完整小学数学30种典型应用题及例题完美版.docx
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小学数学30种典型应用题及例题完美版
小学数学30种典型应用题及例题完美版
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述例35辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
解1辆汽车1次能运多少吨钢材？
100÷5÷4＝5乙班人数＝÷2＝46答：
甲班有52人，乙班有46人。
例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方出来，这样所形成的题目叫做应用题。
任何一道应用题都两部分构成。
第一部分是已知条件，第二部分是所求问题。
应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。
应用题可分为一般应用题与典型应用题。
没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。
题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。
这本资料主要研究以下30类典型应用题：
1归一问题11行船问题21方阵问题2归总问题12列车问题22商品利润问题3和差问题13时钟问题23存款利率问题4和倍问题14盈亏问题24溶液浓度问题5差倍问题15工程问题25构图布数问题6倍比问题16正反比例问题26幻方问题7相遇问题17按比例分配27抽屉原则问题8追及问题18百分数问题28公约公倍问题9植树问题19“牛吃草”问题29最值问题10年龄问题xx年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
解儿子年龄＝27÷＝9爸爸年龄＝9×4＝36
答：
父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
解如果把上月盈利作为1倍量，则万元就相当于上月盈利的倍，因此
上月盈利＝÷＝18本月盈利＝18＋30＝48
答：
上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
解于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差。
把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，就相当于倍，因此
剩下的小麦数量＝÷＝22运出的小麦数量＝94－22＝72运粮的天数＝72÷9＝8
答：
8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6倍比问题
有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
总量÷一个数量＝倍数
另一个数量×倍数＝另一总量
先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解3700千克是100千克的多少倍？
3700÷100＝37可以榨油多少千克？
40×37＝1480列成综合算式40×＝1480答：
可以榨油1480千克。
例2今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？
解48000名是300名的多少倍？
48000÷300＝160共植树多少棵？
400×160＝64000列成综合算式400×＝64000答：
全县48000名师生共植树64000棵。
例3凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？
全县16000亩果园共收入多少元？
解800亩是4亩的几倍？
800÷4＝xx年龄问题
这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？
明年呢？
解35÷5＝7
÷＝6
答：
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
解母亲比女儿的年龄大多少岁？
37－7＝30几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
30÷－7＝3列成综合算式÷－7＝3答：
3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例33年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？
解今年父子的年龄和应该比3年前增加岁，今年二人的年龄和为49＋3×2＝55
把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于倍，因此，今年儿子年龄为55÷＝11今年父亲年龄为11×4＝44
答：
今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
例4甲对乙说：
“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。
乙对甲说：
“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。
求甲乙现在的岁数各是多少？
解
这里涉及到三个年份：
过去某一年、今年、将来某一年。
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：
□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此二人年龄差为÷3＝19甲今年的岁数为△＝61－19＝42乙今年的岁数为□＝42－19＝23
答：
甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11行船问题
行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
÷2＝船速÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
解条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8－15＝25船的逆水速为25－15＝10
船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32答：
这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？
解题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36甲船速－水速＝360÷18＝20
可见相当于水速的2倍，
所以，水速为每小时÷2＝8又因为，乙船速－水速＝360÷15，
所以，乙船速为360÷15＋8＝32乙船顺水速为32＋8＝40所以，乙船顺水航行360千米需要360÷40＝9
答：
乙船返回原地需要9小时。
例3一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？
解这道题可以按照流水问题来解答。
两城相距多少千米？
×3＝1656顺风飞回需要多少小时？
1656÷＝列成综合算式
［×3］÷＝
答：
飞机顺风飞回需要小时。
12列车问题
这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
火车过桥：
过桥时间＝÷车速火车追及：
追及时间＝
÷
火车相遇：
相遇时间＝
÷
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。
这列火车长多少米？
解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
火车3分钟行多少米？
900×3＝2700这列火车长多少米？
2700－2400＝300列成综合算式900×3－2400＝300答：
这列火车长300米。
例2一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？
解火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是米，这段路程就是，所以，桥长为8×125－200＝800答：
大桥的长度是800米。
例3一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
解从追上到追过，快车比慢车要多行米，而快车比慢车每秒多行米，因此，所求的时间为÷＝73答：
需要73秒。
例4一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？
解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
150÷＝6
答：
火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。
求这列火车的车速和车身长度各是多少？
解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。
可知火车在秒的时间内行驶了米的路程，因此，火车的车速为每秒÷＝25进而可知，车长和桥长的和为米，因此，车长为25×58－1250＝200
答：
这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。
13时钟问题
就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。
时钟问题可与追及问题相类比。
分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。
每分钟分针比时针多走＝11/12格。
4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。
所以
分针追上时针的时间为20÷≈22答：
再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格。
四点整的时候，分针在时针后格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走格。
再根据1分钟分针比时针多走格就可以求出二针成直角的时间。
÷≈6÷≈38答：
4点06分及4点38分时两针成直角。
例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解六点整的时候，分针在时针后格，分针要与时针重合，就得追上时针。
这实际上是一个追及问题。
÷≈33答：
6点33分的时候分针与时针重合。
14盈亏问题
根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余，一次不足，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
1）一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝÷分配差
2）如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝÷分配差参加分配总人数＝÷分配差
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。
问有多少小朋友？
有多少个苹果？
解按照“参加分配的总人数＝÷分配差”的数量关系：
有小朋友多少人？
÷＝12有多少个苹果？
3×12＋11＝47答：
有小朋友12人，有47个苹果。
例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。
这条路全长多少米？
解题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝÷分配差”的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
÷＝22这条路全长为300×＝7800答：
这条路全长7800米。
例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。
问有多少车？
多少人？
解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有有多少车？
÷＝6有多少人？
40×6＋30＝270答：
有6辆车，有270人。
15工程问题
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时，余下的乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
解必须先求出各人每小时的工作效率。
如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12＝560÷10＝660÷15＝4因此余下的工作量乙丙合做还需要÷＝5答：
还需要5小时才能完成。
解决这类问题的重要方法是：
把分率转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？
解条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度＝1∶＝1∶4＝3∶12现已修长度∶总长度＝1∶＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于份，从而知公路总长为300÷×12＝3600答：
这条公路总长3600米。
等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
解题中的“一项工程”是工作总量，于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。
于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的。
此可以列出算式：
1÷＝1÷1/6＝6答：
两队合做需要6天完成。
例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。
现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
解设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成，二人合做时每小时完成。
因为二人合做需要［1÷］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷］＝7这批零件共有多少个？
7÷＝168答：
这批零件共有168个。
解二上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7所以，这批零件共有24÷1/7＝168例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。
当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解注水问题是一类特殊的工程问题。
往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。
为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量。
只要设某一个量为单位1，其余两个量便可条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为，2个进水管15小时注水量为，从而可知
每小时的排水量为÷＝1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。
此可知一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？
÷＝≈9
答：
至少需要9个进水管。
16正反比例问题
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。
许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设91分钟可以做X应用题则有28∶4＝91∶X28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13答：
91分钟可以做13道应用题。
例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？
解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设X天可以看完，就有24∶36＝X∶1536X＝24×15X＝10答：
10天就可以看完。
例4一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
解面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。
又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。
因此，A∶36＝20∶1625∶B＝20∶16解这两个比例，得A＝45B＝20
所以，大矩形面积为45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：
大矩形的面积是162.
17按比例分配问题
所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。
这类题的已知条件一般有两种形式：
一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。
总份数＝比的前后项之和
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？
解总份数为47＋48＋45＝140一班植树560×47/140＝188二班植树560×48/140＝192三班植树560×45/140＝180
答：
一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。
三条边的长各是多少厘米？
解3＋4＋5＝1260×3/12＝1560×4/12＝xx年利率和月利率两种。
年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
年利率＝利息÷本金÷存款年数×100%利息＝本金×存款年数×年利率本利和＝本金＋利息
＝本金×［1＋年利率×存款年数］
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1李大强存入银行1xx年半。
例2银行定期整存整取的年利率是：
二年期%，三年期%，五年期9%。
如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。
五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？
多多少元？
解甲的总利息
［10000×%×2＋［10000×］×%×3＝1584＋11584×%×3＝乙的总利息10000×9%×5＝45004500－＝
答：
乙的收益较多，乙比甲多元。
24溶液浓度问题
在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。
这类问题研究的主要是溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混
解需要加水多少克？
50×16%÷10%－50＝30需要加糖多少克？
50×÷－50＝10
答：
需要加水30克，需要加糖10克。
例2要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
解假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600×＝30
这是因为30%的糖水多用了。
于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。
这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×＝15所以需要“换掉”30%的溶液100×＝xx年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
解于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。
367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
例2据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？
解人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到
3645÷20＝182?
?
5根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183
答：
陕西省至少有183人的头发根数一样多。
例3一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。
其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。
某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？
解把四种颜色的球的总数＝11看作11个“抽屉”，那么，至少要取个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
28公约公倍问题
需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
一般是求最大值或最小值。
按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？
解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。
再过3分钟取出熟了把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。
方程的等号两边数量相等。
可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
审：
认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
绝大多数要用最大公约数、最小公倍
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