离散数学课后练习题答案第三版乔维声汤维版.docx
《离散数学课后练习题答案第三版乔维声汤维版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学课后练习题答案第三版乔维声汤维版.docx（80页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
离散数学课后练习题答案第三版乔维声汤维版
离散数学课后练习题答案（第三版）-乔维声-汤维版
、
命题逻辑
1.用形式语言写出下列命题：
（1）如果这个数是大于1的整数，则它的大于1最小因数一定是素数。
（2）如果王琳是学生党员又能严格要求自己，则她一定会得到大家的尊敬。
（3）小王不富有但很快乐。
（4）说逻辑学枯燥无味或毫无价值都是不对的。
（5）我现在乘公共汽车或者坐飞机。
（6）如果有雾，他就不能搭船而是乘车过江。
解：
（1）设P：
这个数是大于1的整数。
Q：
这个数的大于1最小因数是素数。
则原命题可表示为：
P→Q。
或：
设P1：
这个数大于1。
P2：
这个数是整数。
Q：
这个数的大于1最小因数是素数。
则原命题可表示为：
P1∧P2→Q。
（2）设P：
王琳是学生。
Q：
王琳是党员。
R：
王琳能严格要求自己。
S：
王琳会得到大家的尊敬。
则原命题可表示为：
P∧Q∧R→S。
（3）设P：
小王富有。
Q：
小王很快乐。
则原命题可表示为：
⌝P∧Q。
（4）设P：
逻辑学枯燥无味。
Q：
逻辑学毫无价值。
则原命题可表示为：
⌝（P∨Q）。
（5）设P：
我现在乘公共汽车。
Q：
我现在坐飞机。
则原命题可表示为：
P⎺∨Q。
（6）设P：
天有雾。
Q：
他搭船过江。
R：
他乘车过江。
则原命题可表示为：
P→⌝Q∧R。
2.设P：
天下雪。
Q：
我将进城。
R：
我有时间。
将下列命题形式化：
（1）天不下雪，我也没有进城。
（2）如果我有时间，我将进城。
（3）如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：
原命题可分别表示为：
（1）⌝P∧⌝Q。
（2）R→Q。
（3）⌝P∧R→Q。
3.将P、Q、R所表示的命题与上题相同，试把下列公式翻译成自然语言：
（1）R∧Q
（2）⌝（R∨Q）
（3）Q↔（R∧⌝P）
（4）（Q→R）∧（R→Q）
解：
（1）原公式可翻译为：
我有时间而且我将进城。
（2）⌝（R∨Q）⇔⌝R∧⌝Q。
原公式可翻译为：
我没有时间也没有进城。
（3）我将进城当且仅当我有时间而且天不下雪。
（4）（Q→R）∧（R→Q））⇔（Q∧R）∨（⌝Q∧⌝R）⇔Q↔R。
原公式可翻译为：
如果我进城，我就有时间；如果我有时间，我就进城。
或：
我进城而且我有时间，或者我没有进城而且我也没有时间。
或：
我进城当且仅当我有时间。
4.构造下列命题公式的真值表：
（1）Q∧（P→Q）→P
（2）（P∧⌝Q）∨（R∧Q）→R
（3）（（P∨Q）→（Q∨R））→（P∧⌝R）
（4）（（⌝P→（P∧⌝Q））→R）∨（Q∧⌝R）
解：
（1）Q∧（P→Q）→P是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：
P
Q
P→Q
Q∧（P→Q）
Q∧（P→Q）→P
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
5.（P∧⌝Q）∨（R∧Q）→R是含三个变元的四层复合命题，其真值表如下表所示：
P
Q
R
⌝Q
R∧Q
P∧⌝Q
（P∧⌝Q）∨（R∧Q）
（P∧⌝Q）∨（R∧Q）→R
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
（5）所以（Q∧（P→Q））→（P→Q）是重言式。
（6）（P→Q）∧（Q→P）→（⌝P∧Q）是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：
P
Q
⌝P
P→Q
Q→P
⌝P∧Q
（P→Q）∧（Q→P）
（P→Q）∧（Q→P）→（⌝P∧Q）
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
6.所以（P→Q）∧（Q→P）→（⌝P∧Q）既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满足式）。
7.Q∧（P→Q）→（P→⌝Q）是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：
P
Q
⌝Q
P→Q
Q∧（P→Q）
P→⌝Q
Q∧（P→Q）→（P→⌝Q）
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
（7）所以Q∧（P→Q）→（P→⌝Q）既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满足式）。
（8）（P↔Q）→（P∧Q→P）是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：
P
Q
P∧Q
P↔Q
P∧Q→P
（P↔Q）→（P∧Q→P）
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
（9）所以（P↔Q）→（P∧Q→P）是重言式。
（10）记（（P→Q）∨（R→S））→（P∨R→Q∨S）为A，它是含四个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：
P
Q
R
S
P∨R
Q∨S
P→Q
R→S
（P→Q）∨（R→S）
P∨R→Q∨S
A
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（11）所以（（P→Q）∨（R→S））→（P∨R→Q∨S）既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满足式）。
（12）用推导法证明下列命题公式是等价的：
（13）P→（Q→P）⇔⌝P→（P→Q）
（14）⌝（P↔Q）⇔（P∧⌝Q）∨（⌝P∧Q）
（15）⌝（P∧Q）→（⌝P∨（⌝P∨Q））⇔（⌝P∨Q）
（16）（P→Q）∧（R→Q）⇔P∨R→Q
（17）P→（Q→R）⇔（P→⌝Q）∨（P→R）
（18）（Q∧R→S）∧（R→P∨S）⇔R∧（P→Q）→S
（19）证明：
（20）P→（Q→P）⇔（P∧Q）→P
（21）⇔⌝（P∧Q）∨P
（22）⇔（⌝P∨⌝Q）∨P
（23）⇔（⌝P∨P）∨⌝Q
（24）⇔1∨⌝Q
（25）⇔1
（26）⌝P→（P→Q）⇔（⌝P∧P）→Q
（27）⇔0→Q
（28）⇔1
（29）所以P→（Q→P）⇔⌝P→（P→Q）。
（30）⌝（P↔Q）⇔⌝（（P→Q）∧（Q→P））
（31）⇔⌝（P→Q）∨⌝（Q→P）
（32）⇔⌝（⌝P∨Q）∨⌝（⌝Q∨P）
（33）⇔（P∧⌝Q）∨（Q∧⌝P）
（34）⇔（P∧⌝Q）∨（⌝P∧Q）
（35）⌝（P∧Q）→（⌝P∨（⌝P∨Q））⇔（P∧Q）∨（⌝P∨（⌝P∨Q））
（36）⇔（P∧Q）∨（（⌝P∨⌝P）∨Q）
（37）⇔（P∧Q）∨（⌝P∨Q）
（38）⇔（（P∧Q）∨Q）∨⌝P
（39）⇔Q∨⌝P
（40）⇔⌝P∨Q
（41）（P→Q）∧（R→Q）⇔（⌝P∨Q）∧（⌝R∨Q）
（42）⇔（（⌝P∨Q）∧⌝R）∨（（⌝P∨Q）∧Q）
（43）⇔（⌝P∧⌝R）∨（Q∧⌝R）∨Q
（44）⇔⌝（P∨R）∨Q
（45）⇔P∨R→Q
（46）P→（Q→R）⇔（P∧Q）→R
（47）⇔⌝（P∧Q）∨R
（48）（P→⌝Q）∨（P→R）⇔（⌝P∨⌝Q）∨（⌝P∨R）
（49）⇔（（⌝P∨⌝Q）∨⌝P）∨R
（50）⇔（⌝P∨⌝Q）∨R
（51）⇔⌝（P∧Q）∨R
（52）所以P→（Q→R）⇔（P→⌝Q）∨（P→R）。
（53）（Q∧R→S）∧（R→P∨S）⇔（⌝（Q∧R）∨S）∧（⌝R∨P∨S）
（54）⇔（⌝Q∨⌝R∨S）∧（⌝R∨P∨S）
（55）⇔（⌝Q∨（⌝R∨S））∧（P∨（⌝R∨S））
（56）⇔（⌝Q∨（⌝R∨S））∧P∨（⌝Q∨（⌝R∨S））∧（⌝R∨S）
（57）⇔（⌝Q∨（⌝R∨S））∧P∨（⌝R∨S）
（58）⇔（⌝Q∧P）∨（（⌝R∨S）∧P）∨（⌝R∨S）
（59）⇔（⌝Q∧P）∨（⌝R∨S）
（60）R∧（P→Q）→S⇔R∧（⌝P∨Q）→S
（61）⇔⌝（R∧（⌝P∨Q））∨S
（62）⇔（⌝R∨⌝（⌝P∨Q））∨S
（63）⇔（⌝R∨（P∧⌝Q））∨S
（64）⇔（P∧⌝Q）∨（⌝R∨S）
（65）所以（Q∧R→S）∧（R→P∨S）⇔R∧（P→Q）→S。
（66）用分析法证明下列蕴含重言式：
（67）P∧Q⇒P→Q
（68）P→Q⇒P→P∧Q
（69）P⇒⌝P→Q
（70）P→（Q→R）⇒（P→Q）→（P→R）
（71）（P→Q）∧（Q→R）⇒P→R
（72）证明：
（73）若P∧Q为真，则P与Q都为真，所以P→Q为真，故P∧Q⇒P→Q。
（74）假设P→P∧Q为假，则P为真，且P∧Q为假，于是Q为假，所以P→Q为假，故P→Q⇒P→P∧Q。
（75）假设⌝P→Q为假，则⌝P为真，即P为假，故P⇒⌝P→Q。
（76）假设（P→Q）→（P→R）为假，则P→Q为真，P→R为假；由P→R为假知P为真，R为假；再由P→Q为真知Q为真；所以Q→R为假，则P→（Q→R）为假，故P→（Q→R）⇒（P→Q）→（P→R）。
（77）假设P→R为假，则P为真，R为假，
（78）若Q为真，则Q→R为假，所以（P→Q）∧（Q→R）为假；
（79）若Q为假，则P→Q为假，所以（P→Q）∧（Q→R）为假；
（80）故（P→Q）∧（Q→R）⇒P→R。
（81）写出下列命题公式的对偶：
（82）⌝（⌝P∨⌝Q）∨⌝（⌝P∨Q）↔P
（83）（P∨⌝Q）∧（P∨Q）∧（⌝P∨⌝Q）
（84）P→（（Q→R）∧⌝（P∧⌝Q））
（85）解：
（86）因为⌝（⌝P∨⌝Q）∨⌝（⌝P∨Q）↔P⇔⌝（（⌝P∨⌝Q
升级会员 