导体槽内的场分析.docx
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导体槽内的场分析
本科毕业设计（论文）
题目：
导体槽内的场分析
系别：
电子信息系
专业：
电子信息工程
班级：
B080301
学生：
学号：
指导教师：
2012年06月
毕业设计（论文）任务书
系别电子信息系专业电子信息工程班级B080301姓名学号
1.毕业设计（论文）题目：
导体槽内的场分析
2.题目背景和意义：
电磁场的数值分析法有：
数值积分、有限差分、有限元法和矩量法。
数值法极大的拓展了电磁场边值问题的求解范围。
近年来，随着计算机技术的高速发展，有限差分法因其固有的特点，在电磁场的数值分析中占据了一定的地位。
而MATLAB凭借其强大的功能已经成为最流行的科学与工程计算的软件工具。
因此，研究基于MATLAB的有限差分法，对电磁场的数值解法奠定了基础，也为日后的工程分析奠定了技术基础。
3.设计（论文）的主要内容（理工科含技术指标）：
（1）了解电场的各种数值分析方法，重点掌握有限差分法的原理；
（2）以矩形金属槽在不同边长、不同边界条件下的电位、电场分布为例，用有限差分法进行计算，计算结果以数据形式显示；
（3）用MATLAB语言描绘电位、电场的分布图。
4.设计的基本要求及进度安排（含起始时间、设计地点）：
（1）1-4周，完成设计资料的收集、整理、文献翻译等前期工作和开题报告；
（2）5-7周，根据前期方案开始编写MATLAB程序，完成外文翻译及中期报告；
（3）8-14周，完善试验程序及参数，撰写毕业论文；
（4）15-16周，进行论文答辩；
5.毕业设计（论文）的工作量要求完成1.5——2万字的毕业论文撰写
①实验（时数）*或实习（天数）：
350学时
②图纸（幅面和张数）*：
无特别要求
③其他要求：
3000字左右的外文资料翻译
指导教师签名：
年月日
学生签名：
年月日
系主任审批：
年月日
说明：
1本表一式二份，一份由学生装订入册，一份教师自留。
2带*项可根据学科特点选填。
导体槽内的场分析
摘要
本文研究的内容是电磁场的数值分析方法，包括数值积分、有限差分、有限元法和矩量法。
数值法极大的拓展了电磁场边值问题的求解范围。
近年来，随着计算机技术的高速发展，有限差分法因其固有的特点，在电磁场的数值分析中占据了一定地位。
而MATLAB凭借其强大的功能已经成为最流行的科学与工程计算的软件工具。
因此，研究基于MATLAB的有限差分法，对电磁场的数值解法奠定了基础，也为日后的工程分析奠定了技术基础。
本设计通过了解电场的各种数值分析方法，重点掌握有限差分法的原理，并运用MATLAB语言使得有限差分法求解区域内电势分布的解法变得简单、易行，摆脱了传统方法使用C语言较复杂的缺陷。
通过仿真验证了算法和程序的有效性。
关键词：
数值积分法；有限差分法；有限元法；矩量法；MATLAB
Conductoroftheslotsinthefieldanalysis
Abstract
Inthispaper,theelectromagneticfieldisthecontentofthenumericalanalysismethods,includingnumericalintegral,finitedifference,thefiniteelementmethodandthemethodofmoments.Numericalmethodofgreatdevelopmentoftheelectromagneticfieldboundaryvalueproblemofsolvingrange.Inrecentyears,withtherapiddevelopmentofcomputertechnology,thefinitedifferencemethodforitsinherentcharacteristics,intheelectromagneticfieldnumericalanalysiswasheldincertainstatus.AndwithitspowerfulfunctionMATLABhasbecomethemostpopularscienceandengineeringcalculationsoftwaretools.Therefore,theresearchbasedontheMATLABfinitedifferencemethod,thenumericalmethodformagneticlaidafoundationforthefutureprojectanalysisestablished.
Thisdesignrequiresanunderstandingoftheelectricfieldofavarietyofnumericalanalysismethod,andfocustomastertheprincipleofthefinitedifferencemethod,finitedifferencemethodsolutionofpotentialdistributionintheregioneasierandMATLABlanguage,easytogetridofthetraditionalmethodusingtheclanguagethancomplexdefects.Theeffectivenessofthealgorithmsandproceduresareverifiedbysimulation.
KeyWords:
Numericalintegrationmethod；Finitedifferencemethod；Finiteelementmethod；Methodofmoments；MATLAB
目录
1绪论1
1.1研究背景1
1.2国内外研究的发展与现状1
1.3研究目的和意义3
1.4研究的主要内容4
1.5本章小结5
2静电场边值问题分析方法6
2.1数值积分法6
2.2有限元法6
2.3矩量法6
2.4有限差分法7
2.5本章小结11
3MATLAB软件介绍12
3.1MATLAB软件的特点12
3.2MATLAB基本操作15
3.2.1MATLAB界面15
3.2.2MATLAB基本运算16
3.3本章小结17
4有限差分法通过MATLAB编程实现18
4.1简单迭代法18
4.1.1简单迭代法原理介绍18
4.1.2简单迭代法的流程图19
4.1.3MATLAB程序编写19
4.1.4简单迭代法运算结果和迭代次数的影响因素21
4.2超松弛迭代法22
4.2.1超松弛迭代法原理介绍22
4.2.2超松弛迭代法的流程图24
4.2.3MATLAB程序编写24
4.2.4超松弛迭代法运算结果和迭代次数的影响因素26
4.3本章小结28
5用MATLAB语言绘制电场、电位的分布图29
5.1简单迭代法电场、电位的分布29
5.1.1函数介绍29
5.1.2用MATLAB编程29
5.1.3绘制简单迭代法的电场、电位分布图31
5.1.4运行结果分析31
5.2超松弛迭代法电场、电位的分布31
5.2.1函数介绍31
5.2.2用MATLAB编程32
5.2.3绘制超松弛迭代法的电场、电位分布图33
5.2.4运行结果分析33
5.3本章小结34
6结论35
参考文献36
致谢37
毕业设计（论文）知识产权声明38
毕业设计（论文）独创性声明39
1绪论
将MATLAB应用于有限差分法的正演计算中,充分发挥了其强大而方便的功能。
通过对二维稳定电流场模型的试算表明,MATLAB在解决实际的工程和数学问题中,与其它计算机程序设计语言C、FORTRAN相比,具有使用更为简便、语句功能更强,用户界面良好的特点,适合于在工程计算,尤其是物探数据处理领域推广应用。
1.1研究背景
本课题的名称是“导体槽内的场分析”。
当前电磁学研究领域十分广泛，电磁学问题的数值求解方法从求解方程的形式看可以分为两大类：
一类是以电磁场问题的积分方程为基础的积分方程法（IE），如矩量法、直接积分法、等效源法、边界源法等[1]；一类是以电磁场问题的微分方程为基础的微分方程法（DE），如有限差分法、有限元法等。
近年来，随着计算机技术的高速发展，有限差分法因其固有的特点[2]，在电磁场的数值分析中占据了一定地位，而MATLAB凭借其强大的功能已经成为最流行的科学与工程计算的软件工具[3]。
本课题讲述了电磁场计算的一些基本问题，内容涉及到电磁场的基本理论，各种类型电磁场的特性，所求场域中媒质的影响、场源的作用和域外场源作用的反映，电磁场的规范和场解答的唯一性问题等。
作为实际电磁场问题，我们需要通过定性分析，去掉问题的枝节，以突出问题的本质，建立起相应的物理模型，运用Maxwell方程组逐步建立起相对应场的控制方程，逐步分析和建立边界条件和初值条件，形成定解问题即建立起了数学模型，这是场计算的基础[4]。
但要想用解析的方法来求解这种定解问题，那是十分困难甚至是不可能的。
因此自1864年Maxwell方程组诞生后相当长一段时间，电磁场计算问题解决极为有限。
随着电子计算机和计算技术的发展，数值计算方法逐步产生和发展用电磁场数值分析的方法解决各类电磁场问题计算才成为可能[5]。
1.2国内外研究的发展与现状
在本世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz法，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解[6]。
五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时[7]。
1964
年美国加州大学学者Winslow以矢量位为求解变量[8]，按有限差分法在计算机上成功地解算了二维非线性磁场，此后有限差分法在工程电磁场计算领域大为发展。
Winslow首先从力学界将有限元法引入电气工程中，六十年代末期加拿大MeGill大学P.P.Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算；七十年代初，P.P.Silvester和M.V.K.Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场，此后有关电磁场计算的有限元方法探讨的论文发表越来越多[9]。
有限元方法运用的范围由静态场到涡流场到辐射场，由线性场到非线性场，由各向同性媒质到各向异性、要考虑磁滞损耗，由工程电磁场到生物电磁场等等。
有人认为有限元法是求解工程电磁场的最有效最成功的方法[10]。
有限元法和有限差分法都是解边值问题的方法，属于微分方程法，对于开区域或要求求解连续分布场量的区域，这类方法就会受到自身的限制[11]。
1972年英国卢瑟福实验室的C.W.Trowbridge等人提出了积分方程法的思想，给出了二维、三维场问题的离散形式，由于此种方法只需离散源区，不需考虑边界条件，所以它较好地解决了无界开域场和要求连续计算场量的问题。
该方法计算精度高，但计算量很大[12]。
该实验室Sinkin等人又在积分方程法基础上提出了边界积分方程法（又称边界元法），用此解决线性场的计算，计算量大为减小。
此后该室的学者们将积分方程与微分方程法结合起来，提出了求解三维静磁场的双标量位法等[13]。
在解决天线辐射场、散射场问题中，矩量法是一个很重要的数值计算方法。
1968年R.F.Harrington发表了专著“FieldcomputationbyMomentMethod”，对散射场、天线辐射场、波导场等方面的问题起了很好的推进作用[14]。
除以上所介绍的方法外。
随着电磁场数值分析和不断发展，各种新方法不断涌现，如计算电场的模拟电荷法，最小二乘配点法，求解磁场的模拟电流法，以及计算场的图论模型法，快速Fourier变换法、有限体元法、无网格计算法等等[15]。
各种方法互相配合，出现了一些混合方法，如：
矩量法——模拟电荷法、模拟电荷法——有限元法、有限元法——边界元法等，有效地解决了一些实际问题。
近年来人工神经网络，小波理论等也引入了电磁场的数值计算中，瞬态电磁场计算如时域有限差分法的应用等于有了长足的发展[16]。
总之现有的电磁场数值计算法不断深入、提高和完善，新的方法不断产生。
在电磁场的数值解法不断发展的同时，人们并没有忘记长期以来所运用的解析方法。
解析法的计算精确性，可以用计算式表达计算结果一目了然，这些特点仍然是有吸引力的，用解析法与数值计算方法相结合形成的半解析法应运而生，也成为了一种主流解算方法，并还在不断发展。
电磁场数值计算方法发展走向成熟的一个重要标志是：
成熟的方法越来越多地应用于工程实际问题中，商业化通用软件包不断出现。
一个商业化软件包通常由下面几部分组成：
数据定义：
几何尺寸、材料性能、边界条件
前处理
模拟化：
空调部分、网格自动产生、节点形成、网格图形显示
离散方程组系数矩阵形成
数据处理求解代数方程组
非线性叠代
按要求输出计算结果
场图显示（含线性煤质和非线性煤质区）
后处理
受力和损耗计算与图形显示
局部场域分布的精细计算与显示
以上三部分中前、后处理占用了软件包语句的90%以上，编程的主要工程作量在此，而数据处理，也就是我们目前正在学习的数值计算方法仅占软件语句的10%以内，但它却是占用计算机内存量和消耗CPU时间的主要部分。
我国在电磁场数值计算方面从上个世纪80年代以来十分活跃，各高校、各研究机构和学术团体的学报上发表了不少有关电磁场数值计算方面的文章，开过不少有关的学术会议，再有是结合工业生产实际，应用场的数值计算解决了生产单位的一些具体问题。
但与欧美、日本相比较，有明显的差距。
1.3研究目的和意义
随着高速度、大容量电子计算机的出现,促进了各种数值计算方法的发展,为求解工程技术中各种复杂问题提供了技术条件,再加上MATLAB语言本身具有的简单直观性,可以用它来形象的描述数值计算的结果[17]。
运用MATLAB语言使得有限差分法求解区域内电势分布的解法变得简单、易行，摆脱了传统方法使用C语言较复杂的缺陷。
对电磁场的数值解法奠定了基础，也为日后的工程分析奠定了技术基础[18]。
有限差分法是一种较容易掌握的数值解法，它是解任何偏微分方程最为有效的数值方法之一[19]。
应用于电磁场边值问题的求解时，首先将求解场域剖分为很多网格和节点，并用差商代替微商，然后，使场域中的偏微分方程转化成以各节点的电位或磁势为未知量的差分方程组（线性代数方程组），最后，解该方程组便可得到各离散点待求的电位或磁势的数值解。
该数值解是近似解，但逼近场域的真实解。
而且，如果离散化的点选择得足够密的话，解的误差就能减小到可接受的程度。
而所有的电磁场问题都是用标量或矢量偏微分方程来表示的，因此，能用它来求解各种媒介中随空间和时间变化的电场和磁场[20]。
在本文中，仅讨论二维电磁场的变化问题。
1.4研究的主要内容
a.本课题主要学习了解电磁场内的各种数值分析求解方法
（如图1.1所示）；
b.重点掌握有限差分法的原理，学习简单迭代法和超松弛迭代法；
c.学习MATLAB语言；
d.以矩形金属导体槽为例，用有限差分法求解场问题并用MATLAB语言编程实现[15]。
图1.1研究内容框图
1.5本章小结
本章主要对此次毕业设计课题的研究背景、研究意义、国内外相关领域的研究现状以及本课题主要研究的内容做出了简要的说明。
2静电场边值问题分析方法
2.1数值积分法
数值积分法的实质是通过构造被积函数的某种线性组合的逼近函数近似求积分值，如果积分空间大，分解不同空间提高积分的近似值，也称为复合数值求积法。
在静态条件下，场分布均可归结为在一定边界条件下求解Poisson或Laplace方程。
描述电磁场的麦克斯韦方程组有微分和积分两种形式，因而各种数值计算方法，按其计算量（场量、位函数等）离散化所依据的基本方程形式，也可分为两大类：
直接积分法
镜像法
等效源发
模拟电荷法
积分方程法
边界元法模拟电流法
矩量法
2.2有限元法
原理：
用许多子域来代表整个连续区域，在子域中未知函数用带有未知系数的简单插值函数来表示，因此无限个自由度的原边值问题转化为有限个自由度的问题。
特点：
适用于具有复杂边界形状或边界条件、含有复杂媒质的定解问题。
这种方法的各个环节可以实现标准化，得到通用的计算程序，而且有较高的计算精度。
但是由于有限元法是区域性解法，分割的元素数和节点数较多，导致需要的初始数据复杂繁多，最终得到的方程组的元数很大，这使得计算时间长，而且对计算机本身的存储也提出了要求。
2.3矩量法
原理：
先将需要求解的微分方程或积分方程写成带有积分算符的算子方程；再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性组合并带入算子方程；最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量，就得到一个矩阵方程或代数方程组，然后
通过计算机进行大量的数值计算得到数值结果。
特点：
既适用于求解微分方程，又适用于求解积分方程；其求解过程简单，求解步骤统一，应用起来比较方便；可以达到所需要的精确度。
然而矩量法需要一定的数学技巧，如离散化的程度、基函数与权函数的选取，矩阵求解过程等。
矩量法解析部分简单，但可计算量很大，即使用高速大容量计算机，计算任务也很烦。
另外矩量法在求解某些问题，如求解波导本征模时存在伪解问题。
2.4有限差分法
有限差分法（FiniteDifferenceMethod）简称差分法，在电磁场数值计算方法中，它是最早使用的的一种方法，这种方法早在19世纪末已经提出。
它以清晰的概念，方法简单、直观的特点应用于电磁场数值分析领域，静态电磁场及正弦稳态时变电磁场都可用该法分析计算。
但把差分法和近似数值分析联系起来，则是20世纪50年代以后的事了。
它以简单、直观的特点而得到广泛的运用，无论是常微分方程还是偏微分方程，各种类型的二阶线性方程，以至高阶或非线性方程，均可利用差分法转化为代数方程组，然后利用计算机求解其数值。
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值方法，它把电磁场连续域内的问题变为离散系统的问题，即用各离散点上的数值解来逼近连续场域内的真实解，因而，它是一种近似的计算方法，根据目前计算机的容量和速度，它对许多问题都可以得到足够高的计算精度。
有限差分法是一种较容易掌握的数值计算方法，它是解任何偏微分方程最为有效的数值计算方法之一。
应用于电磁场边值问题的求解时，首先将求解场域剖分为很多网格和节点，并用差商代替微商，然后，使场域中的偏微分方程转化成以各节点的电位或磁势为未知量的差分方程组（线性代数方程组），最后，解该方程组便可以得到离散点待求的电位或磁势的数值解。
该数值解是近似值，但逼近场域的真实解。
而且，如果离散化的点选择足够密的话，解的误差就能减小到可接受的程度。
而所有的电磁场问题都是用标量或矢量偏微分方程来表示的，因此，能用它来求解各种煤质中随空间和时间变化的电场与磁场。
以二维拉普拉斯方程的第一类边值问题为例，介绍有限差分基本原理。
在一个边界C的二维区域S内，电位函数
满足拉普拉斯方程
（2.1）
在边界C上给定第一类边界条件，即:
（2.2）
如图2.1所示，在xoy平面把所求区域划分为若干相同的小正方形格子，每个格子的边长都为h（步长）。
图2.1网格划分图
用
表示节点（
）处的电位值。
利用二元函数的泰勒展开式，可将与节点（
）直接相邻的节点上的电位值表示如下。
（2.3）
（2.4）
（2.5）
（2.6）
将式（2.3）与式（2.4）相加，并略去比
更高阶段项，可得
（2.7）
同理，由式（2.5）与式（2.6），可得到
（2.8）
将式（2.7）与（2.8）代入式（2.1），可得到节点（
）处的差分方程
（2.9）
式中:
如图2.2所示。
a.迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行：
b.迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足
为止。
简单迭代法的收敛速度较慢，为了加快收敛速度，实际中常采用超松弛法。
这一方法采用了变化量加权迭代，其迭代过程为：
（2.10）
式中：
——加速收敛因子
迭代收敛的速度与
有明显关系，如表2.1所示。
表2.1迭代收敛的速度与
的关系
收敛因子（
）
1.0
1.7
1.8
1.83
1.85
1.87
1.90
2.0
迭代次数（
）
>1000
269
174
143
122
133
171
发散
最佳收敛因子的经验公式：
（正方形场域、正方形网格）（2.11）
a.迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；
b.迭代收敛的速度与工程精度要求有关
。
借助计算机进行计算时，其程序框图如图2.3所示。
图2.3迭代解程序框图
设如图2.4所示的矩形截面的长导体槽，宽为4h，高为3h，顶板与两侧绝缘，顶板的电位为10V，其余的电位为零，求槽内各点的电位。
图2.4矩形截面的长导体槽
解：
将待求的区域分为12个边长为h的正方形网格，含六个内点，得出差分方程组：
解以上方程组，得
=
V
=
V
=
V
=
V
=
V
=
V
以上结果是差分方程组的精确解，而并不是待求各点电位的精确值，因为差分方程组本身是原偏微分组的近似。
因此，通常应用迭代法求解方程组。
而迭代法又分为简单迭代法和超松弛迭代法。
2.5本章小结
本章主要介绍了电磁场数值分析一些常用的方法，熟悉各种方法的原理理论，为后续的软件编程打下基础。
3MATLAB软件介绍
MATLAB软件是美国MathWorks公司开发的计算机软件，经过多年的发展与完善，现已成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具。
它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图像处理等功能于一体，提供了一个方便的、界面友好的用户环境，而且还具有可扩展性特征。
MathWorks公司针对不同领域的应用，推出了信号处理、偏微分方程、图像处理、小波分析、控制系统、神经网络、鲁棒控制、优化设计、统计分析、通信等多个具有专门功能的工具箱，这些工具箱是由该领域内的专家编写的，无需用户自己编写所用的专业基础程序，可直接对工具箱进行运用。
同时，工具箱内的函数源程序也是开放性的，多为M文件,用户可以对其进行二次开发,用户的应用程序也可以作为新的函数添加到相应的工具箱中.实验证明该软
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