高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教师用书.docx

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高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教师用书

第三节　等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

（1）定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q（n∈N*，q为非零常数）．

（2）等比中项：

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

2．等比数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝a1qn－1.

（2）前n项和公式：

Sn＝

3．等比数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am·qn－m（n，m∈N*）．

（2）若m＋n＝p＋q＝2k（m，n，p，q，k∈N*），则am·an＝ap·aq＝a；

（3）若数列{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，（λ≠0）仍然是等比数列；

（4）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）满足an＋1＝qan（n∈N*，q为常数）的数列{an}为等比数列．（　　）

（2）G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.（　　）

（3）若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．（　　）

（4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．已知等比数列{an}的公比为－，则的值是（　　）

A．－2　　　　　　　　B．－

C.D．2

A　[＝＝－2.]

3．（2017·浙江五校一联）等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝

（　　）

A．64B．128

C．256D．512

A　[设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或（舍去），所以a6＝a1q5＝64，故选A.]

4．（教材改编）在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．

27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，

243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.

∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]

5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.

6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]

等比数列的基本运算

（1）（2017·浙江名校联考）已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝（　　）

A．32　　B．64

C．128D．256

（2）已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．

（1）C　

（2）2n－1　[

（1）∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴（1－q2）＝3（1－q），即3q2－4q－4＝0，

∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.

（2）设等比数列的公比为q，则有

解得或

又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.]

[规律方法]　1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．

2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．

[变式训练1]　

（1）在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为（　　）

A．1B．－

C．1或－D．－1或

（2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝__________.

【导学号：

】

（1）C　

（2）28　[

（1）根据已知条件得

②÷①得＝3.

整理得2q2－q－1＝0，

解得q＝1或q＝－.

（2）由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]

等比数列的判定与证明

　已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ.

[解]　

（1）证明：

由题意得a1＝S1＝1＋λa1，2分

故λ≠1，a1＝，故a1≠0.4分

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1（λ－1）＝λan.6分

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝n－1.9分

（2）由

（1）得Sn＝1－n.12分

由S5＝得1－5＝，即5＝.14分

解得λ＝－1.15分

[规律方法]　等比数列的判定方法

（1）定义法：

若＝q（q为非零常数，n∈N*），则{an}是等比数列．

（2）等比中项法：

若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．

（3）通项公式法：

若数列通项公式可写成an＝c·qn（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列．

说明：

前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．

[变式训练2]　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

（1）设bn＝an＋1－2an，证明：

数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

[解]　

（1）证明：

由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，

有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.

∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

又

①－②，得an＋1＝4an－4an－1（n≥2），

∴an＋1－2an＝2（an－2an－1）（n≥2）.4分

∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1（n≥2），

故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.7分

（2）由

（1）知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，

∴－＝，

故是首项为，公差为的等差数列.10分

∴＝＋（n－1）·＝，

故an＝（3n－1）·2n－2.14分

等比数列的性质及应用

（1）（2017·宁波一中综合训练）在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am（m≥2），数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为（　　）

A．4B．5

C．6D．7

（2）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的（　　）

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（1）B　

（2）C　[

（1）由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am（m≥2），所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故选B.

（2）若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0.若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.]

[规律方法]　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

2．等比数列的性质可以分为三类：

一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

[变式训练3]　

（1）（2017·温州市第三次质检）在正项等比数列{an}中，a1008·a1009＝，则lga1＋lga2＋…＋lga2016＝（　　）【导学号：

】

A．2015B．2016

C．－2015D．－2016

（2）（2017·湖州一模）若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（　　）

A.B.

C．1D．2

（1）D　

（2）D　[

（1）lga1＋lga2＋…＋lga2016＝lga1a2…a2016＝

lg（a1008·a1009）1008＝lg1008＝lg1008＝－2016，故选D.

（2）由题意得S4＝＝9，所以＝.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝（aq3）2＝得aq3＝.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为＝＝·＝＝2，故选D.]

[思想与方法]

1．方程的思想．等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解．

2．函数的思想．通项公式an＝a1qn－1可化为an＝qn，因此an是关于n的函数，即{an}中的各项所表示的点（n，an）在曲线y＝qx上，是一群孤立的点．

3．分类讨论思想．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点．

[易错与防范]

1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．

2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列（例如：

当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列）．

课时分层训练（二十八）　

等比数列及其前n项和

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）

A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9成等比数列

D　[由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.]

2．（2017·杭州第二中学3月模拟）我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：

远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？

（　　）

A．5　B．4

C．3D．2

C　[设塔顶有x盏灯，则由题意知＝381，解得x＝3.故选C.]

3．（2017·嘉兴三模）在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于（　　）【导学号：

】

A．－3B．－1

C．1D．3

D　[两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.]

4．（2015·全国卷Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（　　）

A．21B．42

C．63D．84

B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.

∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3（舍去）．

∴a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×21＝42.故选B.]

5．（2017·杭州二次质检