一阶常微分方程解法总结.doc

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第一章一阶微分方程的解法的小结

⑴、可分离变量的方程：

①、形如

当时，得到，两边积分即可得到结果；

当时，则也是方程的解。

例1.1、

解：

当时，有，两边积分得到

所以

显然是原方程的解；

综上所述，原方程的解为

②、形如

当时，可有，两边积分可得结果；

当时，为原方程的解，当时，为原方程的解。

例1.2、

解：

当时，有两边积分得到

，所以有；

当时，也是原方程的解；

综上所述，原方程的解为。

⑵可化为变量可分离方程的方程：

①、形如

解法：

令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。

②、形如

解法：

令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。

③、形如

解法：

、，转化为，下同①；

、，的解为，令

得到，，下同②；

还有几类：

以上都可以化为变量可分离方程。

例2.1、

解：

令，则，代入得到，有

所以，把u代入得到。

例2.2、

解：

由得到，令，有，代入得到

，令，有，代入得到，化简得到，，有，所以有，故代入得到

（3）、一阶线性微分方程：

一般形式：

标准形式：

解法：

1、直接带公式：

2、积分因子法：

，

3、IVP：

，

例3、

解：

化简方程为：

，则

代入公式得到

所以，

（4）、恰当方程：

形如

解法：

先判断是否是恰当方程：

如果有恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个,

有；

例4、

解：

由题意得到，

由得到，原方程是一个恰当方程；

下面求一个

由得，两边对y求偏导得到，得到，有，

故，由，得到

（5）、积分因子法：

方程，那么称是原方程的积分因子；积分因子不唯一。

①当且仅当，原方程有只与x有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同（4）。

②当且仅当，原方程有只与y有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同（4）。

例5.1、

解：

由得，且有，有，原方程两边同乘，得到化为，得到解为

例5.2、

解:

由题意得到，，有

有，有，原方程两边同乘，得到，得到原方程的解为：

（6）、贝努力方程：

形如,

解法：

令，有，代入得到，下同（3）

例6、

解：

令，有，代入得到，则，

有，，把u代入得到.

（7）、一阶隐式微分方程：

一般形式：

，解不出的称为一阶隐式微分方程。

下面介绍四种类型：

①、形如，

一般解法：

令，代入得到，两边对x求导得到，这是关于x，p的一阶线性微分方程，仿照（3），

1、得出解为，那么原方程的通解为

2、得出解为，那么原方程的通解为

3、得出解为，那么原方程的通解为

②、形如

一般解法：

令，代入有，两边对y求导，得到，此方程是一阶微分方程，可以按照以上

（1）—（5）求出通解，那么原方程的通解为

③、形如

一般解法：

设，，两边积分得到，于是有原方程的通解为

④、形如

一般解法：

设，由关系式得，有，两边积分得到，于是有

例7.1

解：

令，得到，两边对y求导，得到，

有，得到，于是通解为

例7.2

解：

令，得到，两边对x求导，得到，有

，两边积分得到，于是通解为

例7.3

解：

设有，所以

于是通解为

例7.4

解：

设有，所以

于是通解为

（8）、里卡蒂方程：

一般形式：

一般解法：

先找出一个特解，那么令，有，代入原方程得到，

化简得到，为一阶线性微分方程，解出

那么原方程的通解为

例8

解：

我们可以找到一个特解，验证：

，代入满足原方程。

令，，代入有，

化简得到，，所以有

所以原方程的解为

或