北师大版数学八年级下第二章一元一次不等式组教案.docx

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北师大版数学八年级下第二章一元一次不等式组教案

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

1．不等关系

教学目标：

1、知识与技能目标

①理解不等式的意义。

②能根据条件列出不等式。

③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。

2、过程与方法目标经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。

3、情感与态度目标感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式解决实际问题，使学生进一步认识数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的信心和兴趣。

教学重点：

①通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。

②根据实际问题建立合理的不等关系。

教学难点：

对不等式意义的理解及根据实际问题建立合理的不等关系。

教学过程１、创设情景，引入新课

寻找相等的量和不等的量

师：

我们学过等式，等式的定义是什么？

生：

表示相等关系的式子叫等式。

师：

我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。

同时，我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。

师：

比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。

请同学们也举一些不等关系的例子。

生1：

每天我都比他早起5分钟。

生2：

我的年龄不小于13岁。

生3：

我的体重不低于30公斤

2、讲述新课

师：

如何用式子来表示不等关系呢？

师：

展示投影片A

（1）某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%，如果明年的产值是b元，那么b和a满足的关系式是。

（2）如果某等腰三角形的底边用acm表示，这边上的高为4cm，如果这个三角形的面积不大于8cm²，那么a应该满足的关系式为。

（注意：

不大于的含义）

（3）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：

每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。

设行李的长、宽、高分别为acm、bcm、ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。

3、议一议

某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm（x≤5）的装潢条镶嵌（不计接缝），现有两种设计方案。

如下图：

方案一

方案二

师：

下面请大家讨论，按题意进行解答。

（学生讨论、解答后，教师根据情况进行点评）

（1）问题：

通风口规格

（2）探究：

x/m

通过测量一棵树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。

通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约为3㎝，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？

（只列关系式）

师：

请大家互相讨论后列出关系式

生：

设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4m，得3x+5＞240

4、归纳定义观察由上述问题得到的关系式，比如：

≤1，

＞1.5，

＞

，3x+5＞240，它们的共同特点：

都是用连接的式子。

生：

不等号

师：

一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

（特别的，不等号还包含“≠”）

5、课堂练习1、用适当的符号表示下列关系：

（1）a是非负数；

（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；

（3）x与17的和比它的5倍小；

（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。

2、表达式①x2≥0；②2a+4b≠3；③5m+2n；④x+y<0；⑤3x+2=9中的不等式有（填序号）。

3、801班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：

钢笔和笔记本。

已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则列出关于x的不等式是。

4、某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式

6、课时小结师生相互交流，总结本节重难点。

本课我主要学会了。

7、课后作业习题2.1:

第1、2、3、4题

课后反思：

2．不等式的基本性质

教学目标：

（1）知识与技能目标：

①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

②掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。

（2）过程与方法目标：

①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法。

③进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（3）情感与态度目标：

①通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。

②尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。

教学重点：

不等式的基本性质。

教学难点:

不等式的基本性质的实际运用。

教学过程：

１、创设情景，引入新课

利用班上同学站在不同的位置上比高矮。

请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。

问题1：

怎样比才公平？

2、讲述新课

参照教材与多媒体课件提出问题：

还记得等式的基本性质吗？

请用字母表示它。

不等式有类似的性质吗？

先猜一猜。

（1）用等号或不等号完成下面的填空。

如果2<3；那么

2×53×5；2×

3×

；2×（-1）3×（-1）；

2×（-5）3×（-5）；2×（-

）3×（-

）.

（2）验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。

（3）与同伴交流你的结论，并展示。

生1：

等式的基本性质1用字母可以表示为：

，

类似地得到，如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果不等号方向不变。

字母表示为：

∵a＞b，∴a±c＞b±c；或∵a＞b，∴a±c＜b±c。

生2：

对于等式的基本性质2，用字母可以表示为：

，其中

。

经过前面的探索，可类似地得到：

如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变。

字母表示如下：

3、练习巩固：

1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长

取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即

。

你相信这个结论吗？

你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？

2、将下列不等式化成“

”或“

”的形式：

（1）

（2）

3、将下列不等式化成“

”或“

”的形式：

（1）

（2）

（3）

4、已知

，下列不等式一定成立吗？

（1）

（2）

（3）

（4）

5、小明做这样一题：

已知2x>3x,求x的范围。

结果小明两边同时除以x，得到2>3。

你知道他错在哪?

4、课堂小结活动内容：

学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班说出，与全班同学讨论交流。

5、布置作业习题2.2

课后反思：

3．不等式的解集

教学目标：

（1）知识与技能目标：

①能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义。

②能在数轴上表示不等式的解集。

（2）过程与方法目标:

①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。

②经历求不等式的解集的过程，通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来，引导学生体验用数轴表示不等式解集具有直观的优越性，增强学生数形结合的意识。

（3）情感态度与价值观目标：

通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满了探究性和创造性。

教学重点：

（1）理解不等式的解与解集的概念。

（2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来。

教学难点：

不等式解集的数轴表示。

教学过程１、创设情景，引入新课

师：

我们已学习了不等式的基本性质，不等式的基本性质有哪些？

它与等式的性质有何异同点？

生：

答（略）。

（多媒体呈现）

师：

我们已学习了不等式的基本概念和性质。

这节课我们来研究不等式的解的相关知识。

师：

方程的解的定义是什么？

生：

使得方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

师：

换句话说，方程的解是使得方程成立的未知数的值。

师：

类似地，你认为什么是不等式的解？

生：

能够使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。

师：

确实，“能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

”

2、讲述新课

燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，燃放者离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？

引导分析：

设导火线长度为xcm，燃放者转移到安全区域需要的时间最少为

（s），导火线燃烧的时间为

s，要使燃放者转移到安全地带，必须有：

＞

。

解：

设导火线的长度为x㎝，则：

＞

根据不等式的基本性质，可得

x＞5

3、想一想：

（1）x=－2、1、5、6、8是不等式x＞5的解么？

（2）你还能说出几个不等式x＞5的解吗？

你认为不等式x＞5的解有几个？

它们有什么特点？

（3）不等式x2≤0的解有哪些？

不等式x2≤－2呢？

生1：

x=6、8是不等式x＞5的解。

x=－2、1、5不是不等式x＞5的解。

生2：

x=12、6.3、20是不等式x＞5的解。

不等式x＞5的解有无数个。

它们都比5大。

生3：

不等式x2≤0的解是x=0；不等式x2≤－2无解。

通过对以上问题情境的探究，引导学生认识到：

不等式的解一般有无数个，但有时只有有限个，有时无解。

在此基础上，给出不等式的解集和解不等式的定义：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。

4、做一做：

（1）不等式x+1>5的解集是；

（2）不等式x2>0的解集是．

生3：

x>4

生4：

x是所有非0实数。

5、议一议：

既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？

请同学们相互交流，发表自己的见解。

请同学们用自己的方式将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集x≤4分别表示在数轴上，并与同伴进行交流。

在小组展示、交流质疑的基础上，引导学生掌握在数轴上表示不等式的解集的正确方法，并提醒学生注意：

1）指示线的方向,“>”向右,“<”向左.

2）有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.

-2-10123456

x≤4

以上两个解集正确的表示方法为：

6、例题讲解

01234

根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集表示在数轴上。

（1）x-2≥-4

（2）2x≤8-2x-2＞-10

解：

（1）x≥-2

（2）x≤4

（3）x＜4

随堂练习

1、判断正误：

（1）不等式x-1﹥0有无数个解

（2）不等式2x-3≤0的解集为x≥

2、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：

（1）x＞4

（2）x≤-1（3）x≥-2（4）x≤6

3、填空：

1）方程2x=4的解有（）个,不等式2x<4的解有（）个

2）不等式5x≥-10的解集是（）

3）不等式x≥-3的负整数解是（）

4）不等式x-1<2的正整数解是（）

7、课时小结

师：

本课你主要学会了。

生：

1、学会了什么是不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念

2、会探索简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上。

3、用数轴表示解集时的注意事项。

8、作业习题2.3:

第1、2、3、4题

课后反思：

4．一元一次不等式

（一）

教学目标：

（一）知识与技能：

会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。

（二）过程与方法：

让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。

（三）情感与态度：

通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。

教学重点：

掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。

教学难点：

一元一次不等式的解法。

教学过程1、创设情境，引入新课

（1）不等式的三条基本性质是什么?

（2）运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或x

①x-4<6②2x>x-5③

④

（3）什么叫一元一次方程?

解一元一次方程的步骤是什么?

观察下列不等式：

（1）6+3x>30

（2）x+17<5x（3）x>5（4）

这些不等式有哪些共同点？

注意事项：

学生自行归纳总结，发言讨论，教师在总结学生发言的基础上板书一元一次不等式的定义:

“左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式（linearinequalitywithunknown）”。

并向学生强调一元一次不等式的主要特征。

巩固概念想一想：

在前面几节课中，你列出了哪些一元一次不等式？

试举两例，并与同伴交流。

2、讲述新课

例1.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上。

提出问题：

1、你能利用不等式的基本性质解决吗？

试一试。

2、在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？

能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？

3、在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？

例2.解不等式

≥

，并把它的解集表示在数轴上。

解：

去分母，得3（x-2）≥2（7-x）

6

去括号，得3x-6≥14-2x

移项、合并同类项，得5x≥20

两边都除以5，得x≥4

这个不等式的解集在数轴上表示如下

3、练习提高

1．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上；

（1）5x＜200

（2）

＜3

（3）x-4≥2（x+2）（4）

＜

2.求不等式4（4x+1）≤24的正整数解。

4、课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？

（什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解法。

）

（2）你学会了哪些数学方法？

（类比的数学方法。

）

（3）你觉得在一元一次不等式的解题步骤中，应该注意些什么问题？

（如果乘数或除数是负数，不等号的方向要改变。

）

5、作业习题2.4

课后反思：

4．一元一次不等式

（二）

教学目标：

（1）知识与技能目标：

①进一步熟练掌握解一元一次不等式的解法；

②利用一元一次不等式解决简单的实际问题。

（2）过程与方法目标：

通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求解对实际问题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。

（3）情感与态度目标：

通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴趣与信心。

教学重点：

一元一次不等式的应用。

教学难点：

将实际问题抽象成数学问题的思维过程。

教学过程1、创设情境，引入新课

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上。

（1）

（2）

2、讲述新课

利用一元一次不等式解决简单的实际问题

某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于5﹪.请你帮助售货员计算一下，此种商品可以按几折销售？

先独立思考，再小组交流解决方法。

3、例题解析，方法归纳

活动内容1：

［例3］一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

解：

设小明答对了x道题，则得4x分，另有（25-x）道要扣分，而小明评为优秀，即小明的得分应大于或等于85分，则

4x-（25-x）≥85

解得：

x≥22

所以，小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题。

解一元一次不等式应用题的步骤：

（1）审题，找不等关系；

（2）设未知数；

（3）列不等关系；

（4）解不等式；

（5）根据实际情况，写出全部答案

4、练习提高

1.某种商品进价为400元，出售时标价500元，商场准备打折销售，但要保持利润不低于10﹪.则至多可打几折？

2.小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他还可能买多少根火腿肠？

5、课堂小结通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

（1）解一元一次不等式的一般步骤及注意事项；

（2）利用一元一次不等式可以解决一些实际问题。

6、作业习题2.5

课后反思：

5．一元一次不等式与一次函数

（一）

教学目标：

1、理解一次函数图象与一元一次不等式的关系。

2、能够用图像法解一元一次不等式。

3、理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式

教学重点：

理解一次函数图象与一元一次不等式的关系，能够用图像法解一元一次不等式。

教学难点：

理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式。

教学过程1、创设情境，引入新课

上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其它解法。

2、讲述新课

首先，我们来利用一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集。

1.导探激励

作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题。

（1）x取哪些值时，2x－5=0?

（3）x取哪些值时，2x－5＞0?

（2）x取哪些值时，2x－5＜0?

（4）x取哪些值时，2x－5＞3?

（1）当y=0时，2x－5=0。

∴x=

∴当x=

时，2x－5=0。

（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0，解得x=

.当x＞

时，由y=2x－5可知y＞0。

因此当x＞

时，2x－5＞0；

（3）同理可知，当x＜

时，有2x－5＜0；

（4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3。

3、想一想如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0?

首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：

从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0，得x=－2.5，所以当x取小于－2.5的值时，y＞0。

也可：

因为y=－2x－5，y＞0也就是－2x－5＞0，解不等式即得：

x＜－2.5

4、达测深化

兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）何时哥哥分追上弟弟？

（2）何时弟弟跑在哥哥前面？

（3）何时哥哥跑在弟弟前面？

（4）谁先跑过20m？

谁先跑过100m？

［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得

y1=4xy2=3x+9

函数图象如图：

从图象上来看：

（1）9s时哥哥追上弟弟

（2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；

（3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；

（4）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m;

从图象上直接可以观察出

（1）、

（2）小题，在回答第（3）题时，过y轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100m.

5、运用巩固、练习提高

1.已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？

你是怎样做的？

与同伴交流.

解：

如图所示：

当x取小于

的值时，有y1＞y2.

6、课时小结通过本节课的学习，你有哪些收获？

7、作业习题2.61、2

课后反思：

5．一元一次不等式与一次函数

（二）

教学目标：

1、掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。

2、通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。

3、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想。

教学重点：

掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。

教学难点：

通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。

教学过程1、创设情境，引入新课

上节课我们初步感知了一元一次不等式、一次函数和一元一次方程的关系，并用其解决了一些简单的实际问题，今天我们继续用它们的关系来解决较为复杂的实际问题。

首先请同学们完成下列问题：

1、若y1=-2x-2，y2=3x+3，试确定当x取何值时，y1

你是怎样做的？

2、某商品原价60元，现优惠25%，则现价是元

3、某商品原价200元，现打七五折，则现价是元

2、讲述新课

1.［例1］某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？

其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

请大家先猜想一下，你选哪家旅行社？

再通过计算验证

分析：

首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较。

而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于.

解：

设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则

y1=200×0.75x=150x　　　y2=200×0.8（x－1）=160x－160

当y1=y2时，150x=160x－160，解得x=16;

当y1＞y2时，150x＞160x－160，解得x＜16;

当y1＜y2时，150x＜160x－160，解得x＞16.

因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.

由此看来，选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关，而且还和参加旅游的人数有关，那么在以后的旅行中，大家一定不要想当然，而是要精打细算才能做到合理开支，现在，你学会利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题吗？

师生共同梳理利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤

解决问题

2.下面，我们要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顾客的，借助刚才的经验，我们又应该想何对策呢？

［例2］某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。

甲商场的优惠条件是：

第一台按原价收费，其余每台优惠25%。

那么甲商场的收费y1（元）与所买的电脑台数x之间的关系是。

乙商场的优惠条件是：

每台优惠20%。

那么乙商场的收费y2（元）与所买的电脑台数x之间的关系是。

（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？

（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？

（3）什么情况下两家商场的收费相同？

解：

设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有

y1=6000+（1－25%）（x－1）×6