13 一些基本的数学建模示例.docx
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13一些基本的数学建模示例
1.3一些基本的数学建模示例
1.3.1椅子的摆放问题
椅子能在不平的地面上放稳吗？
下面用数学建模的方法解决此问题。
模型准备
仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。
如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。
为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：
模型假设
1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）
2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。
（对地面的假设）
3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）
根据上述假设做本问题的模型构成：
模型构成
用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐标系如图1-1。
图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四只脚的对角线。
于是由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度来唯一表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为的函数。
注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地情况。
本题引入两个函数即可以描述椅子四图1-1
个脚是否着地情况。
记函数f（）为椅脚A和C与地面的垂直距离之和。
函数g（）为椅脚B和D与地面的垂直距离之和。
则显然有f（）0、g（）0，且它们都是的连续函数（假设2）。
由假设3，对任意的，有f（）、g（）至少有一个为0，不妨设当=0时，f（0）>0、g（0）=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：
数学命题（问题1的数学模型）
已知f（）、g（）都是的非负连续函数，对任意的，有f（）g（）=0，且f（0）>0、g（0）=0，则有存在0，使f（0）=g（0）=0。
模型求解
证明：
将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由f（0）>0、g（0）=0变为f（/2）=0、g（/2）>0
构造函数h（）=f（）-g（）,则有h（0）>0和h（/2）<0且h（）也是连续函数，显然，它在闭区间[0，/2]上连续。
由连续函数的零点定理，必存在一个0（0，/2），使h（0）=0，即存在0（0，/2），使f（0）=g（0）。
由于对任意的，有f（）g（）=0，特别有f（0）g（0）=0。
于是有f（0）、g（0）至少有一个为0，从而有f（0）=g（0）=0。
证毕。
简评：
问题1初看起来是乎与数学没有什么关系，不好用数学建模来解决，但通过如上处理把问题变为一个数学定理的证明从而使其可以用数学建模来解决，从中可以看到数学建模威力。
本题给出的启示是对于一些表面上与数学没有什么关系的实际问题也可以用数学建模的方法来解决，此类问题建模的着眼点是寻找和分析问题中出现的主要对象及其隐含的数量关系，通过适当简化和联想来将其变为数学问题。
1.3.2双层玻璃的功效问题
北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。
模型准备
本问题与热量的传播形式、温度有关。
检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是热传导物理定律:
厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与T成正比,与d成反比,即:
Q=kT/d
k为热传导系数。
模型假设（根据上定律做假设）
1.室内的热量传播只有传导（不考虑对流,辐射）
2.室内温度与室外温度保持不变（即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数）
3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀（热传导系数是常数）
模型构成
引入图1-2，其中的符号表示:
L
T2
T1
d:
玻璃厚度
T1:
室内温度,
T2:
室外温度
Ta:
靠近内层玻璃温度,
T2:
靠近外层玻璃的温度
L:
玻璃之间的距离
k1:
玻璃热传导系数
k2:
空气热传导系数
图1-2
对中间有缝隙的双层玻璃，由热量守恒定律有
穿过内层玻璃的热量=穿过中间空气层的热量=穿过外层玻璃的热量
根据热传导物理定律，得
消去不方便测量的Ta,Tb,有
对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层玻璃,根据热传导物理定律，有
而
此式说明双层玻璃比单层玻璃保温。
为得定量结果,考虑的s的值,查资料有
常用玻璃:
k1=410-3~810-3（焦耳/厘米.秒.度）
静止的干燥空气:
k2=2.510-4（焦耳/厘米.秒.度）
若取最保守的估计,有
由于
可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效,在最保守的估计下，它是h的函数。
下面从图形考察它的取值情况。
从图1-3中可知此函数无极小值,且当h从0变大时,Q/Q迅速下降,但h超过4后下降变慢。
从节约材料方面考虑，h不易选择过大,以免浪费材料。
如果取h4,有图1-3
3%
此说明在最保守的估计下，玻璃之间的距离约为玻璃厚度4倍时，双层玻璃比单层玻璃避免热量损失达97%。
简评:
问题2给出的启示是：
对于不太熟悉的问题，可以用根据实际问题涉及的概念着手去搜索有利于进行数学建模的结论来建模，此时建模中的假设要以相应有用结论成立的条件给出。
此外，本题对减少热量损失功效的处理给我指出了怎样处理没有极值的求极值问题的一个解决方法。
1.3.3搭积木问题
将一块积木作为基础，在它上面叠放其他积木，问上下积木之间的“向右前伸”可以达到多少？
模型准备
这个问题涉计到重心的概念。
关于重心的结果有：
设xoy平面上有n个质点，它们的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2），…,（xn,yn），对应的质量分别为m1,m2,…,mn,则该质点系的重心坐标
满足关系式
此外，每个刚性的物体都有重心。
重心的意义在于：
当物体A被物体B支撑时，只要它的重心位于物体B的正上方，A就会获得很好的平衡；如果A的重心超出了B的边缘，A就会落下来。
对于均匀密度的物体，其实际重心就是几何中心。
因为本题主要与重心的水平位置（重心的x坐标）有关，与垂直位置（重心的y坐标）无关，因此只要研究重心的水平坐标即可。
模型假设
1． 所有积木的长度和重量均为一个单位
2． 参与叠放的积木有足够多
3． 每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同
4． 最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上
模型构成
1．考虑两块积木的叠放情况。
对只有两块积木的叠放，注意到，此时使叠放后的积木平衡主要取决于上面的积木，而下面的积木只起到支撑作用。
假设在叠放平衡的前提下，上面的积木超过下面积木右端的最大前伸距离为x。
选择下面积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图1-4）。
因为积木是均匀的，因此它的重心在其中心位置，且其
质量可以认为是集中在重心的。
于是每个积木可以认为是
质量为1且其坐标在重心位置的质点。
因为下面的积木总
是稳定的，于是要想上面的积木与下面的积木离开最大的
位移且不掉下来，则上面的积木中心应该恰好在底下积木图1-4
的右边最顶端位置。
因此，可以得到上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2（因为积木的长度是1），于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为1/2。
2．考虑n块积木的叠放情况
两块积木的情况解决了，如果再加一块积木的叠放情况如何呢？
如果增加的积木放在原来两块积木的上边，那么此积木是不能再向右前伸了（为什么），除非再移动底下的积木，但这样会使问题复杂化，因为，这里讨论的是建模问题，不是怎样搭积木的问题。
为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个整体且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插入在最底下的积木下方。
于是，我们的问题又归结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。
这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：
即假设已经叠放好n（n>1）块积木后，再加一块积木的怎样叠放问题。
下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。
假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木
的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图1-5）。
考虑上面的n块图1-5
积木的重心关系。
我们把上面的n块积木分成两部分：
1） 从最高层开始的前n-1块积木，记它们的水平重心为x1,总质量为n-1
2） 与最底层积木相连的第n块积木,记它的水平重心为x2,质量为1
此外，我们也把上面的n块积木看作一个整体，并记它的重心水平坐标
，显然n块积木的质量为n。
那么，在保证平衡的前提下，上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的右端，即有
=0；假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为z，即有x1=z，而第n块积木的水平重心在距第n块积木左端的
处，于是在图1-5的坐标系下，有第n块积木的水平重心坐标为x2=
。
由重心的关系，有
于是有，对三块积木n=2,第3块积木的右端到第1块积木的右端距离最远可以前伸
对四块积木n=3,第4块积木的右端到第1块积木的右端距离最远可以前伸
设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为
，则有
当
时，有
。
这说明，随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方。
简评:
本题给出的启示是：
当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行解决，往往会使问题变得清晰。
此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能。
1.3.4四足动物的身长和体重关系问题
四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的体重有什么关系？
这个问题有一定的实际意义。
比如，生猪收购站的人员或养猪专业户，如果能从生猪的身长估计它的重量可以给他们带来很大方便。
模型准备
四足动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学对复杂的生理结构的研究，将很难得到什么有价值的模型。
为此我们可以在较粗浅的假设的基础上，建立动物的身长和体重的比例关系。
本问题与体积和力学有关，搜集与此有关的资料得到弹性力学中两端固定的弹性梁的一个结果：
长度为L的圆柱型弹性梁在自身重力f作用下,弹性梁的最大弯曲v与重力f和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积s和梁的直径d平方成反比，即
利用这个结果，我们采用类比的方法给出假设。
模型假设
1.设四足动物的躯干（不包括头尾）为长度为L、断面直径为d的圆柱体，体积为m。
2.四足动物的躯干（不包括头尾）重量与其体重相同，记为f。
3.四足动物可看做一根支撑在四肢上的弹性梁,其腰部的最大下垂对应弹性梁的最大弯曲，记为v。
模型构成
根据弹性理论结果及重量与体积成正比关系，有：
由正比关系的传递性，得
上式多一个变量v，为替代变量v，注意到
是动物躯干的相对下垂度，从生物进化观点，讨论相对下垂度有：
太大，四肢将无法支撑，此种动物必被淘汰；
太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯体的需要，无疑是一种浪费，也不符合进化理论。
因此从生物学的角度可以确定，对于每一种生存下来的动物，经过长期进化后，相对下垂度
已经达到其最合适的数值，应该接近一个常数（当然，不同种类的动物，常数值不同）。
于是可以得出d2L3,再由fsL和sd2得fL4，由此得到四足动物体重与躯干长度的关系
它就是本问题的数学模型。
模型应用
如果对于某一种四足动物，比如生猪，可以根据统计数据确定公式中的比例常数k而得到用该类动物的躯体长度估计它体重公式。
简评:
发挥想象力，利用类比方法，对问题进行大胆的假设和简化是数学建模的一个重要方法。
不过，使用此方法时要注意对所得数学模型进行检验。
此外，从一系列的比例关系着手推导模型可以使推导问题大为简化。
1.3.5圆杆堆垛问题
把若干不同半径的圆柱形钢杆水平地堆放在一个长方体箱子里，若已知每根杆的半径和最底层各杆的中心坐标，怎样求出其它杆的中心坐标？
模型准备
本问题是一个解析几何问题，利用解析几何的有关结论既可。
模型假设
1. 箱中最底层的杆接触箱底或紧靠箱壁
2. 除最底层之外的箱中每一根圆杆都恰有两根杆支撑
3. 箱中的钢杆至少有两层以上
模型构成
本问题如果把箱中所有钢杆一起考虑会带来不便。
现把本问题分解为已知三个圆杆的半径和两根支撑杆的坐标来求另一个被支撑杆坐标的三杆堆垛问题。
如果三杆堆垛问题解决了，则我们可以利用它依次求得箱中其它所有圆杆的坐标了。
虽说涉及的是空间物体，但可以用其堆垛的横截面图化为平面问题来解决。
设三个圆杆中两根支撑杆的半径分别为Rl,Rr，对应坐标为（xl,yl）,（xr,yr）,被支撑杆的半径和坐标为Rt和（xt,yt）。
连接三根圆杆的中心获得一个三角形，用a,b,c表示对应的三条边。
另用两个支撑圆杆的中心做一个直角三角形，如图1-6
由几何知识和三角公式有：
xt=xl+acos（+）=xl+a（coscos-sinsin）
yt=yl+asin（+）=yl+a（sincos+cossin）
这里计算公式中涉及的数据由如下公式获得：
a=Rl+Rt
b=Rr+Rt
d=xr-xl
e=yr-yl
c=（d2+e2）1/2
cos=d/c;sin=e/c
cos=（a2+c2-b2）/2ac图1-6三杆横截面图及辅助三角形
sin=（1-cos2）1/2
在编程计算支撑钢杆的坐标时，为了能快速求出（xt,yt），可以按如下顺序编程计算求解：
a=Rl+Rt
b=Rr+Rt
d=xr-xl
e=yr-yl
c=（d2+e2）1/2
csb=d/c
snb=e/c
csa=（a2+c2-b2）/2ac
sna=（1-csa2）1/2
xt=xl+a（csacsb-snasnb）
yt=yl+a（snacsb+csasnb）
有了如上三杆问题的求解，对多于三杆的问题可以按支撑关系和先后顺序依次求出所有其它杆的坐标。
例如，如果长方体箱子中有6根圆杆，已知1，2，3号的圆杆在箱底，4号杆由1，2号杆支撑，5号杆由2，3号杆支撑，6号杆由4，5号杆支撑，则可以调用如上三杆问题的算法先由1，2号杆算出4号杆坐标，接着再用2，3号杆算出5号杆坐标，最后用4，5号杆算出6号杆坐标。
简评：
本题建立计算模型的关键是把原题分解为一组等价的子问题从而是问题得以简化，研究者可以通过讨论子问题的求解获得原问题的解决。
这种处理问题的方法可以使复杂问题变得简单有效，它是处理一些有规律复杂问题的常用方法。
1.3.6公平的席位分配问题
席位分配在社会活动中经常遇到，如：
人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：
某单位席位分配数=某单位总人数比例总席位
如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？
下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：
某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。
它的最初学生人数及学生代表席位为
系名甲乙丙总数
学生数1006040200
学生人数比例100/20060/20040/200
席位分配106420
后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名甲乙丙总数
学生数1036334200
学生人数比例103/20063/20034/200
按比例分配席位10.36.33.420
按惯例席位分配106420
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。
为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。
重新按惯例分配席位,有
系名甲乙丙总数
学生数1036334200
学生人数比例103/20063/20034/200
按比例分配席位10.8156.6153.5721
按惯例席位分配117321
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。
模型构成
先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
单位人数席位数每席代表人数
单位Ap1n1
单位Bp2n2
要公平，应该有
=
，但这一般不成立。
注意到等式不成立时有
若
>
，则说明单位A吃亏（即对单位A不公平）
若
<
，则说明单位B吃亏（即对单位B不公平）
因此可以考虑用算式
来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为n1=n2=10，p1=120，p2=100，算得p=2
另两个单位的人数和席位为n1=n2=10，p1=1020，p2=1000,算得p=2
虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：
若
>
，定义
为对A的相对不公平值；
若
<
，定义
为对B的相对不公平值
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设
>
，即对单位A不公平，再分配一个席位时，关于
的关系可能有
1.
>
说明此一席给A后,对A还不公平;
2.
<
说明此一席给A后,对B还不公平,不公平值为
3.
>
说明此一席给B后,对A不公平,不公平值为
4.
<
不可能
上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有
rB（n1+1,n2）则增加的一席应给A，反之应给B。
对不等式rB（n1+1,n2）引入公式
于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。
用Qk的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。
对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为：
1．先计算每个组的Q值：
Qk,k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i组。
这种分配方法很容易编程处理。
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。
本问题的整数名额共分配了１９席，具体为：
甲 10.815n1=10
乙 6.615n2=6
丙 3.570n3=3
对第２０席的分配，计算Q值
Q1=1032/（1011）=96.45;Q2=632/（67）=94.5;Q3=342/（34）=96.33
因为Q1最大，因此第２０席应该给甲系;对第２１席的分配，计算Q值
Q1=1032/（1112）=80.37;Q2=632/（67）=94.5;Q3=342/（34）=96.33
因为Q3最大，因此第２1席应该给丙系
最后的席位分配为：
甲 １１席 乙 ６席丙 ４席
注：
若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3=1逐次增加一席，也可以得到同样的结果。
简评：
本题给出的启示是对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般的规律，这也是科学研究的常用方法。
请对一般情况编程。
1.3.7中国人重姓名问题
由于中国人口的增加和中国姓名结构的局限性，中国人姓名相重的现象日渐增多，特别是单名的出现，使重姓名问题更加突出，其引出的矛盾也日益突出。
例如有时在一个60人的集体里，重姓名竟有两对！
若在更大范围里调查，重姓名的严重情况将会更多。
重姓名现象引起的误会与带来的弊端是众所周知的，伴随着我国经济文化的高速发展和对外交往的扩大，重姓名引起的问题将更加突出，可以说有效地克服重姓名问题也即中国人姓名改革是迫在眉睫！
因此，用合理的方法对中国人姓名进行改革是非常必要的。
请尝试提出一个合理且可以有效解决此问题的中国人取名方案。
模型准备
先来看一下中国姓名的结构和取名习惯，中国的姓名是由姓和名来组成的。
姓在前名在后，目前姓大约有5730个但常用姓只有2077个左右。
名通常由两个字组成，较早时名的第一个字体现辈份，由一个家族的族谱决定，后一个字可任选。
近来随着家族概念的淡化，名子中已经无辈份之意，人们为图好记，只有一个字的单字名在增多。
组合数学中的乘法原理和鸽笼原理可以非常简单地解释拥有十几亿人口的中国重名现象。
姓名是由汉字排列而成，构成姓名的汉字多，则姓名总数就多。
要想有效地克服重姓名问题，就该增加姓名的汉字数。
因此，本问题可以用排列组合理论来解决。
模型假设
1． 中国的所有姓名共有N个,其中姓有S个；
2． 取名的方法和习惯不改变，即姓名中应该父亲姓氏在姓名首位
模型构成
靠机械地增加名字的个数解决重姓名问题或完全改变现有的姓名是不明智和不可取的。
应该采用兼顾现有姓名习惯来做这件事。
为扩大姓名集合并考虑到中国姓名的特色和兼顾原有取名习惯，利用排列组合的理论，这里提出如下体现父母姓的复姓名方式来解决重姓名问题。
引入的中国姓名取名方法称为FM取名方法,这里F和M分别是中文父（fù）母（mǔ）二字的拼音首字母，同时也是英语父（father）母（mother）二词的首字母，它表示父母之意，“FM姓名”是与父母有关的姓名。
一个FM姓名的结构为：
主姓名.辅姓名
这里主姓名就是现在的人们所用的姓名，而辅姓名可以只是母亲的姓，也可以是用母亲姓起的另一个姓名，不过这个姓名要名在前姓在后以区别于主姓名，中间的"."是间隔号，如果用？
和
分别表示父母姓，*和
表示对应的两个名字，则FM姓名可表示为
？
*.
或？
*.
FM姓名的结构的取名方法为：
给一个人取一个FM名是很简单的，只要按以前的习惯用父母姓各取一个姓名，然后按FM姓名结构的要求就得到FM姓名。
例如：
父亲姓王，母亲姓孙，给孩子取的名字是中华和靖，则孩子的FM姓名为：
王中华·靖孙
如果只取一个名字，则孩子的FM姓名为：
王中华·孙
显见，这种“FM姓名”对原姓名改动较小，也无须重新翻字典去找新的名字，易于在人口普查时对全国公民的姓名做统一改动。
在一般场合或不易引起混淆的情况下，直接使用主姓名或原来的姓名即可，但是在正式场合，如译写著作，论文及发明创造，申请专利等署名是应写完整的“FM姓名”，这有利于中国姓名朝正规化、合理化的多字姓名过渡。
模型分析
由假设1，按排序原则，在“FM姓名体系”下
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