东南大学数值分析上机报告完整版.docx
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数值分析上机实验报告
目录
1.chapter1舍入误差及有效数 1
2.chapter2Newton迭代法 3
3.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法 7
4.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法 9
5.chapter4多项式插值与函数最佳逼近 10
1.chapter1舍入误差及有效数
1.1题目
设SN=j=2N1j2-1，其精确值为。
（1）编制按从大到小的顺序，计算SN的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序，计算SN的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度）
（4）通过本次上机题，你明白了什么？
1.2编写相应的matlab程序
clear;
N=input（'pleaseinputN:
'）;
AValue=（（3/2-1/N-1/（N+1））/2）;
sn1=single（0）;
sn2=single（0）;
fori=2:
N
sn1=sn1+1/（i*i-1）;%从大到小相加的通用程序%
end
ep1=abs（sn1-AValue）;
forj=N:
-1:
2
sn2=sn2+1/（j*j-1）;%从小到大相加的通用程序%
end
ep2=abs（sn2-AValue）;
fprintf（'精确值为:
%f\n',AValue）;
fprintf（'从大到小的顺序累加得sn=%f\n',sn1）;
fprintf（'从大到小相加的误差ep1=%f\n',ep1）;
fprintf（'从小到大的顺序累加得sn=%f\n',sn2）;
fprintf（'从小到大相加的误差ep2=%f\n',ep2）;
disp（'================================='）;
1.3matlab运行程序结果
>>chaper1
pleaseinputN:
100
精确值为:
0.740050
从大到小的顺序累加得sn=0.740049
从大到小相加的误差ep1=0.000001
从小到大的顺序累加得sn=0.740050
从小到大相加的误差ep2=0.000000
>>chaper1
pleaseinputN:
10000
精确值为:
0.749900
从大到小的顺序累加得sn=0.749852
从大到小相加的误差ep1=0.000048
从小到大的顺序累加得sn=0.749900
从小到大相加的误差ep2=0.000000
>>chaper1
pleaseinputN:
1000000
精确值为:
0.749999
从大到小的顺序累加得sn=0.749852
从大到小相加的误差ep1=0.000147
从小到大的顺序累加得sn=0.749999
从小到大相加的误差ep2=0.000000
1.4结果分析以及感悟
按照从大到小顺序相加的有效位数为：
5,4,3。
按照从小到大顺序相加的和的有效位数为：
6,6,6。
从程序的输出误差结果可以看出，按照不同的顺序相加造成的误差限是不同的，按照从大到小相加的顺序就是一个病态问题，而按照从小到大顺序相加的误差很小，并且在从大到小顺序相加的误差随着n的增大而增大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.chapter2Newton迭代法
2.1题目
（1）给定初值及容许误差，编制牛顿法解方程f（x）=0的通用程序。
（2）给定方程,易知其有三个根
由牛顿方法的局部收敛性可知存在当时，Newton迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
试取若干初始值，观察当时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？
2.2编写相应的matlab程序
定义f（x）函数
functionF=fu（x）
F=x^3/3-x;
end
定义f（x）的导函数
functionF=dfu（x）
F=x*x-1;
end
求根的通用程序
clear;
x0=input（'请输入初始值x0:
'）;
ep=input（'请输入容许误差：
'）;
flag=1;
whileflag==1
x1=x0-fu（x0）/dfu（x0）;
ifabs（x1-x0）<=ep
flag=0;
end
x0=x1;
end
fprintf（'方程的一个近似解为:
%f\n',x0）;
求sigma的通用程序
clear;
eps=input（'请输入搜索精度:
'）;
ep=input（'请输入容许误差:
'）;
flag=1;
k=0;
x0=0;
whileflag==1;
sigma=k*eps;
x0=sigma;
k=k+1;
m=0;
flag1=1;
whileflag1==1&&m<=10^3
x1=x0-fu（x0）/dfu（x0）;
ifabs（x1-x0）flag1=0;
end
m=m+1;
x0=x1;
end
ifflag1==1||abs（x0）>=ep
flag=0;
end
end
fprintf（'最大的sigma值为：
%f\n',sigma）;
2.3运行结果
寻找最大的sigma值
主要是在0的基础上，不断的增加步长，带入Newton公式，验证该值是否收敛于0，不断的循环，最后得到最小的不收敛于0的sigma值，此时也为最大满足收敛于0的最大的sigma值。
改变不同的步长，分别得到不同的sigma值，取其中的最小值，即为满足条件的最大的sigma值。
程序相应的运行结果如下：
>>chapter2_2
请输入搜索精度:
10^-6
请输入容许误差:
10^-6
最大的sigma值为：
0.774597
>>chapter2_2
请输入搜索精度:
10^-4
请输入容许误差:
10^-6
最大的sigma值为：
0.774600
>>chapter2_2
请输入搜索精度:
10^-2
请输入容许误差:
10^-6
最大的sigma值为：
0.780000
运行chapter2_1程序
（1）当初值x0属于（-∞，-1）内时，程序运行结果如下，
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-10000
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-100
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-10
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-1.1
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
可以得出不论取何值，Newton迭代式收敛，方程的近似解都收敛于-3。
（2）当初值x0属于-1，-δ内时，程序运行结果如下，
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-0.9
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-0.85
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-0.774598
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
1.732051
可以得出不论取何值，在此区间上Newton迭代式不收敛。
（3）当初值x0属于（-δ，δ）内时，程序运行结果如下，
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-0.76
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
0.000000
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-0.5
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
0.000000
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-0.1
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
0.000000
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
-0.01
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-0.000000
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.01
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
0.000000
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.1
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
0.000000
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.5
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
0.000000
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.76
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
0.000000
可以得出在此区间内，不论取何值，Newton迭代式收敛，方程的近似解都收敛于0。
（4）当初值x0属于（δ，1）内时，运行程序结果如下，
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.774598
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.8
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.9
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
0.95
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
-1.732051
可以得出不论取何值，在此区间上Newton迭代式不收敛。
（5）当初值x0属于区间1，+∞内时，运行程序结果如下，
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
1.1
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
10
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
100
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
1.732051
>>chaper2_1
请输入初始值x0:
10000
请输入容许误差：
10^-6
方程的一个近似解为:
1.732051
可以得出，不管x0取何值，Newton迭代式都收敛，且收敛于根3。
3.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法
3.1题目
对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V，其中
（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元高斯消去法的通用程序；
（2）用所编程序解线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留5位有效数字；
（3）本题编程之中，你提高了哪些编程能力？
3.2程序编写：
%通用Gauss列主元消去法
n=input（'输入线性方程组阶数:
n='）;
b=zeros（1,n）;
A=input（'输入系数矩阵：
A=\n'）;
b（1,:
）=input（'输入线性方程组右端向量：
b=\n'）;
b=b';
C=[A,b];
fori=1:
n-1
[maximum,index]=max（abs（C（i:
n,i）））;%求取C矩阵列主元以及其所在列中位置
index=index+i-1;
T=C（index,:
）;
C（index,:
）=C（i,:
）;
C（i,:
）=T;
fork=i+1:
n
ifC（k,i）~=0
C（k,:
）=C（k,:
）-C（k,i）/C（i,i）*C（i,:
）;
end
end
end
%回代求解
x=zeros（n,1）;
x（n）=C（n,n+1）/C（n,n）;
fori=n-1:
-1:
1
x（i）=（C（i,n+1）-C（i,i+1:
n）*x（i+1:
n,1））/C（i,i）;
end
disp（'该方程组的解为:
'）;
fprintf（'%.5g\n',x）;
3.3运行结果
输入线性方程组阶数:
n=9
输入系数矩阵：
A=
[31-13000-10000;-1335-90-110000;0-931-1000000;00-1079-30000-9;000-3057-70-50;0000-747-3000;00000-304100;0000-50027-2;000-9000-229]
输入线性方程组右端向量：
b=
[-1527-230-2012-7710]
该方程组的解为:
-0.28923
0.34544
-0.71281
-0.22061
-0.4304
0.15431
-0.057823
0.20105
0.29023
3.4结果分析
从程序运行结果可得，该线性方程组的解向量为：
[-0.289230.34544-0.71281-0.22061-0.43040.15431-0.0578230.201050.29023]。
通过该道题程序的编写，我加深了对Gauss列主元消去法的理解，也增强了MATLAB对矩阵、数组处理的能力。
4.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法
4.1题目
（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的SOR方法的通用程序（要求）；
（2）对于35题中所给的线性方程组，取松弛因子，容许误差，打印松弛因子、迭代次数、最佳松弛因子及解向量。
4.2程序编写
R=zeros（9,9）;
R（1,1）=31/2;R（1,2）=-13;R（1,6）=-10;R（2,2）=35/2;R（2,3）=-9;R（2,5）=-11;
R（3,3）=31/2;R（3,4）=-10;R（4,4）=79/2;R（4,5）=-30;R（4,9）=-9;R（5,5）=57/2;
R（5,6）=-7;R（5,8）=-5;R（6,6）=47/2;R（6,7）=-30;R（7,7）=41/2;
R（8,8）=27/2;R（8,9）=-2;R（9,9）=29/2;
R=R+R';R（6,1）=0;R（5,2）=0;
V=[-15;27;-23;0;-20;12;-7;7;10];
eps1=0.5e-5;
detaeps=ones（99,1）;
k=zeros（99,1）;
deta=zeros（9,1）;
x=zeros（9,1）;
x1=ones（9,99）;
x0=ones（9,99）;
fori=1:
99
w=i/50;
while（detaeps（i）>eps1）
forj=1:
9
sum=0;
fort=1:
j-1
sum=sum+R（j,t）*x1（t,i）;
end
fort=j+1:
9
sum=sum+R（j,t）*x1（t,i）;
end
x1（j,i）=（1-w）*x0（j,i）+w*（V（j）-sum）/R（j,j）;
end
k（i）=k（i）+1;
forj=1:
9
deta（j）=abs（x1（j,i）-x0（j,i））;
end
detaeps（i）=max（deta）;
x0=x1;
end
end
p=min（k）;
fori=1:
9
x（i）=x0（i,p）;
end
disp（p）;
disp（x）;
4.3运行结果
最少迭代次数p=10;最佳迭代因子w=0.2；解析向量x=[-0.28920.3455-0.7128-0.2206-0.43040.1544-0.0570.20110.2902]。
4.4结果分析
通过此次的编程，对比不同的迭代因子，迭代因此不同，收敛速度也不相同，再次加强对于SOR的理解，提高MATLAB的编程能力。
5.chapter4多项式插值与函数最佳逼近
5.1题目
（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序;
（2）已知汽车曲线型值点的数据如下：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.51
3.30
4.04
4.70
5.22
5.54
5.78
5.40
5.57
5.70
5.80
端点条件为=0.8，=0.2。
用所编制程序求车门的3次样条插值函数S（x）,并打印出S（i+0.5）（i=0,1,…9）。
5.2程序编写
clc;
clear;
x=[0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10];
y=[2.51;3.3;4.04;4.7;5.22;5.54;5.78;5.4;5.57;5.7;5.8];
dy=[0.8;0.2];
h=zeros（8,1）;
u=zeros（9,1）;
nameda=zeros（9,1）;
d=zeros（11,1）;
mm=zeros（11,1）;
m=zeros（11,11）;
k=0;
fori=1:
10
h（i）=x（i+1）-x（i）;
end
fori=1:
9
u（i）=h（i）/（h（i）+h（i+1））;
nameda（i）=1-u（i）;
end
d
（1）=6*（（y
（2）-y
（1））/h
（1）-dy
（1））/h
（1）;
d（11）=6*（-（y（11）-y（10））/h（10）+dy
（2））/h（10）;
fori=2:
10
d（i）=6*（（y（i+1）-y（i））/h（i）-（y（i）-y（i-1））/h（i-1））/（x（i+1）-x（i-1））;
end
fori=2:
10
m（i,i-1）=u（i-1）;
m（i,i）=2;
m（i,i+1）=nameda（i-1）;
end
m（1,1）=2;m（1,2）=1;m（11,10）=1;m（11,11）=2;
mm=inv（m）*d;
fx=zeros（1,10）;
forj=1:
10
t=input（'请输入0到10之间的一个整数:
'）;
t=t+0.5;
i=fix（t）;
fx（j）=y（i+1）+（（y（i+2）-y（i+1））/h（i+1）-h（i+1）*（1/3*mm（i+1）+1/6*mm（i+2）））*（t-x（i+1））+0.5*mm（i+1）*（t-x（i+1））^2+1/（6*h（i+1））*（mm（i+2）-mm（i+1））*（t-x（i+1））^3;
disp（fx）;
end
sx=zeros（901,1）;
forj=0:
0.01:
9
i=fix（j）;
k=k+1;
sx（k）=y（i+1）+（（y（i+2）-y（i+1））/h（i+1）-h（i+1）*（1/3*mm（i+1）+1/6*mm（i+2）））*（j-x（i+1））+0.5*mm（i+1）*（j-x（i+1））^2+1/（6*h（i+1））*（mm（i+2）-mm（i+1））*（j-x（i+1））^3;
end
5.3运行结果
（1）i分别取0到9之间的整数时，函数输出结果
i
0
1
2
3
4
S（i+0.5）
2.9086
3.6784
4.3815
4.9882
5.3833
i
5
6
7
8
9
S（i+0.5）
5.7237
5.5944
5.4299
5.6598
5.7323
（2）y-x曲线以及拟合曲线
y-x曲线
拟合曲线
5.4结果分析
从以上的两个曲线可以看出，拟合曲线与y-x的曲线基本一致，三次样条函数较好的拟合原函数，通过本次的编程，提高了我对三次样条函数的认识，加深我对三次样条函数的理解。
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