函数图象中点的存在性问题.docx
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函数图象中点的存在性问题
第一部分函数图象中点的存在性问题
这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式,然后在函数的图象上探求符合几何条件的点.
简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式.
复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,进而用待定系数法求函数的解析式.
还有一种常见题型,解析式中有待定字母,这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解,或者根据题意列出方程组求解.
§1.1 因动点产生的相似三角形问题
相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.
判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:
寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.
如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分
=
和
=
两种情况列方程.
应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.
应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程（组）.
还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.
求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.
如图,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?
我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减.
例1 2016年湖州市中考第23题
如图1所示,已知二次函数y=-x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过A（3,1）、C（0,4）两点,顶点为M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标;
（2）若将该二次函数的图象向下平移m（m>0）个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界）,求m的取值范围;
（3）点P是直线AC上的动点,若点P、C、M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果,不必写解答过程）.
图1备用图
例2 2017年上海市杨浦区中考模拟第24题
如图1,已知抛物线y=ax2-x+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A（-1,0）,顶点为B.点C（5,m）在抛物线上,直线BC交x轴于点E.
（1）求抛物线的表达式及点E的坐标;
（2）连结AB,求∠B的正切值;
（3）点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧）,当△CGM与△ABE相似时,求点M的坐标.
图1
例3 2017年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第25题
如图1,△ABC的边AB是☉O的直径,点C在☉O上,已知AC=6cm,BC=8cm,点P、Q分别在边AB、BC上,且点P不与A、B重合,BQ=kAP（k>0）,连结PC、PQ.
（1）求☉O的半径长;
（2）当k=2时,设AP=x,△CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
（3）如果△CPQ与△ABC相似,且∠ACB=∠CPQ,求k的值.
图1备用图
例4 2017年河南省中考第23题
如图1所示,直线y=-
x+c与x轴交于点A（3,0）,与y轴交于点B,抛物线y=-
x2+bx+c经过点A、B.
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式;
（2）M（m,0）为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N.
①点M在线段OA上运动,若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;
②点M在x轴上自由运动,若三个点M、P、N中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外）,则称M、P、N三点为“共谐点”.请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值.
图1
备用图
§1.2 因动点产生的等腰三角形问题
我们先回顾两个画图问题:
1.已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个?
顶点C的轨迹是什么?
2.已知线段AB=6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个?
顶点C的轨迹是什么?
已知腰长画等腰三角形,用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C.
已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外.
在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类.
如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.
解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题既好又快.
几何法一般分三步:
分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法.
①如图1,如果AB=AC,直接列方程;
②如图2,如果BA=BC,那么
AC=ABcos∠A;
③如图3,如果CA=CB,那么
AB=ACcos∠A.
代数法一般也分三步:
罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.
如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来.
图1
图2
图3
例5 2016年河南省中考第23题
如图1所示,直线y=-
x+n交x轴于点A,交y轴于点C（0,4）,抛物线y=
x2+bx+c经过点A交y轴于点B（0,-2）.点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式;
（2）当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
（3）如图2所示,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
图1
图2
备用图
例6 2016年山西省中考第23题
如图1所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连结CE,已知点A、D的坐标分别为（-2,0）、（6,-8）.
（1）求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
（2）试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为（0,m）,直线PB与直线l交于点Q.试探究:
当m为何值时,△POQ是等腰三角形.
图1
例7 2017年上海市嘉定区中考模拟第24题
如图1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为（3,1）,点B的坐标为（6,5）,点C的坐标为（0,5）,某二次函数的图象经过A、B、C三点.
（1）求这个二次函数的解析式;
（2）假如点Q在该二次函数图象的对称轴上,且△ACQ是等腰三角形,请直接写出点Q的坐标;
（3）如果点P在
（1）中求出的二次函数的图象上,且tan∠PCA=
求∠PCB的正弦值.
图1
例8 2017年福建省中考第24题
如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD是矩形,连结CF.
（1）若△PCD为等腰三角形,求AP的长;
（2）若AP=
求CF的长.
图1
例9 2017年淮安市中考第28题
如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=-
x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为（-3,0）,点B的坐标为（4,0）,连结AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒,连结PQ.
（1）填空:
b= ,c= ;
（2）在点P、Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?
请说明理由;
（3）在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;
（4）如图2,点N的坐标为
线段PQ的中点为H,连结NH,当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q'的坐标.
图1图2
备用图
例10 2017年重庆市中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=
x2-
x-
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E（4,n）在抛物线上.
（1）求直线AE的解析式;
（2）如图2,点P是直线CE下方抛物线上的一点,连结PC、PE.当△PCE的面积最大时,连结CD、CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;
（3）点G是线段CE的中点,将抛物线y=
x2-
x-
沿x轴正方向平移得到新抛物线y',y'经过点D,y'的顶点为F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1图2
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