模块三、比例综合题行程问题.教师版.doc

模块三、比例综合题行程问题.教师版.doc

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模块三、比例综合题

【例1】小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：

小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：

“这样我和小狗就同时到达终点了！

”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？

【解析】小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为；那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点．

【例2】甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离．

【解析】甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定

所需要的时间为：

甲3个小时，乙4个小时（3+1）

两个人速度比为：

甲：

乙=4：

3

当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，

所以甲走：

35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米

【例3】、、三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后小时车出了事故，和车照常前进．车停了半小时后以原速度的继续前进．、两车行至距离甲市千米时车出了事故，车照常前进．车停了半小时后也以原速度的继续前进．结果到达乙市的时间车比车早小时，车比车早小时，甲、乙两市的距离为千米．

【分析】如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，因为车后来的速度是车的，即两车行　小时的路车比车慢小时，所以慢小时说明车后来行了小时．从甲市到乙市车要行小时．

同理，如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，说明车后来行了小时，这段路车需行小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的．

故甲、乙两市距离为（千米）．

【例4】甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后小时，乙从同地同路同向出发，步行小时到达甲于分钟前曾到过的地方．此后乙每小时多行米，经过小时追上速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？

［分析］根据题意，乙加速之前步行小时的路程等于甲步行小时的路程，所以甲、乙的速度之比为，乙的速度是甲的速度的倍；

乙加速之后步行小时的路程等于甲步行小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为．加速后乙的速度是甲的速度的倍；

由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为米/小时．

【例5】甲、乙两人分别骑车从地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12分钟后丙也骑车从地出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？

［分析］丙的速度为千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了千米后与甲、乙同时出发．

如图所示，相当于甲、乙从，丙从同时出发，丙在处追上甲，此时乙走到处，然后丙掉头走了3千米在处和乙相遇．

从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了千米，故为千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了千米，因此速度为（千米/小时）．

【例6】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。

两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。

那么甲回到出发点共用多少小时？

【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，

说明甲走过的路程应该是一个单程的1×1.5+1/2=2倍，

就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。

两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。

甲一共走了1+1/2=1.5（小时）

【例7】一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西米处．一列火车以每小时千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？

【分析】设铁路桥长为米．

在小狗向西跑的情况下：

小狗跑的路程为米，火车走的路程为米；

在小狗向东跑的情况下：

小狗跑的路程为米，火车走的路程为米；

两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了米，火车一共走了米；

因为是的倍，所以火车速度是小狗速度的倍，所以小狗的速度为（千米/时）；

因为火车速度为小狗速度的倍，所以，解此方程得：

．

所以铁路桥全长为米，小狗的速度为每小时千米．

【例8】如图，点分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距米的、两地顺时针方向沿长方形的边走向点，甲点分到后，丙、丁两人立即以相同速度从点出发，丙由向走去，点分与乙在点相遇，丁由向走去，点分在点被乙追上，则连接三角形的面积为平方米．

【分析】如图，由题意知，丙从到用分钟，丁从到用分钟，乙从经到用分钟，说明甲、乙速度是丙、丁速度的倍．因为甲走用分钟，所以丙走要用（分钟），走用（分钟）．

　　　　因为乙走用分钟，所以丙走用（分钟）．

　　　　因为长米，所以丙每分钟走（米）．于是求出

　　　　（米），（米），（米）．

　　　　（平方米）．

【例9】如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为．他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上．

所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．

将长方形的宽等分，长等分后，将长方形的周长分割成段，设甲走段所用的时间为个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、、两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段．所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．

对于甲的运动进行讨论：

时间（单位时间）

……

地点

对于乙的运动进行讨论：

时间（单位时间）

……

地点

对于丙的运动进行讨论：

时间（单位时间）

……

地点

需要检验的时间点有、、、、……

个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．

个单位时间的时候甲在上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于分钟．

个单位时间的时候甲、乙、丙分别在、、的位置第二次构成最大三角形．

所以再过分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？