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圆周运动
第11课 圆周运动
1．匀速圆周运动
a．利用公式法求解传动圆周运动中各运动学量的比例关系
（1）（经典题，6分）如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。
a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的（ ）
A．线速度大小之比为3∶2∶2B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
答案：
D
解析：
A、B轮是摩擦传动，故vA＝vB，则ωARA＝ωBRB，又因为RB∶RA＝3∶2，所以ωA∶ωB＝3∶2；B、C轮是同轴转动，故ωB＝ωC，又因为RB∶RC＝3∶2，由公式v＝ωR可知，vB∶vC＝3∶2，故a、b、c三点的线速度之比为3∶3∶2，角速度之比为3∶2∶2，故A项、B项均错误。
由公式ω＝2πn可知，转速之比等于角速度之比，故C项错误。
由公式a＝ωv可知，aA∶aB∶aC＝9∶6∶4，故D项正确。
b．根据最大静摩擦力这一临界条件求解水平转盘模型问题
（2）（多选）（优质试题6分）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝
是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝
时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案：
AC
解析：
因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，所以小木块b做圆周运动需要的向心力较大，故B项错误。
因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，故A项正确。
当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg=mωb2.2l，解得ωb＝
，故C项正确。
当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω
l，解得ωa＝
，而转盘的角速度
<
，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f＝mω2l＝
kmg，故D项错误。
c．圆锥摆模型的解题关键是分析受力情况和找准临界状态
（3）（经典题，6分）有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为l的细绳系有质量m的小球，要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面高度h最大为（ ）
A.
B．ω2gC.
D.
答案：
A
解析：
要使得小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，临界情况就是小球对水平面的压力恰好为零，设绳拉力为T，细绳与竖直转轴的夹角为θ，此时对小球有Tcosθ＝mg，Tsinθ＝mω2lsinθ，解得cosθ＝
。
所以A点到水平面高度h的最大值为h＝lcosθ＝
，故A项正确。
（4）（优质试题，16分）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速转动。
一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。
①若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
②ω＝
ω0，且0答案：
①小物块受到的摩擦力恰好为零时，ω0＝
（4分）
②当ω＝（1＋k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为f＝
mg；当ω＝（1－k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为f＝
mg（12分）
解析：
①当摩擦力为零时，支持力和重力的合力提供向心力，如图（a）所示，有
mgtanθ＝mRsin60°ω02（2分）
解得ω0＝
（2分）
②当ω＝（1＋k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，如图（b）所示，根据牛顿第二定律得
fcos60°＋FNcos30°＝mω2Rsin60°（2分）
fsin60°＋mg＝FNsin30°（2分）
联立两式解得f＝
mg（2分）
当ω＝（1－k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得：
FNcos30°－fcos60°＝mω2Rsin60°（2分）
FNsin30°＋fsin60°＝mg（2分）
联立两式解得f＝
mg（2分）
d．利用最大静摩擦力分析汽车转弯时的打滑问题
（5）（多选）（优质试题6分）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。
如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。
则在该弯道处（ ）
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
答案：
AC
解析：
汽车以速率v0转弯，需要指向内侧的向心力。
而汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明汽车不受摩擦力。
所以只能是支持力沿水平方向的分力提供向心力，则此处公路内侧较低、外侧较高，故A项正确。
车速只要低于v0，汽车便有向内侧滑动的趋势，但不一定向内侧滑动，故B项错误。
车速虽然高于v0，由于车轮与地面有摩擦力，只要不超出某一最高限度，汽车便不会向外侧滑动，故C项正确。
根据题述，汽车以速率v0转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，没有受到摩擦力，所以当路面结冰时，与未结冰时相比，转弯时v0的值不变，故D项错误。
2．变速圆周运动
a．竖直面内的轻绳模型（只能提供拉力）
（6）（优质试题，3分）如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F，小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。
整个过程中，物块在夹子中没有滑动，小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C．物块上升的最大高度为
D．速度v不能超过
答案：
D
解析：
物块向右做匀速运动时，则夹子与物块M处于平衡状态，故绳中的张力等于Mg，小环碰到钉子P后，物块向上摆动，故Mg<2F，所以绳子张力小于2F，故A项错误。
小环碰到钉子P时，物块M做圆周运动，依据最低点由拉力与重力的合力提供向心力，可知绳中的张力将大于Mg，而小于等于2F，故B项错误。
依据机械能守恒定律，减小的动能转化为重力势能，则有Mgh＝
Mv2，解得h＝
，故物块上升的最大高度为
，故C项错误。
因夹子对物块M的最大静摩擦力为2F，依据牛顿第二定律，结合向心力表达式，对物块M有2F－Mg＝M
，解得vm＝
，故D项正确。
b．竖直面内的轻杆模型（能提供拉力和支持力）
（7）（优质试题级月考，6分）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案：
B
解析：
由于管道能支撑小球，所以小球能通过最高点时的最小速度vmin＝0，故A项错误，B项正确。
小球在水平线ab以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，而此时指向圆心的向心力只可能是外侧的管壁提供，故此时内侧管壁对小球一定无作用力，故C项错误。
若小球的速度较小，如小球恰好过最高点时，小球仅受到重力和内侧管壁的支持力，外侧管壁对小球没有作用力，故D项错误。
c．竖直面内的拱形桥模型（只能提供支持力）
（8）（优质试题考试，6分）汽车通过拱形桥时的运动可以看成圆周运动，如图所示。
质量为m的汽车以速度v通过半径为R的拱形桥最高点时，下列说法正确的是（ ）
A．桥对汽车的支持力小于汽车对桥的压力
B．汽车对桥的压力大小为mg
C．桥对汽车的支持力大小为mg－m
D．无论汽车的速度有多大，汽车对桥始终有压力
答案：
C
解析：
桥对汽车的支持力和汽车对桥的压力是一对作用力与反作用力，大小相等，故A项错误。
对汽车受力分析，受重力和支持力，由于汽车做圆周运动，故合力提供向心力，有mg－FN＝m
，解得FN＝mg－m
，故B项错误，C项正确。
当车的速度比较大时，车可以对桥面没有压力，此时车的重力提供向心力，则mg＝m
，解得v0＝
，即当车的速度大于等于
时，车对桥面没有压力，故D项错误。
d．倾斜面上的圆周运动
（9）（优质试题，6分）如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为
。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面间的夹角为30°，g取10m/s2。
则ω的最大值是（ ）
A.
rad/sB.
rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s
答案：
C
解析：
物体转到圆盘的最低点时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大，当角速度为最大值时，由牛顿第二定律得μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，解得ω＝
，代入数据得ω＝1rad/s，故C项正确。
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