高二下学期期末考试数学.docx
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高二下学期期末考试数学
2021-2022年高二下学期期末考试（数学）
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.如果复数（其中为虚数单位），那么（即的虚部）为__________。
2.在二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.
3.顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为____________．
4.双曲线的一个焦点是，则的值是__________．
5.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。
则双曲线的方程为。
6.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：
成绩（分）
50
61
73
85
90
94
人数
2
2
1
2
1
2
则总体标准差的点估计值为（结果精确到0.01）.
7.某展室有9个展台，现有件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；
8.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.
9.若且，则的最大值是_______.
10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。
已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.
11.△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2cm、3cm、4cm，且A,B,C在平面的同侧，则△ABC的重心到平面的距离为___________。
12.过点且与双曲线只有一个公共点的直线有条。
13.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到的距离为_________.
14.如图，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面内不在上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的面积的最大值是。
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.
15.下列四个命题：
①满足的复数只有1,I;
②若a,b是两个相等的实数,则（a－b）＋（a＋b）i是纯虚数;
③|z+|=2|z|;
④复数zR的充要条件是z=;
其中正确的有（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
16.平面，直线，，且，则与（ ）
A. B.与斜交 C. D.位置关系不确定
17.在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点所在的曲线的形状为（）
18.已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则
的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）
三、解答题
19.（本题满分12分）第一题满分5分，第二题满分7分．
已知复数，=2，是虚部为正数的纯虚数。
（1）求的模；
（2）求复数。
20.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分．
已知，
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求中含项的系数；
21.（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分．
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将4张扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：
若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字不比乙大，则乙胜。
你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
22.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分．
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切。
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且倾斜角为的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线上的射影是。
求梯形的面积；
（3）若点C是
（2）中线段上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。
23.（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．
如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A1BC被一平面DEE1D1所截，若平面DEE1D1分别交AB,AC,A1B,A1C于点D,E,D1,E1。
（1）讨论这三条交线ED,CB,E1D1的关系。
（2）当BC//平面DEE1D1时,求的值;
（3）当BC不平行平面DEE1D1时,的值变化吗？
为什么？
上海交通大学附属中学xx第二学期
高二数学期末试卷
（满分150分，120分钟完成。
答案一律写在答题纸上）
命题：
陈海兵审核：
杨逸峰
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
24.如果复数（其中为虚数单位），那么（即的虚部）为__________。
25.在二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.28
26.顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为____________．
27.双曲线的一个焦点是，则的值是__________．－2
28.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。
则双曲线的方程为。
29.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：
成绩（分）
50
61
73
85
90
94
人数
2
2
1
2
1
2
则总体标准差的点估计值为（结果精确到0.01）.17.60
30.某展室有9个展台，现有件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；60
31.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.
32.若且，则的最大值是_______.4
33.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。
已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为____________米.6.5m米
34.△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2cm、3cm、4cm，且A,B,C在平面的同侧，则△ABC的重心到平面的距离为___________。
3,
35.过点且与双曲线只有一个公共点的直线有条。
4
36.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到的距离为_________.
37.如图，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面内不在上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的面积的最大值是。
12
由条件可得：
PB=2PA，即P到B的距离为到A的距离的2倍
在平面内以AB为轴，AB的中垂线为轴，建立平面直角坐标系
设P（，）则=
∴=∴+27=0
∴∴=16
∴平面内P点轨迹为以（，0）为圆心，4为半径的圆（与轴的交点除外）
∴高的最大值为4，∴面积的最大值为=12
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.
38.下列四个命题：
①满足的复数只有1,i;
②若a,b是两个相等的实数,则（a－b）＋（a＋b）i是纯虚数;
③|z+|=2|z|;
④复数zR的充要条件是z=;
其中正确的有（）B
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
39.平面，直线，，且，则与（ ）D
A. B.与斜交 C. D.位置关系不确定
40.在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点所在的曲线的形状为（）B
41.已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则
的最大值为（）C
（A）（B）（C）（D）
三、解答题
42.（本题满分12分）第一题满分5分，第二题满分7分．
已知复数，=2，是虚部为正数的纯虚数。
（1）求的模；
（2）求复数。
解：
（1）||=||||=||||=8；
（2）是虚部为正数的纯虚数
∴=
===
设复数=（）
解之得或
∴
43.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分．
已知，
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求中含项的系数；
解：
（1）因为,
所以,
又
所以
（1）
（2）
（1）-
（2）得：
所以：
（2）因为
，
所以
中含项的系数为
44.（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分．
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将4张扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：
若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字不比乙大，则乙胜。
你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
解：
（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’,2）、（4’，3）（4’，4）
共12种不同情况
（没有写全面时：
只写出1个不给分，2—4个给1分，5—8个给2分，9—11个给3分）
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为
此游戏不公平。
45.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分．
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切。
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且倾斜角为的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线上的射影是。
求梯形的面积；
（3）若点C是
（2）中线段上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。
解:
（1）曲线M是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为.
（2）由题意得，直线AB的方程为
消y得
于是，A点和B点的坐标分别为A，B（3，），
所以，
（3）设C（－1，y）使△ABC成直角三角形，
，
，
.
（i）当时，
方法一：
当时，
，
即为直角.C点的坐标是
方法二：
当时，得直线AC的方程为，
求得C点的坐标是。
（ii）因为，所以，不可能为直角.
（iii）当时，
方法一：
当时，
，
即，解得，此时为直角。
方法二：
当时，由几何性质得C点是的中点，即C点的坐标是。
故当△ABC为直角三角形时，点C的坐标是或
46.（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．
如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A1BC被一平面DEE1D1所截，若平面DEE1D1分别交AB,AC,A1B,A1C于点D,E,D1,E1。
（1）讨论这三条交线ED,CB,E1D1的关系。
（2）当BC//平面DEE1D1时,求的值。
（3）当BC不平行平面DEE1D1时,的值变化吗？
为什么？
（1）互相平行或三线共点。
当BC//平面DEE1D1时，
平面ABC平面DEE1D1=ED
BC//ED,同理CB//E1D1
∴ED//CB//E1D1
当BC不平行平面DEE1D1时,
延长ED、CB交于点H，
∴H∈EF∵EF平面DEE1D1∴H∈平面DEE1D1
同理H∈平面A1BC
∴H∈平面DEE1D1∩平面A1BC
即H∈E1D1∴E1、D1、H三点共线
∴三线共点
（2）解：
∵BC//平面DEE1D1
且BC平面ABC，平面ABC∩平面DEE1D1=ED
∴BC∥ED，同理BC∥E1D1
在△ABC中，BC∥ED
∴=同理可得=
∴==1
（3）解：
由
（1）可得，延长ED、CB、E1D1交于点H，
过点B作BF∥AC，BG∥A1C
∵BF∥AC∴=
同理可得=
在△HCE中，BG∥CE1∴=
同理可得=
∴=====1
的值不变化，仍为1
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