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基于用户投票的排名算法
基于用户投票的排名算法
Delicious和HackerNews
互联网的出现，意味着"信息大爆炸"。
用户担心的，不再是信息太少，而是信息太多。
如何从大量信息之中，快速有效地找出最重要的内容，成了互联网的一大核心问题。
各种各样的排名算法，是目前过滤信息的主要手段之一。
对信息进行排名，意味着将信息按照重要性依次排列，并且及时进行更新。
排列的依据，可以基于信息本身的特征，也可以基于用户的投票，即让用户决定，什么样的信息可以排在第一位。
下面，我将整理和分析一些基于用户投票的排名算法，打算分成六个部分连载，今天是第一篇。
一、Delicious
最直觉、最简单的算法，莫过于按照单位时间内用户的投票数进行排名。
得票最多的项目，自然就排在第一位。
旧版的Delicious，有一个"热门书签排行榜"，就是这样统计出来的。
它按照"过去60分钟内被收藏的次数"进行排名。
每过60分钟，就统计一次。
这个算法的优点是比较简单、容易部署、内容更新相当快；缺点是，一方面，排名变化不够平滑，前一个小时还排名靠前的内容，往往第二个小时就一落千丈，另一方面，缺乏自动淘汰旧项目的机制，某些热门内容可能会长期占据排行榜前列。
二、HackerNews
HackerNews是一个网络社区，可以张贴链接，或者讨论某个主题。
每个帖子前面有一个向上的三角形，如果你觉得这个内容很好，就点击一下，投上一票。
根据得票数，系统自动统计出热门文章排行榜。
但是，并非得票最多的文章排在第一位，还要考虑时间因素，新文章应该比旧文章更容易得到好的排名。
HackerNews使用PaulGraham开发的Arc语言编写，源码可以从arclanguage.org下载。
它的排名算法是这样实现的：
将上面的代码还原为数学公式：
其中，
P表示帖子的得票数，减去1是为了忽略发帖人的投票。
T表示距离发帖的时间（单位为小时），加上2是为了防止最新的帖子导致分母过小（之所以选择2，可能是因为从原始文章出现在其他网站，到转贴至HackerNews，平均需要两个小时）。
G表示"重力因子"（gravitythpower），即将帖子排名往下拉的力量，默认值为1.8，后文会详细讨论这个值。
从这个公式来看，决定帖子排名有三个因素：
第一个因素是得票数P。
在其他条件不变的情况下，得票越多，排名越高。
从上图可以看到，有三个同时发表的帖子，得票分别为200票、60票和30票（减1后为199、59和29），分别以黄色、紫色和蓝色表示。
在任一个时间点上，都是黄色曲线在最上方，蓝色曲线在最下方。
如果你不想让"高票帖子"与"低票帖子"的差距过大，可以在得票数上加一个小于1的指数，比如（P-1）^0.8。
第二个因素是距离发帖的时间T。
在其他条件不变的情况下，越是新发表的帖子，排名越高。
或者说，一个帖子的排名，会随着时间不断下降。
从前一张图可以看到，经过24小时之后，所有帖子的得分基本上都小于1，这意味着它们都将跌到排行榜的末尾，保证了排名前列的都将是较新的内容。
第三个因素是重力因子G。
它的数值大小决定了排名随时间下降的速度。
从上图可以看到，三根曲线的其他参数都一样，G的值分别为1.5、1.8和2.0。
G值越大，曲线越陡峭，排名下降得越快，意味着排行榜的更新速度越快。
知道了算法的构成，就可以调整参数的值，以适用你自己的应用程序。
参考文献
*HowHackerNewsrankingalgorithmworks
*HowtoBuildaPopularityAlgorithmYoucanbeProudof
（完）
Reddit
上一次，我介绍了HackerNews的排名算法。
它的特点是用户只能投赞成票，但是很多网站还允许用户投反对票。
就是说，除了好评以外，你还可以给某篇文章差评。
Reddit是美国最大的网上社区，它的每个帖子前面都有向上和向下的箭头，分别表示"赞成"和"反对"。
用户点击进行投票，Reddit根据投票结果，计算出最新的"热点文章排行榜"。
怎样才能将赞成票和反对票结合起来，计算出一段时间内最受欢迎的文章呢？
如果文章A有100张赞成票、5张反对票，文章B有1000张赞成票、950张反对票，谁应该排在前面呢？
Reddit的程序是开源的，使用Python语言编写。
排名算法的代码大致如下：
这段代码考虑了这样几个因素：
（1）帖子的新旧程度t
t=发贴时间-2005年12月8日7:
46:
43
t的单位为秒，用unix时间戳计算。
不难看出，一旦帖子发表，t就是固定值，不会随时间改变，而且帖子越新，t值越大。
至于2005年12月8日，应该是Reddit成立的时间。
（2）赞成票与反对票的差x
x=赞成票-反对票
（3）投票方向y
y是一个符号变量，表示对文章的总体看法。
如果赞成票居多，y就是+1；如果反对票居多，y就是-1；如果赞成票和反对票相等，y就是0。
（4）帖子的受肯定（否定）的程度z
z表示赞成票与反对票之间差额的绝对值。
如果对某个帖子的评价，越是一边倒，z就越大。
如果赞成票等于反对票，z就等于1。
结合以上几个变量，Reddit的最终得分计算公式如下：
这个公式可以分成两个部分来讨论：
（一）
这个部分表示，赞成票与反对票的差额z越大，得分越高。
需要注意的是，这里用的是以10为底的对数，意味着z=10可以得到1分，z=100可以得到2分。
也就是说，前10个投票人与后90个投票人（乃至再后面900个投票人）的权重是一样的，即如果一个帖子特别受到欢迎，那么越到后面投赞成票，对得分越不会产生影响。
当赞成票等于反对票，z=1，因此这个部分等于0，也就是不产生得分。
（二）
这个部分表示，t越大，得分越高，即新帖子的得分会高于老帖子。
它起到自动将老帖子的排名往下拉的作用。
分母的45000秒，等于12.5个小时，也就是说，后一天的帖子会比前一天的帖子多得2分。
结合前一部分，可以得到结论，如果前一天的帖子在第二天还想保持原先的排名，在这一天里面，它的z值必须增加100倍（净赞成票增加100倍）。
y的作用是产生加分或减分。
当赞成票超过反对票时，这一部分为正，起到加分作用；当赞成票少于反对票时，这一部分为负，起到减分作用；当两者相等，这一部分为0。
这就保证了得到大量净赞成票的文章，会排在前列；赞成票与反对票接近或相等的文章，会排在后面；得到净反对票的文章，会排在最后（因为得分是负值）。
（三）
这种算法的一个问题是，对于那些有争议的文章（赞成票和反对票非常接近），它们不可能排到前列。
假定同一时间有两个帖子发表，文章A有1张赞成票（发帖人投的）、0张反对票，文章B有1000张赞成票、1000张反对票，那么A的排名会高于B，这显然不合理。
结论就是，Reddit的排名，基本上由发帖时间决定，超级受欢迎的文章会排在最前面，一般性受欢迎的文章、有争议的文章都不会很靠前。
这决定了Reddit是一个符合大众口味的社区，不是一个很激进、可以展示少数派想法的地方。
[参考资料]
*HowRedditrankingalgorithmswork
（完）
StackOverflow
它的特点是，用户可以投赞成票，也可以投反对票。
也就是说，除了时间因素以外，只要考虑两个变量就够了。
但是，还有一些特定用途的网站，必须考虑更多的因素。
世界排名第一的程序员问答社区StackOverflow，就是这样一个网站。
你在上面提出各种关于编程的问题，等待别人回答。
访问者可以对你的问题进行投票（赞成票或反对票），表示这个问题是不是有价值。
一旦有人回答了你的问题，其他人也可以对这个回答投票（赞成票或反对票）。
排名算法的作用是，找出某段时间内的热点问题，即哪些问题最被关注、得到了最多的讨论。
在StackOverflow的页面上，每个问题前面有三个数字，分别表示问题的得分、回答的数目和该问题的浏览次数。
以这些变量为基础，就可以设计算法了。
创始人之一的JeffAtwood，曾经在几年前，公布过排名得分的计算公式。
写成php代码，就是下面这样：
各个算法变量的含义如下：
（1）Qviews（问题的浏览次数）
某个问题的浏览次数越多，就代表越受关注，得分也就越高。
这里使用了以10为底的对数，用意是当访问量越来越大，它对得分的影响将不断变小。
（2）Qscore（问题得分）和Qanswers（回答的数量）
首先，Qscore（问题得分）=赞成票-反对票。
如果某个问题越受到好评，排名自然应该越靠前。
Qanswers表示回答的数量，代表有多少人参与这个问题。
这个值越大，得分将成倍放大。
这里需要注意的是，如果无人回答，Qanswers就等于0，这时Qscore再高也没用，意味着再好的问题，也必须有人回答，否则进不了热点问题排行榜。
（3）Ascores（回答得分）
一般来说，"回答"比"问题"更有意义。
这一项的得分越高，就代表回答的质量越高。
但是我感觉，简单加总的设计还不够全面。
这里有两个问题。
首先，一个正确的回答胜过一百个无用的回答，但是，简单加总会导致，1个得分为100的回答与100个得分为1的回答，总得分相同。
其次，由于得分会出现负值，因此那些特别差的回答，会拉低正确回答的得分。
（4）Qage（距离问题发表的时间）和Qupdated（距离最后一个回答的时间）
改写一下，可以看得更清楚：
Qage和Qupdated的单位都是秒。
如果一个问题的存在时间越久，或者距离上一次回答的时间越久，Qage和Qupdated的值就相应增大。
也就是说，随着时间流逝，这两个值都会越变越大，导致分母增大，因此总得分会越来越小。
（５）总结
StackOverflow热点问题的排名，与参与度（Qviews和Qanswers）和质量（Qscore和Ascores）成正比，与时间（Qage和Qupdated）成反比。
（完）
牛顿冷却定律
原文发表于2012年3月16日
这个系列的前三篇，介绍了HackerNews，Reddit和StackOverflow的排名算法。
今天，讨论一个更一般的数学模型。
这个系列的每篇文章，都是可以分开读的。
但是，为了保证所有人都在同一页上，我再说一下，到目前为止，我们用不同方法，企图解决的都是同一个问题：
根据用户的投票，决定最近一段时间内的"热文排名"。
你可能会觉得，这是一个全新的课题，伴随着互联网而产生，需要全新的方法来解决。
但是，实际上不是。
我们可以把"热文排名"想象成一个"自然冷却"的过程：
【
（1）任一时刻，网站中所有的文章，都有一个"当前温度"，温度最高的文章就排在第一位。
（2）如果一个用户对某篇文章投了赞成票，该文章的温度就上升一度。
（3）随着时间流逝，所有文章的温度都逐渐"冷却"。
】
这样假设的意义，在于我们可以照搬物理学的冷却定律，使用现成的公式，建立"温度"与"时间"之间的函数关系，轻松构建一个"指数式衰减"（Exponentialdecay）的过程。
【伟大的物理学家牛顿，早在17世纪就提出了温度冷却的数学公式，被后人称作"牛顿冷却定律"（Newton'sLawofCooling）。
我们就用这个定律构建排名算法。
】
"牛顿冷却定律"非常简单，用一句话就可以概况：
物体的冷却速度，与其当前温度与室温之间的温差成正比。
写成数学公式就是：
其中，
-T（t）是温度（T）的时间（t）函数。
微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'（t）。
-H代表室温，T（t）-H就是当前温度与室温之间的温差。
由于当前温度高于室温，所以这是一个正值。
-常数α（α>0）表示室温与降温速率之间的比例关系。
前面的负号表示降温。
不同的物质有不同的α值。
这是一个微分方程，为了计算当前温度，需要求出T（t）的函数表达式。
第一步，改写方程，然后等式两边取积分。
第二步，求出这个积分的解（c为常数项）。
第三步，假定在时刻t0，该物体的温度是T（t0），简写为T0。
代入上面的方程，得到
第四步，将上一步的C代入第二步的方程。
假定室温H为0度，即所有物体最终都会"冷寂"，方程就可以简化为
上面这个方程，就是我们想要的最终结果：
本期温度=上一期温度xexp（-（冷却系数）x间隔的小时数）
将这个公式用在"排名算法"，就相当于（假定本期没有增加净赞成票）
本期得分=上一期得分xexp（-（冷却系数）x间隔的小时数）
【其中，"冷却系数"是一个你自己决定的值。
如果假定一篇新文章的初始分数是100分，24小时之后"冷却"为1分，那么可以计算得到"冷却系数"约等于0.192。
如果你想放慢"热文排名"的更新率，"冷却系数"就取一个较小的值，否则就取一个较大的值。
】
参考文献
* RankHotnessWithNewton'sLawofCooling
（完）
威尔逊区间
原文发表于2012年3月20日
迄今为止，这个系列都在讨论，如何给出"某个时段"的排名，比如"过去24小时最热门的文章"。
但是，很多场合需要的是"所有时段"的排名，比如"最受用户好评的产品"。
这时，时间因素就不需要考虑了。
这个系列的最后两篇，就研究不考虑时间因素的情况下，如何给出排名。
一种常见的错误算法是：
得分=赞成票-反对票
假定有两个项目，项目A是60张赞成票，40张反对票，项目B是550张赞成票，450张反对票。
请问，谁应该排在前面？
按照上面的公式，B会排在前面，因为它的得分（550-450=100）高于A（60-40=20）。
但是实际上，B的好评率只有55%（550/1000），而A为60%（60/100），所以正确的结果应该是A排在前面。
【UrbanDictionary就是这种错误算法的实例。
】
另一种常见的错误算法是
得分=赞成票/总票数
如果"总票数"很大，这种算法其实是对的。
问题出在如果"总票数"很少，这时就会出错。
假定A有2张赞成票、0张反对票，B有100张赞成票、1张反对票。
这种算法会使得A排在B前面。
这显然错误。
【Amazon就是这种错误算法的实例。
】
那么，正确的算法是什么呢？
我们先做如下设定：
（1）每个用户的投票都是独立事件。
（2）用户只有两个选择，要么投赞成票，要么投反对票。
（3）如果投票总人数为n，其中赞成票为k，那么赞成票的比例p就等于k/n。
如果你熟悉统计学，可能已经看出来了，这是一种统计分布，叫做"二项分布"（binomialdistribution）。
这很重要，下面马上要用到。
我们的思路是，p越大，就代表这个项目的好评比例越高，越应该排在前面。
但是，p的可信性，取决于有多少人投票，如果样本太小，p就不可信。
好在我们已经知道，p是"二项分布"中某个事件的发生概率，因此我们可以计算出p的置信区间。
所谓"置信区间"，就是说，以某个概率而言，p会落在的那个区间。
比如，某个产品的好评率是80%，但是这个值不一定可信。
根据统计学，我们只能说，有95%的把握可以断定，好评率在75%到85%之间，即置信区间是[75%,85%]。
这样一来，排名算法就比较清晰了
第一步，计算每个项目的"好评率"（即赞成票的比例）。
第二步，计算每个"好评率"的置信区间（以95%的概率）。
第三步，根据置信区间的下限值，进行排名。
这个值越大，排名就越高。
这样做的原理是，置信区间的宽窄与样本的数量有关。
比如，A有8张赞成票，2张反对票；B有80张赞成票，20张反对票。
这两个项目的赞成票比例都是80%，但是B的置信区间（假定[75%,85%]）会比A的置信区间（假定[70%,90%]）窄得多，因此B的置信区间的下限值（75%）会比A（70%）大，所以B应该排在A前面。
置信区间的实质，就是进行可信度的修正，弥补样本量过小的影响。
如果样本多，就说明比较可信，不需要很大的修正，所以置信区间会比较窄，下限值会比较大；如果样本少，就说明不一定可信，必须进行较大的修正，所以置信区间会比较宽，下限值会比较小。
二项分布的置信区间有多种计算公式，最常见的是"正态区间"（Normalapproximationinterval），教科书里几乎都是这种方法。
但是，它只适用于样本较多的情况（np>5且n（1−p）>5），对于小样本，它的准确性很差。
1927年，美国数学家EdwinBidwellWilson提出了一个修正公式，被称为"威尔逊区间",地解决了小样本的准确性问题。
在上面的公式中，
表示样本的"赞成票比例"，n表示样本的大小，
表示对应某个置信水平的z统计量，这是一个常数，可以通过查表或统计软件包得到。
一般情况下，在95%的置信水平下，z统计量的值为1.96。
威尔逊置信区间的均值为
它的下限值为
可以看到，当n的值足够大时，这个下限值会趋向
。
如果n非常小（投票人很少），这个下限值会大大小于
。
实际上，起到了降低"赞成票比例"的作用，使得该项目的得分变小、排名下降。
【Reddit的评论排名，目前就使用这个算法。
】
参考文献
*HowNotToSortByAverageRating
（完）
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