高考数学一轮总复习直线的交点与距离公式.docx

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高考数学一轮总复习直线的交点与距离公式

2020年高考数学一轮总复习：

直线的交点与距离公式

[基础梳理]

三种距离

三种距离

条件

公式

两点间的距离

A（x1，y1），B（x2，y2）

|AB|＝

点到直线的距离

P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d

d＝

两平行线间的距离

直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d

d＝

1．点到直线的距离公式

（1）直线方程为一般式．

（2）公式中分母与点无关．

（3）分子与点及直线方程都有关．

2．两平行直线间的距离

（1）是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

（2）也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离．

[四基自测]

1．点（1，－1）到直线x－y＋1＝0的距离是（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

C.D.

答案：

D

2．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．

答案：

3．已知点A（3,2）和B（－1,4）到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．

答案：

－4或

4．已知两平行线l1：

2x＋3y＝6，l2：

2x＋3y－1＝0，则l1与l2间距离为________．

答案：

考点一　直线的交点及应用

[例1]　求满足下列条件的直线方程：

（1）经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋2019＝0.

（2）经过两条直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y＋2018＝0.

（3）已知直线l经过点P（3,1），且被两条平行直线l1：

x＋y＋1＝0和l2：

x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．

解析：

（1）解方程组得两条直线的交点坐标为（－2,2），因为所求直线垂直于直线3x－2y＋2019＝0，所以所求直线的斜率为k＝－，所以所求直线方程为y－2＝－（x＋2），即2x＋3y－2＝0.

（2）解方程组得两条直线的交点坐标为（3,2），因为所求直线平行于直线4x－3y＋2018＝0，所以所求直线的斜率为k＝，所以所求直线方程为y－2＝（x－3），即4x－3y－6＝0.

（3）法一：

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别为A′（3，－4），B′（3，－9），截得的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k（x－3）＋1.

解方程组

得A，

解方程组得B.

由|AB|＝5，

得2＋2＝52.

解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.

综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.

法二：

如图所示，作直线l1：

x＋y＋1＝0，l2：

x＋y＋6＝0.

l1与x、y轴的交点A（－1,0）、B（0，－1），

l2与x、y轴交点C（－6,0）、D（0，－6）．

∴|BD|＝5，|AC|＝5.

过点（3,1）与l1、l2截得的线段长为5.

即平行x轴或y轴．

∴所求直线方程为x＝3或y＝1.

1．两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．

2．求过两直线交点的直线方程的方法

（1）直接法：

①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．

（2）直线系法：

①设过两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0.

②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程．

③验证A2x＋B2y＋C2＝0是否符合题意．

（3）数形结合法，求直线截得的线段长．

1．将

（1）中的条件改为“经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且与坐标轴围成的三角形的面积为1”．

解析：

解方程组得两条直线的交点坐标为（－2,2），设所求直线的斜率为k（k≠0），直线方程为y－2＝k（x＋2），所以两个截距分别为2k＋2，－，所以直线与坐标轴围成三角形的面积为S＝|2k＋2|＝1，解方程得k＝－2或－，所以所求直线方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

2．本例（3）改为过点M（0,1）作直线，使它被两条直线l1：

x－3y＋10＝0，l2：

2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为________．

解析：

过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是，（0,8），显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图象与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有①

②

由①解得xA＝，由②解得xB＝.

因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，

即＋＝0，解得k＝－.

∴所求直线为y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.

答案：

x＋4y－4＝0

考点二　距离问题

[例2]　

（1）已知两条平行直线l1：

mx＋8y＋n＝0与l2：

2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．

解析：

因为l1∥l2，所以＝≠，

所以或

①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，

把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，

所以＝，解得n＝－22或18.

故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.

②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，

把l2的方程写成4x－8y－2＝0，

所以＝，解得n＝－18或22.

故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.

答案：

2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0

（2）（2019·昆明模拟）点P到点A′（1,0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于，这样的点P共有（　　）

A．1个　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

解析：

设点P（x，y），由题意知＝|x＋1|，且＝，

所以即　①

或　②

解①得或

解②得因此，这样的点P共有3个．

答案：

C

（3）（2018·高考全国卷Ⅲ）直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x－2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）

A．[2,6]B．[4,8]

C．[，3]D．[2，3]

解析：

设圆（x－2）2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C（2,0），r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为AB·dmin＝2.

综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．

故选A.

答案：

A

1．用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；

2．两平行线间的距离公式，两直线方程中x，y的系数分别相同；

3．两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化．

1．（2019·厦门模拟）若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．

解析：

依题意知，＝≠，

解得a＝－4，c≠－2，

即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，

又两平行线之间的距离为，

所以＝，解得c＝2或－6.

答案：

2或－6

2．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1,3）到直线l的距离为，则直线l的方程为________．

解析：

当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A（1,3）到直线l的距离为，得＝，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A（1,3）到直线l的距离为，得＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

答案：

y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0

考点三　对称问题

角度1　对称问题的求法

[例3]　已知直线l：

2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）．求：

（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；

（2）直线m：

3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

（3）直线l关于点A的对称直线l′的方程．

解析：

（1）设对称点A′的坐标为（m，n），由已知可得

解得即A′.

（2）在直线m上取一点，如B（2,0），则B关于l的对称点必在m′上，设对称点为B′（a，b），

则由得B′.

设m与l的交点为N，由得N（4,3）．

设直线m′上任意一点的坐标为（x，y），由两点式得直线m′的方程为＝，即9x－46y＋102＝0.

（3）法一：

在l：

2x－3y＋1＝0上任取两点，如M（1,1），N（4,3）．则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．

易知M′（－3，－5），N′（－6，－7），由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

法二：

设直线l关于点A的对称直线l′上的任意一点P（x，y），则点P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y）．

∵点P′在直线l上，

∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.

角度2　对称问题的应用

[例4]　

（1）（2019·淮安模拟）已知入射光线经过点M（－3,4），被直线l：

x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2,6），则反射光线所在直线的方程为________．

（2）已知直线l：

x－2y＋8＝0和两点A（2,0），B（－2，－4）．在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小．

解析：

（1）设点M（－3,4）关于直线l：

x－y＋3＝0的对称点为M′（a，b），则反射光线所在直线过点M′，

所以解得a＝1，b＝0.

又反射光线经过点N（2,6）．

所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

（2）设A关于直线l的对称点为A′（m，n），

则解得

故A′（－2,8）．

P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，

解方程组得

故所求的点P的坐标为（－2,3）．

答案：

（1）6x－y－6＝0　

（2）见解析

有关对称问题的规律方法

方法

解读

中心对称

点关于点

点M（x1，y1）与N（x，y）关于P（a，b）对称，利用中点

直线关于点

l1关于A对称的直线：

取B∈l1，求B关于A的对称点B′，利用斜率相等，求点斜式

续表

方法

解读

轴对称

点关于直线对称

点A关于l1对称点A′，利用A′A的中点在l1上，且AA′⊥l，求A′点

线l1关于线l对称l1∩l＝A

利用A∈l2，且取B∈l1，求B关于l的对称点B′，由A和B′求方程

若l1∥l

利用平行线l1与l，l与l2之间的距离相等；或者利用斜率相等

1．（2019·岳阳模拟）直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（　　）

A．x＋2y－1＝0　　　　B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0

解析：

法一：

设所求直线上任一点为（x，y），则它关于x＝1的对称点（2－x，y）在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.

法二：

根据直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x＝1上知选D.

答案：

D

2．已知三角形的一个顶点A（4，－1），它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：

x－