高等代数北大版第10章习题参考答案.docx
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高等代数北大版第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间
个线性函数，已知
解此方程组可得
f
（1）＝4，f
（2）＝－7，f（3）＝－3
＝4X1－7X2－3X3
设f为所求V上的线性函数，则由题设有
解此方程组可得
f（a）=f（X11+X22+X33）
=-X1+2X2+X3
3、设
1，
2，3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令
1＝
1－
3，2＝1＋
2－
3，
3＝2＋3
试证：
1，
2，3是V的一组基，
并求它的对偶基。
证：
设
（
1，2，3）＝（
1，
2，
3）A
由已知，
得
110
A＝
011
111
因为A≠0，所以1，
2，3是V的一组基。
设g1,g2,g3是1，2，
3得对偶基，则
g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）
011
＝（f1,f2,f3）112
111
因此
g1=f2-f3
g2=f1-f2+f3
g3=-f1+2f2-f3
4.设V是一个线性空间，f1,f2,⋯fs是V*中非零向量，试证：
∈V，使
fi（）≠0（i=1,2⋯,s）
证：
对s采用数学归纳法。
当s＝1时，f1≠0,所以∈V，使fi（）≠0，即当s＝1时命题成立。
假设当s=k时命题成立，即∈V，使fi（）=i≠0（i=1,2⋯,k）
下面证明s=k+1时命题成立。
若fk1（）≠0,则命题成立，若fk1（）＝0，则由fk1≠0知，一定∈V
使fk1（）＝b,设fi（）=di（i=1,2⋯,k）,于是总可取数c≠0，使
c，则∈V，且
fi（）=ai+cdi≠0（i=1,2⋯,k）fk1（）＝cb≠0
即证。
5．设1，2，⋯s是线性空间V中得非零向量，试证：
fi（i）≠0（i=1,2⋯,s）
证：
因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量
则可定义V*的一个线性函数**如下：
**（f）=f（）（f∈V*）
且**是V*的对偶空间（V*）*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*）*的映射
**
→
是一个同构映射，又因为1，2，⋯s是V中的非零向量，所以1**，2**，⋯s**对偶空间V*的对偶空间（V*）*中的非零向量，从而由上题知，f∈V*使
f（i）＝i**（f）≠0（i=1,2⋯,s）
即证.
6.设V＝P[x]3,对P（x）=C0+C1x+C2x2∈V,定义
1
f
1（p（x））=
0p（x）dx
f
2（p（x））=
2
0p（x）dx
f
3（p（x））=
1
0p（x）dx
试证f1，
f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x）,p2（x）,p3（x）,
使
1，f2，f3是它的对偶基。
1
1（g（x）＋h（x））＝0（g（x）h（x））dx
11
＝0g（x）dx＋0h（x）dx
＝f1（g（x））+f1（h（x））
即证f1。
同理可证f2，f3∈V*。
P1（x）=C0+C1x+C2x
则由定义可得
p（x）dx=-C0+1C1-1C2=0
23
解此方程组得
C0=C1=1,C2=-
故
P1（x）=1+x-
同理可得
112p2（x）=-+x2
62
112p3（x）=-+x-x2
32
），对V中确定得向量，定义V上的
7.设V是个n维线性空间，它得内积为（
一个函数*：
*（）=（，）
1）证明*是V上的线性函数
2）证明V到V*的映射是V到V*的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。
）
3）证：
1）先证明*是V上的线性函数，即*∈V*，对1，2∈V，
k∈P，由定义有：
*（1＋2）＝（，1＋2）
2）
1）＋
k1）=（，k1）=k（，1）=k*
（1）
故*是V上的线性函数。
2）设1，2⋯n是V的一组标准正交基，且对∈V由定义
i（）＝（i）（i=1,2⋯,n）知
i*（j）＝（i，
j）＝
1,i
0,i
jj
于是1*，2*⋯n*是
1，
2⋯
n的对偶基，从而V到V*的映射是V与V*
中两基间的一个双射因此它也是
V到V
*的一个同构映射
8．设A是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。
1）证明，对V上现行函数f，fA仍是V上的线性函数；
3）设
2）定义V*到自身的映射为f→fA证明A*是V*上的线性变换；
n是V的一组基，f1，f2，fn是它的对偶基，并设A在
n的矩阵为A。
证明：
A*在f1，f2，⋯fn下的矩阵为A′。
证：
1）对∈V，由定义知（fA）（）＝f（A（））是数域P中唯一确定的元，所以fA是V到P的一个映射。
又因为，∈V，k∈P,有（fA）（＋）＝f（A（＋））
＝f（A（）＋A（））
＝（fA）（）＋（fA）（）
（fA）（k
）＝f（A（k
=kf（A（
））
））
=f（kA（））=k（fA）（）
所以fA是V上线性函数。
**
*
2）对f∈V*，有A*（f）=
fA∈V*,故A
是V上的线性变换。
3）由题设知
A（1，
2⋯n）＝（
，⋯
1，2⋯
n）
A
设A*（f1，f2，⋯fn）＝
（f1，f2，⋯
fn）Bn
其中A=（aij）nn,B=（bij）nn,且f1，f2，⋯fn是1，2⋯n的对偶基，于是
fjA＝A（fj），所以aji=bij（i,j=1,2,⋯n）,即证A在f1，f2，⋯fn
下的矩阵为B=A′.
9.设V是数域P上的一个线性空间，f1，f2，⋯fn是V上的n个线性函数。
1）证明：
下列集合
W＝{∈V︱fi（）=0（1≤i≤n）}
是V的一个子空间，W成为线性函数f1，f2，⋯fn的零化子空间；
2）证明：
V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。
证：
1）因为f1，f2，⋯fn是V上的n个线性函数，所以f∈V*（1≤i≤n），且fi（0）=0（i=1,2,⋯n），因而0∈W，即证W非空。
又因为
，∈V，
∈P，有
fi（
＋）＝fi（
）＋fi
（）＝0（i=1,2,
⋯n）
fi（
）＝fi（
）＝0
所以
＋∈W，
∈W，
即证W是V的一个子空间。
2）设W1是V的任一子空间，且dim（W1）＝m,则当m＝n时，只要取f为V的零函数，就有
W1＝V＝{∈V︱f（）=0}
所以W1是f的零化子空间。
fm1,fm2,⋯,fn,则
W1=V={∈V︱fi（）=0（m+1≤i≤n）}
即W1是fm1,fm2,⋯,fn的零化子空间，事实上，若令
U1＝{∈V︱fi（）=0（m+1≤i≤n）}
则对＝a11+a22+⋯+amm∈W1,有
fm1（）=fm2（）=⋯=fn（）=0
因而∈U1，即W1U1。
反之，
＝b1
1+b22+⋯+bm
m+bm1m1+⋯
bnn∈U1，
由fm1（
）=fm2（
）=⋯=fn（）=0，
可得bm1＝bm2
=⋯=bn=0,因而
b11+b2
2+⋯+bm
m+bm1m1+⋯
bnn∈W1，即U1
W1，故U1＝W1。
10．设A是数域P上的一个m极矩阵，定义Pmn上的一个二元函数
mn
f（X,Y）=tr（X′AY）（X,Y∈Pmn）
1）证明f（X,Y）是Pmn上的双线性函数；
2）求f（X,Y）在基E11,E12,⋯,E1n,E21,⋯,E2n,⋯,Em1,Em2,⋯,Emn下的度量矩阵。
证：
1）先证f（X,Y）是Pmn上的双线性函数，对X,Y,Z∈Pmn,k1,k2∈P
由定义有
f（X,k1Y+k2,Z）=tr（X′A（k1Y+k2Z））
=k1tr（X′AY）+k2tr（X′AZ）
=k1f（X,Y）+k2f（Y,Z）
因而f（X,Y）是Pmn上的双线性函数。
2）由E'ijAEks＝aikEjs知
f（Eij,Eks）=tr（EijAEks）=tr（aikEjs）
=aik,js
=0,js
以下设f（X,Y）在基E11,E12,⋯,E1n,E21,⋯,E2n,⋯,Em1,Em2,⋯,Emn下的度量矩阵为
B，则
其中，E为n阶单位矩阵。
11．
在P4中定义一个双线性函数f（X,Y）,对
X＝（x1,x2,x3,x4）,Y=（y1,y2,y3,y4）∈P4有f（X,Y）=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y3
1）给定P4的一组基
3＝（－1，2，1，1），
4＝
（－1，－1，0，
1）
求f（X,Y）在这组基下的度量矩阵；
2）另取一组基1，2，3，
4，且
（1，2，3，
4）＝（
1，2，
3，4）T
其中
111
1
111
1
T＝
111
1
111
1
求f（X,Y）在这组基下的度量矩阵。
解1）设f（X,Y）在给定基1，
2，
3，4下的度量矩阵为A=（aij）44,则
47
514
12
27
A＝
011
114
154
152
其中aij＝f（i,j）.
3）设f（X,Y）在给定基1，2
，3，4
下的度量矩阵为
B,则由
1＝（1，－2，－1，0），
2＝（1，－1，1，0）
1
23
4）T
可得
6
46
8
24
18
26
16
72
B=T′AT=
2
38
0
0
15
4
0
0
12.设V是复数域上的线性空间，其维数
n>=2,f（
）是V上的一个对称双线性函数。
1）证明V中有非零向量使f（
）＝0
）是非退化的，则必有线性无关的向量
2）如果
，满足
）＝1
）＝f（，）＝0
故而
因而只要取
1i1i
，=－
21+22，=21－2
∈V，都
13．试证：
线性空间V上双线性函数f（,）是反对称的充要条件是：
对任意的
有
f（,）=0
证：
必要性。
因为f（,
）是反对称的，所以
∈V，
恒有
f（
）=－f（,）
故f（
）=0
充分性。
因为f（,
）是双线性函数，所以
∈V，有
f（
+,
+）=f（,）=f（,
）=0
故
f（,）＝－f（,）
即
f（,
）是反对称的
14．
设f（,
）是V上对称或反对称的双线性函数，
是V中的两个向量，若
f（,）＝0，则称,正交，再设K是V的一个真自空间，证明：
对K
必有0∈K+L（）使f（,）＝0对所有∈K都成立
证明：
1）先证f（,）是对称的双线性函数的情形。
因为K是V的子空间，所以f（,）是K上的对称双线性函数，设dim（K）＝r
则f（,）关于K的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵，于是，必存在K的一组基1，
r，使f（,）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵
只要令
＝f（,1）＋f（,2）＋⋯f（,r）－
＝d11d22drr
且当di=0（1≤i≤r）时，就删除di相应的项，则0∈K+L（），于是对任意∈K,恒有
f（,）＝0
2）再证f（,）是反对称双线性函数的情形，
首先，若对给定K，若存在∈K，使f（,）=0,则可令1＝，1＝，使得
f（i，i）=1.又因为K+L（）是V的子空间，所以f（,）也是K+L（）上的反对称双线
性函数，
于是可将i，
i扩充为K+L（
）的一组基：
1，1，2
，2，⋯
rr
，1，2⋯s
使
f（i,
i）1（i1,2,.
..r）
f（i,
j）0（ij
0）
f（,k）0（
kL（）,k
1,2,..
.r）
故而
当
s≠0时，只要取
＝1，则对
∈K，恒有
f（,
）=0;
当
s=0时，只要取
＝1，则由＝
1，K=L（
1，1
，2，2，⋯r，r）
对
∈K，也有f（
）=0。
其次，若对给定的
K，，及任意
∈K，使f（
）=0,
则只要取＝即可。
15．设V与f（,）同上题，K是V的一个子空间，令
=V|f（,）0,K
1）试证K是V的子空间（K称为K的正交补）；
2）试证：
如果K∩K＝{0},则V＝K＋K
证：
1）因为∈K，恒有f（0,）=0,所以0∈K，即K非空。
另一方面，1，2∈K，k∈P,∈K，有
f（1+2,）=f（1,）+f（2,）=0
f（k1,）=kf（1,）=0
故1+2，k1∈K，从而K是V的子空间。
2）由于K和K都是V的子空间，知
则存在
K+KV
不妨设K是V的一个真子空间，∈V,若∈K，则证毕，若K，
0
∈K+L（
），
使
f（
）=0
（
∈K）
于是
∈
K。
又因为
＝
＋k（
∈K,k∈P）
显然
K
0,否则
＝
＝K∩K
＝{0}
从而
＝
＝0，这是不可能的。
因此有
11
＝－
＋
∈K+K
故V
K+K。
即证。
16．设V，，K同上题，并设f（,）限制，试证：
V＝K+K
的充要条件是f（,）在V上是非退化的.
证：
必要性。
设V＝K+K，且f（,）＝0（∈K）
下证＝0，设＝1+2，1∈K，2∈K，则∈K，有
0＝f（,）＝f（1+2,）＝f（1,）＋f（2,
＝f（
由于f（,
）在K上是非退化的，故1＝0，从而＝2∈K
同理，
∈K，由f（
）＝0可得∈（
K），但K∩K
＝{0}
因而得知
＝0。
充分性：
设
1∈K∩K，
若≠0，则只要将
1扩充为一组基1，
2，⋯m
由于1∈
K，因而必有
f（i,j）
0（j1,2L,m）
于是，
∈K，皆有f（
）＝0，这与f（
）限制在K上非退化矛盾，所以
1＝0，也就是K∩K＝{0}
由此即证V=K+K.
17.设f（,）是N维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中的一个元素
定义V*中的一个元素
试证：
n，使f（i,j）＝ij
则
0＝0*（
i）＝（k1
1+k22+⋯+kn
n*）（i）
*
*
*
＝k11
（i）＋
k2
2*（i）+⋯
+kn
n*（i）
＝k1f（
1,i）+k2
f（
2,i）+⋯+kn
f（
n,i）
=kidi
（i=1,2⋯
n）
但di≠0（i=1,2
⋯n），故
ki=0（i=1,2
⋯n）
*
*
*
**
这意味着1*
，2⋯
n
*线性无关，因而
1
，2*⋯n*为V的一组
基，故V到V
*的映射→
*
是一个双映射。
另一方面，
，，∈
V，
k∈P,有
＋）*
（
）＝f（＋,）＝f（
）＋f（,）
＝（）＋
*
（）
*
（k）*（）
=f（k,）=kf（,
）=k
*
*（）
故V到V*的映射→*是一个同构映射。
n的对偶基，于是存在V
2）设V*中的线性函数f1,f2,⋯fn是V的基
n，使
的唯一一个向量组
另一方面，设有线性关系
=k1f（1,i）+k2f（2,i）+⋯knf（n,i）
n如果满足
f（i
i）=1
（i=1,2⋯p）
f（i,
i）=-1
（i=p+1,p+2,⋯,n）
f（i,
j）=0
（i≠j）
A＝diag{d1,d2,⋯dn}
其中di≠0（i=1,2,⋯n）.
若A为V的一个准正交变换，则由定义有
A（
V）＝L（A
（
1）,A
（2）,⋯A（n））
于是对于线性关系
k1A
（1）+k2
A
（2）+⋯+knA（n）=0
有
0＝f（0,A（
i））=f（k1A
（
1）+k2A
（2）
=k1f（A
（1）,A（i））+k2f（A
（2）,A（i））+⋯+knf（A（n）,
A（i））
=k1f（1,i）+k2f（2,i）+⋯+knf（n,i）
kidi,i1,2,...,p
kidi,ip1,...,n
但di≠0（i=1,2,⋯,n）,故ki=0（i=1,2,⋯,n）.这意味着A
（1），A
（2），⋯A（n）
线性无关，因而，A
（1），A
（2），⋯A（n）为A（V）的一组基，且
dim（A（V））=n,有因为V是有限维的，所以A是可逆变换。
设A的逆变换为A1，则A1仍为线性变换，且任意,∈V，有
f（A1（）,A1（））=f（AA1（）,AA1（））=f（,）
1
故A1也是准正交变换。
2）设A1A2为V的两个准正交变换，则A2A1也是V的一个线性变换，且任意,∈
V，有
f（A2A1（）,A2A1（））=f（A1（）,A1（））=f（,）
A2A1也是准正交变换.
3）因为f（,）非退化的对称双线性函数，所以存在V的一组基1，2⋯n，使
j）=0di,,ii
设为准正交变换A的任一特征值，
为其相应的一个特征向量，且
2
f（,）=f（A（）,A（））=f（,）=2f（,）
222222
但f（,）＝k1d1+k2d2+⋯kndn≠0
所以2＝1，即证＝1。
5）设1，2⋯，n为N维准欧氏空间V的一组正交基，则
f（i,i）＝1（i=1,2,⋯p）
f（i,i）＝-1（i=p+1,p+2,⋯n）
f（i,j）＝0（i≠j）
若准正交变换A在基
n下的矩阵为
A，则
n）
n）
且有AA′=
EP
EP
从而有
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