答案：
－
4．（2016·厦门一模）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：
当x≥1时，f（x）＝2x－1≥1，
∵函数f（x）＝的值域为R，
∴当x<1时，（1－2a）x＋3a必须取遍（－∞，1）内的所有实数，则解得0≤a＜.
答案：
[技法融会]
1．函数定义域问题的3种类型
（1）已知函数的解析式：
定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式（组）求解即可．
（2）抽象函数：
根据f（g（x））中g（x）的范围与f（x）中x的范围相同求解．
（3）实际问题或几何问题：
除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．
2．（易错提醒）对于分段函数的求值（解不等式）问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.
函数的图象包括作图、识图、用图，三者在学习中的侧重点为：
（1）作图：
常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f（x）与y＝f（－x），y＝－f（x），y＝－f（－x），y＝f（|x|），y＝|f（x）|及y＝af（x）＋b的相互关系．
（2）识图：
从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
（3）用图：
图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
[题组练透]
1．（2016·全国乙卷）函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为（ ）
解析：
选D ∵f（x）＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f
（2）＝8－e2∈（0，1），故排除A，B.
设g（x）＝2x2－ex，则g′（x）＝4x－ex.
又g′（0）<0，g′
（2）>0，
∴g（x）在（0，2）内至少存在一个极值点，
∴f（x）＝2x2－e|x|在（0，2）内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
2.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）＝B．f（x）＝
C．f（x）＝－1D．f（x）＝x－
解析：
选A 由函数图象可知，函数f（x）为奇函数，应排＋∞时，f（x）→＋∞时，f（x）→
＋∞，排除D，故选A.
3．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
解析：
函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.
答案：
－
[技法融会]
识别函数图象的3种方法
（1）直接法：
直接求出函数的解析式并作出其图象；
（2）特例排除法：
其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点；
（3）性质验证法.
1．判断函数单调性的一般规律
单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．
2．判断函数奇偶性的3个技巧
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
（2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
（3）对于偶函数而言，有f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．
3．周期性的3个常用结论
对f（x）定义域内任一自变量的值x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a；
（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a；
（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a.（a>0）
[题组练透]
1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0”的是（ ）
A．f（x）＝－xB．f（x）＝x3
C．f（x）＝lnxD．f（x）＝2x
解析：
选A “∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0”等价于f（x）在（0，＋∞）上为减函数，易判断f（x）＝－x满足条件．
2．（2016·天津高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）＞f（－），则a的取值范围是（ ）
A.B.∪
C.D.
解析：
选C 因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，所以
f（－x）＝f（x），且f（x）在（0，＋∞）上单调递减．由f（2|a－1|）＞f（－），f（－）＝f（），可得
2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.
3．（2016·四川高考）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f＋f
（1）＝________．
解析：
∵f（x）为奇函数，周期为2，
∴f
（1）＝f（1－2）＝f（－1）＝－f
（1），∴f
（1）＝0.
∵f（x）＝4x，x∈（0，1），∴f＝f＝f＝－f＝－4＝－2.
∴f＋f
（1）＝－2.
答案：
－2
4．（2016·安徽蚌埠二模）函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝________.
解析：
函数的定义域为{x|x≠0}，f（x）＝＝x＋＋a＋2.
由于函数f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），
即－x－＋a＋2＝－＝－x－－（a＋2），则a＋2＝－（a＋2），即a＋2＝0，则a＝－2.
答案：
－2
[技法融会]
1．函数3大性质的应用
（1）奇偶性：
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分（一半）区间上．尤其注意偶函数f（x）的性质：
f（|x|）＝f（x）．
（2）单调性：
可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等．
（3）周期性：
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
2．（易错提醒）
（1）求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
（2）判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.
一、函数与不等式的交汇
函数与不等式的交汇是高考的热点，关于函数与不等式的解法、恒成立、求参数范围等问题交汇的题目一般有一定难度．
[新题速递]
1．已知f（x）＝使f（x）≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：
由题意知或解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故所求的x的取值范围是[－4，2]．
答案：
[－4，2]
2．（2016·东北四市联考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，若（1），则x的取值范围是________．
解析：
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（lnx）－f＝f（lnx）－f（－lnx）＝f（lnx）＋f（lnx）＝2f（lnx），∴（1）等价于|f（lnx）|（1），又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴－1答案：
[技法融会]
求解函数与不等式交汇问题的策略
已知函数的性质常利用转化与化归思想，把较复杂的问题转化为简单的问题，有时还需要借助图象求自变量或参数的范围．
二、新定义下的函数问题
新定义函数问题主要包括两类：
一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素（定义域、对应法则、值域）作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；
二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．
[新题速递]
1．已知函数f（x）＝如果对任意的n∈N*，定义
那么f2016
（2）的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解析：
选C ∵f1
（2）＝f
（2）＝1，f2
（2）＝f
（1）＝0，f3
（2）＝f（0）＝2，∴fn
（2）的值具有周期性，且周期为3，∴f2016
（2）＝f3×672
（2）＝f3
（2）＝2，故选C.
2．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：
（1）对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
（2）当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f（x1＋x2）≥f（x1）＋f（x2）成立．
则下列3个函数中不是M函数的个数是（ ）
①f（x）＝x2 ②f（x）＝x2＋1 ③f（x）＝2x－1
A．0B．1C．2D．3
解析：
选B 在[0，1]上，3个函数都满足f（x）≥0.当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：
对于①，f（x1＋x2）－[f（x1）＋f（x2）]＝（x1＋x2）2－（x＋x）＝2x1x2≥0，满足；对于②，f（x1＋x2）－[f（x1）＋f（x2）]＝[（x1＋x2）2＋1]－[（x＋1）＋（x＋1）]＝2x1x2－1<0，不满足；对于③，f（x1＋x2）－[f（x1）＋f（x2）]＝（2x1＋x2－1）－（2x1－1＋2x2－1）＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝（2x1－1）（2x2－1）≥0，满足．故选B.
[技法融会]
解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后将其转化为熟悉的数学问题求解．如第2题通过对M函数的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．
一、选择题
1．函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A．[0，＋∞）B．（1，＋∞）
C．[0，1）∪（1，＋∞）D．[0，1）
解析：
选C 由题意知
∴f（x）的定义域为[0，1）∪（1，＋∞）．
2．（2016·石家庄质量检测）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝B．y＝|x|－1
C．y＝lgxD．y＝
解析：
选B A中函数y＝不是偶函数且在（0，＋∞）上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在（0，＋∞）上单调递增，故选B.
3．（2016·沈阳质量检测）已知函数f（x）＝则f（f（4））的值为（ ）
A．－B．－9C.D．9
解析：
选C 因为f（x）＝所以f（f（4））＝f（－2）＝.
4．（2016·赣中南五校联考）已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为（ ）
A．5B．1C．－1D．－3
解析：
选A ∵y＝f（x）是奇函数，且f（3）＝6，∴f（－3）＝－6，∴9－3a＝－6.解得a＝5.故选A.
5．已知函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），如果f（x＋2016）＝那么f·f（－7984）＝（ ）
A．2016B.C．4D.
解析：
选C 由题意得，f＝sin＝1，f（－7984）＝f（2016－10000）＝
lg10000＝4，∴f·f（－7984）＝4，故选C.
6．（2016·湖北七市联考）T为常数，定义fT（x）＝若f（x）＝x－lnx，则f3[f2（e）]的值为（ ）
A．e－1B．eC．3D．e＋1
解析：
选C 由题意得，f（e）＝e－1<2，∴f2（e）＝2，又f
（2）＝2－ln2<3，∴f3[f2（e）]＝3，故选C.
7．（2016·江西两市联考）当a>0时，函数f（x）＝（x2＋2ax）ex的图象大致是（ ）
解析：
选B 由f（x）＝0，得x2＋2ax＝0，解得x＝0或x＝－2a，∵a>0，∴x＝－2a<0，故排除A、C；当x趋向于－∞时，ex趋向于0，故f（x）趋向于0，排除D.
8．（2016·重庆一测）设曲线y＝f（x）与曲线y＝x2＋a（x>0）关于直线y＝－x对称，且f（－2）＝2f（－1），则a＝（ ）
A．0B.C.D．1
解析：
选C 依题意得，曲线y＝f（x）即为－x＝（－y）2＋a（其中－y>0，即y<0，注意到点（x0，y0）关于直线y＝－x的对称点是点（－y0，－x0）），化简后得y＝－，即f（x）＝
－，于是有－＝－2，由此解得a＝，选C.
9．（2016·湖北枣阳模拟）已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）满足f（x）≤f（a）对x∈R恒成立，则函数（ ）
A．f（x－a）一定为奇函数B．f（x－a）一定为偶函数
C．f（x＋a）一定为奇函数D．f（x＋a）一定为偶函数
解析：
选D 由条件可知f（a）＝1，则x＝a是f（x）的一条对称轴．又y＝f（x＋a）的图象是由y＝f（x）的图象向左平移a个单位得到的，所以y＝f（x＋a）关于x＝0对称，即y＝f（x＋a）为偶函数，故选D.
10．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，设a＝ln，b＝（lnπ）2，c＝ln，当任意x1，x2∈（0，＋∞）时，都有（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0，则（ ）
A．f（a）>f（b）>f（c）B．f（b）>f（a）>f（c）
C．f（c）>f（b）>f（a）D．f（c）>f（a）>f（b）
解析：
选D 依题意，函数y＝f（x）在（0，＋∞）上为减函数，且其图象关于y轴对称，则f（a）＝f（－a）＝f＝f（lnπ），f（c）＝f（ln）＝f，而0f（lnπ）>f[（lnπ）2]，即f（c）>f（a）>f（b），故选D.
11．已知函数f（x）＝＋2017sinx在x∈[－t，t]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为（ ）
A．0B．4036C．4032D．4038
解析：
选B 记g（x）＝，
则g（x）＝＝2017＋，
记p（x）＝，
则p（－x）＝＝.
因为函数y＝2017sinx是奇函数，它在[－t，t]上的最大值与最小值互为相反数，所以最大值与最小值的和为0.
又因为y＝2017x＋1是[－t，t]上的增函数，
所以M＋N＝2017＋＋2017＋＝4036，故选B.
12．已知g（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g（x）＝－ln（1－x），函数f（x）＝若f（2－x2）>f（x），则x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
B．（－∞，1）∪（2，＋∞）
C．（－2，1）
D．（1，2）
解析：
选C 因为g（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g（x）＝－ln（1－x），所以当x>0时，－x<0，g（－x）＝－ln（1＋x），即当x>0时，g（x）＝ln（1＋x），
因为函数f（x）＝所以函数f（x）＝
作出函数f（x）的图象：
可判断f（x）＝在（－∞，＋∞）上单调递增．
因为f（2－x2）>f（x），
所以2－x2>x，
解得－2二、填空题
13．函数f（x）＝ln的值域是________．
解析：
因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1.
所以0<≤1.所以ln≤0，
即f（x）＝ln的值域为（－∞，0]．
答案：
（－∞，0]
14．（2016·南昌一模）有四个函数：
①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln（x＋1）；④y＝|1－x|.
其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是________．
解析：
分析题意易知①③中的函数在（0，1）内单调递增，不满足题意，②④中的函数在（0，1）内单调递减，满足题意．
答案：
②④
15．（2016·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1）上，f（x）＝其中a∈R.若f＝f，则f（5a）的值是________．
解析：
因为函数f（x）的周期为2，结合在[－1，1）上f（x）的解析式，得
f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
由f＝f，得－＋a＝，解得a＝.
所以f（5a）＝f（3）＝f（4－1）＝f（－1）＝－1＋＝－.
答案：
－
16．如果y＝f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x＋a）＝f（－x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：
①函数y＝sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y＝f（x）具有“P
（2）性质”，且f
（1）＝1，则f（2015）＝1；
③若函数y＝f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（－1，0）上单调递减，则y＝f（x）在（－2，－1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
④若不恒为零的函数y＝f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，则函数y＝f（x）是周期函数．
其中正确的是________（写出所有正确命题的编号）．
解析：
①因为sin（x＋π）＝－sinx＝sin（－x），所以函数y＝sinx具有“P（a）性质”，所以①正确；
②因为奇函数y＝f（x）具有“P
（2）性质”，所以f（x＋2）＝f（－x）＝－f（x），所以f（x＋4）＝f（x），周期为4，因为f
（1）＝1，所以f（2015）＝f（3）＝－f
（1）＝－1，所以②不正确；
③因为函数y＝f（x）具有“P（4）性质”，所以f（x＋4）＝f（－x），所以f（x）的图象关于x＝2对称，即f（2－x）＝f（2＋x），因为图象关于点（1，0）成中心对称，所以f（2－x）＝－f（x），即f（2＋x）＝－f（－x），所以得出f（x）＝f（－x），f（x）为偶函数，因为图象关于点（1，0）成中心对称，且在（－1，0）上单调递减，所以图象也关于点（－1，0）成中心对称，且在（－2，－1）上单调递减，根据偶函数的对称性得出在（1，2）上单调递增，故③正确；
④因为y＝f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，所以f（x）＝f（－x），f（x＋3）＝f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．
答案：
①③④
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