爱提分长方体的基本公式(五年级).docx

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一：

长方体基本公式

知识精讲

长方体和正方体的基本公式

图形

体积

表面积

三点剖析

重难点：

长方体与正方体的棱长、表面积和体积计算．注意单位要统一．

题模精讲

题模一 正方体相关计算

例1.1.1、

正方体的棱长之和36分米，它的表面积是多少？

体积是多少？

答案：

54平方分米，27立方分米

解析：

每条棱长分米，所以表面积为平方分米，体积为立方分米。

例1.1.2、

将一个胶质的正方体扩大成另一个正方体，使新正方体的表面积是原正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的___________倍，体积是原正方体体积的___________倍．

答案：

2；8

解析：

正方体的棱长扩大n倍，则正方体的表面积扩大倍，体积扩大倍．所以新正方体的表面积是原正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的2倍，体积是原正方体体积的8倍．

例1.1.3、

14个棱长为1的正方体在地面上堆成如图所示的几何体，将它的表面（包括与地面接触部分）染成红色，那么红色部分的面积是___________．

答案：

42

解析：

几何体从上面、下面看到的面积相等是，左面、右面、前面、后面看到的面积相等是，故红色部分的面积是．

题模二 长方体相关计算

例1.2.1、

一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用1分米铁丝．这根铁丝总长至少为___________分米．

答案：

43

解析：

分米．

例1.2.2、

若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是___________．

答案：

64

解析：

根据长、宽、高的倍数关系，所以长方体的高为，所以长方体的体积是．

例1.2.3、

一个长方体的体积是1560，它的长、宽、高均为自然数，它的棱长之和最少是________．

答案：

140

解析：

为使棱长之和最少，应让长、宽、高尽量接近．，此时棱长之和为．

例1.2.4、

在一个长20米、宽8米、深1.6米的长方体游泳池的四壁及地面贴磁砖，磁砖是边长为0.2米的正方形，共需磁砖_________块．

答案：

6240

解析：

横向块，纵向块，高块，共块．

例1.2.5、

将一个长、宽分别是13厘米和19厘米的长方形纸板的四角分别去掉边长为2厘米的正方形后，折成一个无盖的长方体容器，那么这个容器是多少立方厘米？

答案：

270

解析：

容易底面长，宽，高2cm，故容积为．

例1.2.6、

一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米．已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？

这个木盒的容积又是多少？

答案：

208平方厘米；192立方厘米

解析：

解法一：

我们按下图的组合方式来求木板面积．（当然还有很多别的分割方法）

此时木盒的下方木板长10厘米，宽8厘米．所以这块木板的面积为：

平方厘米．

左右两块木板长8厘米，宽厘米．所以这两块木板的面积为：

平方厘米．

前后两块木板长厘米，宽厘米．所以这两块木板的面积为：

平方厘米．

综上，构建这个木盒所需要的木板面积为：

平方厘米．

此时木盒的容积也就是木盒的内部体积，也就是木板围住的内部长方体的体积，为：

立方厘米．

解法二：

从外面算起，木盒的体积为立方厘米．

而木盒的容积为立方厘米．

注意到木板体积正好等于，即立方厘米．

所以厚1厘米的木板一共有平方厘米．

例1.2.7、

一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面的面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是___________．

答案：

32.3

解析：

长方体侧面积为平方分米，所以高为分米，体积为立方分米．

例1.2.8、

一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求这个长方体的表面积．

答案：

148平方厘米

解析：

分别计算三种情况：

，所以左右底面面积为：

；

，所以前后底面面积为：

；

，所以上下底面面积为：

；

长方体表面积平方厘米．

题模三 综合应用

例1.3.1、

一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于一个正方体的棱长总和，则长方体体积比正方体体积少___________立方厘米．

答案：

2

解析：

长方体的体积是立方厘米．

长方体的棱长总和是厘米，所以正方体的棱长是厘米．正方体的体积是立方厘米．所以长方体体积比正方体体积少2立方厘米．

例1.3.2、

一个长方体的高减少2厘米后，表面积减少48平方厘米，成为一个正方体．正方体的体积是_________立方厘米．

答案：

216

解析：

设长方形的长为a厘米，宽为b厘米，则，所以．又因为，所以，则正方形的体积是平方厘米．

例1.3.3、

一个长15厘米，宽6厘米，高4厘米的正方体的木块，可以截成多少块棱长2厘米的正方体木块？

答案：

42块

解析：

，，，所以可以截成个正方体木块．

例1.3.4、

一块长方体木块长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米．要把它裁成大小相等的正方体小木块，不许有剩余，小正方体的棱长最大是___________分米．

答案：

0.3

解析：

，，，，所以小正方体的棱长的最大值是3厘米，即0.3分米．

例1.3.5、

有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块最多能放多少块？

答案：

56

解析：

由于，故恰好可以摆放两层．第一层摆长为5厘米、宽为4厘米、高为3厘米的长方体木块，共块；第二层摆长为5厘米、宽为3厘米、高为4厘米的长方体木块，共块．因此最多能放块．

随堂练习

随练1.1、

如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的___________倍．

答案：

43

解析：

假设小正方体棱长是1，大正方体棱长就是6，大正方体露在外面的表面积是，小正方体露在外面的表面积是5，所以有倍．

随练1.2、

有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高多少厘米的长方体？

答案：

3厘米

解析：

厘米．

随练1.3、

一个长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是4厘米．它的表面积是__________平方厘米．

答案：

248

解析：

长方体的表面积是，即平方厘米．

随练1.4、

一个长方体的体积是12立方厘米，底面是面积为4平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是__________平方厘米．

答案：

32

解析：

长方体的高是厘米，长和宽都是2厘米，所以长方体的表面积是平方厘米．

随练1.5、

一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于______立方厘米．

答案：

8

解析：

，，所以长宽高分别为1、2、4，体积为8．

随练1.6、

如图所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是__________立方厘米；如果四角去掉边长为3厘米的正方形，这个容器的体积是__________立方厘米．

答案：

90立方厘米；63立方厘米

解析：

（1）把长方体容器的长、宽、高标在展开图中，如图所示：

不难发现，折叠成的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高2厘米，因此容器的体积就是立方厘米．

（2）同理，折叠成的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高3厘米，因此容器的体积就是立方厘米．

随练1.7、

一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，那么水深是__________厘米．

答案：

3

解析：

水的体积：

平方厘米，水深（水的高度）厘米．

课后作业

作业1、

如图所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：

这个立体图形的表面积等于多少？

答案：

72平方米

解析：

首先，从上面往下面看，看到的图形是一个的正方形，面积是16平方米．

从下往上看，看到的也是一个的正方形，面积也是16平方米．

接着再从四个侧面看，这四个侧面都一样，看到的图形如图所示，正好包含10个面积为1平方米的小正方形，所以每个侧面的面积为10平方米．

这样，这个立体图形的表面积就等于平方米．

作业2、

所有表面积为150的长方体中，体积最大的是__________．

答案：

125

解析：

最优方案是正方体，其每个面的面积是，棱长为5cm，体积为．

作业3、

给一个长、宽、高分别为10米、5米、4米的正方体房间粉刷，只粉刷墙壁和天花板，那么需要粉刷__________平方米．

答案：

170

解析：

长方体粉刷五个面，包括上面、左面、右面、前面和后面，即．

作业4、

一个长方体底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米，如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少？

答案：

400平方厘米

解析：

高增加5厘米，它的表面积会增加4个长20厘米，宽5厘米的面，共增加平方厘米．

作业5、

一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的倍，求它的表面积．

答案：

552平方厘米

解析：

长和宽的和为厘米，所以宽是厘米，长是厘米，表面积为平方厘米．

作业6、

将一个长28厘米，宽18厘米的长方形铁片的四个角各截取一个边长为4的正方形．再将此铁片折成一个无盖的长方体容器．容器的容积为________立方厘米．

答案：

800

解析：

折成的长方体长，宽，高4，体积．

作业7、

一个长方体，它的正面和上面的面积之和是90，如果已知它长宽高是三个连续的自然数，那么这个长方体的体积是__________．

答案：

336

解析：

．，经试验，只有满足要求，长方体的体积是．

作业8、

用一根长为36分米的铁丝做一个长方体框架，并且要求长是宽的2倍，长宽高都是整数分米．如果不计损耗，可以做成长方体体积最大为_______立方分米．

答案：

<

解析：

设宽为，长是，高是，所以体积是，后边三个数的和是固定的三个数相等的时候体积最大，这时，最大体积是．

作业9、

（1）棱长为2的正方体的体积是_____，表面积是______．

（2）长宽高分别为1、2、3的长方体的体积是______，表面积是________．

答案：

（1）8；24

（2）6；22

解析：

（1）体积：

，表面积：

．

（2）体积：

，表面积：

．

作业10、

一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是_________，长方体体积比正方体体积少__________立方厘米．

答案：

；2平方厘米

解析：

长方体的棱包含4条长、4条宽、4条高，所以棱长长总和厘米，由此可求出正方体的棱长厘米．

长方体表面积平方厘米；

正方体表面积平方厘米．

因此长方体表面积和正方体表面积之比为；

而长方体体积立方厘米；

正方体体积立方厘米．

所以长方体体积比正方体体积少2立方厘