请写出画法，并说明理由．

【达标检测】

一、选择题

1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.

步骤1：

以C为圆心，CA为半径画弧

；

步骤2：

以B为圆心，BA为半径画弧

，将弧

于点D；

步骤3：

连接AD，交BC延长线于点H.

下列叙述正确的是（）

第10题图

A．BH垂直分分线段ADB．AC平分∠BAD

C．S△ABC=BC·AHD．AB=AD

二、填空题

3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=　　．

4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是。

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：

S△ABC=1：

3．

三、解答题

5.（12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到）；

（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：

①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）

6.（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；

（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

7.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）

8.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．

9.如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．

（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；

（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．

【知识归纳答案】

一）尺规作图

1．定义

只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．

2．步骤

①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．

二）五种基本作图

1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．

三）基本作图的应用

1．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）．

（2）作三角形的内切圆．

【基础检测答案】

1．）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）

A．a=bB．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1

【解析】作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．

【解答】解：

根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0，

故2a+b+1=0，

整理得：

2a+b=﹣1，

故选：

B．

【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．

2.如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（）

A．2.5cm

B．3.0cm

C．3.5cm

D．4.0cm

【答案】B

【解析】首先根据题意画出图形，由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对角线相等，得出AD＝BC．最后利用刻度尺进行测量即可．

【方法指导】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质，关键是正确理解题意，画出图形．

3.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】作图—相似变换．

【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．

【解答】解：

如图，AD为所作．

4.（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．

（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；

（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．

【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．

【分析】

（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；

（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．

【解答】解：

（1）所求作△A1B1C如图所示：

由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，

则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；

（2）∵AC=

=

=

，∠ACA1=90°

∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：

S扇形CAA1+S△ABC

=

+×3×2

=

+3．

5．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．

（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；

（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．

【考点】作图-平移变换．

【分析】

（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．

（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．

【解答】解：

（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．

（2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．

6．（2016.山东省青岛市,4分）已知：

线段a及∠ACB．

求作：

⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．

【解答】解：

①作∠ACB的平分线CD，

②在CD上截取CO=a，

③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆；

如图所示：

⊙O即为所求．

7．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC

（1）线段BC的长等于　

　；

（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：

①以点　A　为圆心，以线段　BC　的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于

②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于

，请写出画法，并说明理由．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】

（1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；

（2）①结合勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的位置，根据画图的步骤，完成图形即可；

②根据线段的三等分点的画法，结合OA=2AC，即可得出结论．

【解答】解：

（1）在Rt△BAC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，

∴BC==．

故答案为：

．

（2）①在Rt△OAD中，OA=2，OD=

，∠OAD=90°，

∴AD===BC．

∴以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于

．

依此画出图形，如图1所示．

故答案为：

A；BC．

②∵OD=，OP=，OC=OA+AC=3，OA=2，

∴

．

故作法如下：

连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P，P点即是所要找的点．

依此画出图形，如图2所示．

【达标检测答案】

一、选择题

1．）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．

【解答】解：

由题意可得：

MN是AC的垂直平分线，

则AD=DC，故∠C=∠DAC，

∵∠C=30°，

∴∠DAC=30°，

∵∠B=55°，

∴∠BAC=95°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，

故选A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．

2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.

步骤1：

以C为圆心，CA为半径画弧

；

步骤2：

以B为圆心，BA为半径画弧

，将弧

于点D；

步骤3：

连接AD，交BC延长线于点H.

下列叙述正确的是（）

第10题图

A．BH垂直分分线段ADB．AC平分∠BAD

C．S△ABC=BC·AHD．AB=AD

答案：

A

解析：

AD相当于一个弦，BH、CH⊥AD；B、D两项不一定；C项面积应除以2。

知识点：

尺规作图

二、填空题

3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=　5　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质即可解决问题．

【解答】解：

由题意直线CD是线段AB的垂直平分线，

∵点F在直线CD上，

∴FA=FB，

∵FA=5，

∴FB=5．

故答案为5．

4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是。

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：

S△ABC=1：

3．

【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

【解答】解：

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．

故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．

故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴点D在AB的中垂线上．

故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=ACCD=ACAD．

∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD，

∴S△DAC：

S△ABC=ACAD：

ACAD=1：

3．

故④正确．

综上所述，正确的结论是：

①②③④．

【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．

三、解答题

5.（12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到）；

（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：

①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）

【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．

【分析】

（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；

（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．

【解答】解：

（1）根据图1可得：

，

，CD=3

∴A站到B站的路程=

≈；

（2）从A站到D站的路线图如下：

6.（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；

（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】

（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；

（2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．

【解答】解：

（1）如图1所示：

四边形AQCP即为所求，它的周长为：

4×

=4

；

（2）如图2所示：

四边形ABCD即为所求．

7.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】作图—相似变换．

【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．

【解答】解：

如图，AD为所作．

8.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．

【考点】矩形的性质；作图—基本作图．

【分析】

（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；

（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：

由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．

【解答】解：

（1）如图所示，EF为所求直线；

（2）四边形BEDF为菱形，理由为：

证明：

∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∵BF=DF，

∴BE=ED=DF=BF，

∴四边形BEDF为菱形．

9．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．

（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；

（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．

【分析】

（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．

（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．

（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．

【解答】解：

（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，

∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），

∴直线A1B1为y=5x﹣5，

直线B2C2为y=x+1，

直线A2B2为y=﹣x+1，

由解得，∴点E（，），

由解得，∴点F（，）．

∴S△BEF=

．

∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为

．