正弦定理和余弦定理讲解.docx

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正弦定理和余弦定理讲解

年级

高一

学科

数学

内容标题

正弦定理和余弦定理

编稿老师

褚哲

、学习目标

1.掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能应用这些公式解斜三角形

2.能正确理解实际问题中仰角、俯角、视角、方位角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.

3.能熟练应用正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、几何等方面的问题.

4.在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能力.

、重点、难点

重点：

正、余弦定理及其证明；用正弦定理、余弦定理解三角形难点：

定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.

三、考点分析本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的.正、余弦定理是我们学习三角形相关知识的延续和发展，这些定理进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求角三解形的重要工具，本章内容经常会与三角部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.

1.正弦定理

1）正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在ABC中

上式对任意三角形均成立

（2）利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角；

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角

2.余弦定理

（1）余弦定理：

三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在ABC中，

a2b2c22bccosAb2c2a22cacosB222

c2a2b22abcosC余弦定理还有另一种形式：

若令C90，则c2a2b2，这就是勾股定理

2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：

1已知三边，求三个角；

2已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3.在解三角形问题时，须掌握的三角关系式

在ABC中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.

（1）ABC；

11

SabsinC，SbcsinA，

22

4.实际应用问题中的有关名词、术语

1）仰角和俯角：

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标

视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角

（2）方向角：

从指定方向线到目标方向线的水平角.

（3）方位角：

从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角

（4）坡度：

坡面与水平面所成的二面角的度数

5.须熟悉的三角形中的有关公式

比如：

解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，

Pabc（P为三角形的周长）

1

Saha（ha表示a边上的高）

2

111

SabsinCacsinBbcsinA

222

Sabc（可用正弦定理推得）

4R

1

Sr（abc）（r为内切圆半径）

2

此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.

6.关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论

已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题的过程中

当A为直角或钝角时

知识点一：

正弦定理与余弦定理

abc

（1）定理的表示形式：

abckk0；

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC（k0）

（2）正弦定理的应用范围：

①已知三角形的两角和任一边，求其他两边及一角；

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边及角

例2：

在ABC中，已知a23，c62，B45，求b及A的值.思路分析：

本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件.

222

解题过程：

∵b2a2c22accosB

=（23）2（62）2223（62）cos45°

=12（62）243（31）=8

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

a23

解法二：

∵sinAsinBsin45，又∵62>2.4+1.4=3.8，

b22

23<21.83.6,∴a

解题后反思：

使用解法二时应注意确定A的取值范围.

例3：

在△ABC中，已知a=3，b=2，B=45°，求A、C及c.

可用正弦定理求解，但先要判

思路分析：

这是一道已知两边及一边的对角解三角形的问题，定△ABC是否有解，有几个解，亦可用余弦定理求解

解题过程：

∵B=45°<90°，且b

由正弦定理得：

sinA=asinB3sin453，

b22

∴A=60°或120°.

①当A=60°时，C=75°c=bsinC2sin7562.

sinBsin452

②当A=120°时，C=15°c=bsinC2sin1562.sinBsin452

故A=60°，C=75°，c=62或A=120°，C=15°，c=62.

22解题后反思：

因sinA=sin（π－A），故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应.

知识点二：

三角形中的几何计算

例4：

已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为2.

（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

思路分析：

利用正、余弦定理可以进行边角互化，解题时要注意有意识地进行边角关系的统

解题过程：

（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）sinB得

又∵0°

113

2）SABC=absinC=×ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）ABC222

=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A=3sin2A－3cos2A+3=3sin（2A－30°）+3.

2222∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=33.

2

解题后反思：

求最值往往是先建立函数关系式，然后借助函数的方法去求解

BC7

例5：

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos2A.22

（1）求角A的度数；

（2）若a=3，b+c=3，求b和c的值.

思路分析：

在三角形的求解中，会经常用到ABC，显然把BC转化成A可是解题过程更为简便.

BC7

解题过程：

（1）由4sin2cos2A及ABC180，得：

22

21cosBC2cos2A17，

41cosA4cos2A5

即4cos2A4cosA10，

1

cosA，0A180，A60

2

b2c2a2

2）由余弦定理得：

cosAbca

bc3

ba

得：

或

bc2

c2

由

解题后反思：

此外，还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式

知识点三：

应用性问题

例6：

如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯

塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）

思路分析：

解斜三角形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解.

解题过程：

在△ADC中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=30，所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

即AB=ACsin60326sin1520

测量距离问题、测量高度问

故B，D的距离约为0.33km.

解题后反思：

利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：

题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等

解三角形的相关题目时应根据已知与未知条件，合理选择使用正、余弦定理，使解题过程简洁，并达到算法简炼，算式工整、计算准确.

解斜三角形应用题的步骤：

①准确理解题意，分清已知和未知条件，准确理解应用题中的有关名词、术语，如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等；

②根据题意画出图形；

3将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，最后作答.

1.

在△ABC中，

a＝3，b＝7，c＝2，

那么B等于（

）

A.

30°

B.45°C.

60°

D.

120

2.

在△ABC中，

a＝10，B=60°，C=45°

，则c等于

（

）

A.

103

B.1031C.

31

D.

103

3.

在△ABC中，

a＝23，b＝22，

B＝45°，则

A等于（

）

A.

30°

B.60°C.

60°或120°

D.

30°或150°

4.

在△ABC中，

a＝12，b＝13，C＝60°

，此三角形的解的情况是（）

A.

无解

B.一解C.

两解

D.

不能确定

5.

在△ABC中，

222

已知a2b2c2bc，则角A为（

）

2

2

A.

B.C.

D.

或

3

6

3

3

3

6.

在△ABC中，

若acosAbcosB，

则△ABC的形状是（

）

A.

等腰三角形

B.直角三角形C.

等腰直角三角形

D.

等腰或直角三角形

二、填空题

7.在△ABC中，若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则a:

b:

c.

8.在△ABC中，a33,c2,B150°，则b＝.

9.在△ABC中，A＝60°，B＝45°，ab12，则a＝；b＝.

10.已知△ABC中，a181,b209,A121°，则此三角形解的情况是.

11.已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为.

12.在△ABC中，bc:

ca:

ab4:

5:

6，则△ABC的最大内角的度数是

三、解答题

13.在△ABC中，已知AB102，A＝45°，在BC边的长分别为20，203，5的3情况下，求相应角C的度数.

14.在△ABC中，

BC＝a，AC＝b，a，b是方程x223x20的两个根，且

2cosAB1.求：

（1）角C的度数；

（2）AB的长度.

15.在△ABC中，

22

cosAcosB11证明：

2222.

a2b2a2b2

16.在△ABC中，的最小值.

ab10，cosC是方程2x3x20的一个根，求△ABC周长

17.在△ABC中，若sinAsinBsinCcosAcosB.

（1）判断△ABC的形状；

（2）在上述△ABC中，若角C的对边c1，求该三角形内切圆半径的取值范围.

、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

B

C

B

C

D

、填空题

7.1:

3:

28.79.36126，12624

10.无解11.112.120°

三、解答题

ABsinA1013.解：

由正弦定理得sinC

BCBC

1

（1）当BC＝20时，sinC＝；BCABACC30°

2

（2）当BC＝203时，sinC＝3；32

ABsin45BCABC有两解C60或120°

（3）当BC＝5时，sinC＝2>1；C不存在

14.解：

（1）cosCcosABcosAB1C＝120°

2

2）由题设：

ab2

AB2

2222

AC2BC22ACBCcosCa2b22abcos120

abab2ab232210

AB10

x12,x2

又cosC是方程2x23x20的一个根.

cosC

2

由余弦定理可得：

c2a2b22ab1ab2ab

2

则：

c2100a10aa5275

当a5时，c最小且c7553此时abc1053

△ABC周长的最小值为1053

17.解：

（1）由sinAsinBsinCcosAcosB

2C

可得2sin1cosC0即C＝90°

2

△ABC是以C为直角顶点的直角三角形

11

2）内切圆半径rabcsinAsinB1

22

2sinA121

2422

内切圆半径的取值范围是