高中数学课时跟踪检测七函数的最大小值与导数新人教A版选修I.docx

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高中数学课时跟踪检测七函数的最大小值与导数新人教A版选修I

2021年高中数学课时跟踪检测七函数的最大（小）值与导数新人教A版选修（I）

1．设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′（x）（　　）

A．等于0　　　　　　　　　B．小于0

C．等于1D．不确定

解析：

选A　因为M＝m，所以f（x）为常数函数，故f′（x）＝0，故选A.

2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是（　　）

A．12，－8B．1，－8

C．12，－15D．5，－16

解析：

选A　y′＝6x2－6x－12，

由y′＝0⇒x＝－1或x＝2（舍去）．

x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.

∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.

3．函数f（x）＝x4－4x（|x|<1）（　　）

A．有最大值，无最小值

B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，有最小值

D．既无最大值，也无最小值

解析：

选D　f′（x）＝4x3－4＝4（x－1）（x2＋x＋1）．

令f′（x）＝0，得x＝1.又x∈（－1,1）且1∉（－1,1），

∴该方程无解，故函数f（x）在（－1,1）上既无极值也无最值．故选D.

4．函数f（x）＝2＋，x∈（0,5]的最小值为（　　）

A．2B．3

C.D．2＋

解析：

选B　由f′（x）＝－＝＝0，得x＝1，

且x∈（0,1）时，f′（x）＜0，x∈（1,5]时，f′（x）＞0，

∴x＝1时，f（x）最小，最小值为f

（1）＝3.

5．函数y＝的最大值为（　　）

A．e－1B．e

C．e2D．10

解析：

选A　令y′＝＝＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f（e）＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.

6．函数y＝－x（x≥0）的最大值为__________．

解析：

y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.

∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.

∴x＝时，ymax＝－＝.

答案：

7．函数f（x）＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．

解析：

f′（x）＝e－x－xe－x＝e－x（1－x）．

令f′（x）＝0，得x＝1（e－x＞0），

∴f

（1）＝＞0，f（0）＝0，f（4）＝＞0，

所以f（x）的最小值为0.

答案：

0

8．若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.

解析：

∵f′（x）＝3x2－3，

∴当x＞1或x＜－1时，f′（x）＞0；

当－1＜x＜1时，f′（x）＜0.

∴f（x）在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．

∴f（x）min＝f

（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.

又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）．

∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，

∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20.

答案：

20

9．设函数f（x）＝ex－x2－x.

（1）若k＝0，求f（x）的最小值；

（2）若k＝1，讨论函数f（x）的单调性．

解：

（1）k＝0时，f（x）＝ex－x，f′（x）＝ex－1.

当x∈（－∞，0）时，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）的最小值为f（0）＝1.

（2）若k＝1，则f（x）＝ex－x2－x，定义域为R.

∴f′（x）＝ex－x－1，令g（x）＝ex－x－1，

则g′（x）＝ex－1，

由g′（x）≥0得x≥0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，

由g′（x）<0得x<0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减，

∴g（x）min＝g（0）＝0，即f′（x）min＝0，故f′（x）≥0.

所以f（x）在R上单调递增．

10．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f（x）在点P（1，f

（1））处的切线方程为y＝3x＋1.

（1）求a，b的值；

（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值．

解：

（1）依题意可知点P（1，f

（1））为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f

（1）＝3×1＋1＝4，

∴f

（1）＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，

又由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5得，

又f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′

（1）＝3，

∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，

由解得

∴a＝2，b＝－4.

（2）由

（1）知f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，

f′（x）＝3x2＋4x－4＝（3x－2）（x＋2），

令f′（x）＝0，得x＝或x＝－2.

当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x

－3

（－3，－2）

－2

1

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

8

极大值

极小值

4

∴f（x）的极大值为f（－2）＝13，极小值为f＝，

又f（－3）＝8，f

（1）＝4，

∴f（x）在[－3,1]上的最大值为13.

层级二　应试能力达标

1．函数f（x）＝x3－3ax－a在（0,1）内有最小值，则a的取值范围为（　　）

A．[0,1）　　　　　　　　B．（0,1）

C．（－1,1）D.

解析：

选B　∵f′（x）＝3x2－3a，令f′（x）＝0，可得a＝x2，又∵x∈（0,1），∴0＜a＜1，故选B.

2．若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为（　　）

A．－10B．－71

C．－15D．－22

解析：

选B　f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）．由f′（x）＝0，得x＝3或x＝－1.又f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f（x）min＝k－76＝－71.

3．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为（　　）

A．1B.

C.D.

解析：

选D　因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以|MN|＝f（x）－g（x）＝x2－lnx，设h（x）＝x2－lnx，则h′（x）＝2x－＝，令h′（x）＝＝0，得x＝，所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时有最小值，故t＝.

4．函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[3，＋∞）B．[－3，＋∞）

C．（－3，＋∞）D．（－∞，－3）

解析：

选B　∵f（x）＝x3＋ax－2在[1，＋∞）上是增函数，∴f′（x）＝3x2＋a≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞）上恒成立，又∵在[1，＋∞）上（－3x2）max＝－3，∴a≥－3.

5．已知函数f（x）＝ax－lnx，若f（x）＞1在区间（1，＋∞）内恒成立，实数a的取值范围为________．

解析：

由题意知a＞在区间（1，＋∞）内恒成立．

设g（x）＝，则g′（x）＝－＜0（x＞1），

∴g（x）＝在区间（1，＋∞）内单调递减，

∴g（x）＜g

（1），

∵g

（1）＝1，

∴＜1在区间（1，＋∞）内恒成立，∴a≥1.

答案：

[1，＋∞）

6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.

解析：

y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减．若a＞－1，则最大值为f（a）＝－a2－2a＋3＝，解之得a＝－；若a≤－1，则最大值为f（－1）＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.

答案：

－

7．已知a∈R，函数f（x）＝x2（x－a）．

（1）当a＝3时，求f（x）的零点；

（2）求函数y＝f（x）在区间[1,2]上的最小值．

解：

（1）当a＝3时，f（x）＝x2（x－3），

令f（x）＝0，解得x＝0或x＝3.

（2）设此最小值为m，

而f′（x）＝3x2－2ax＝3x，x∈（1,2），

①当a≤0时，在1＜x＜2时，f′（x）＞0，

则f（x）是区间[1,2]上的增函数，所以m＝f

（1）＝1－a；

②当a＞0时，

在x＜0或x＞时，f′（x）＞0，

从而f（x）在区间上是增函数；

在0＜x＜时，f′（x）＜0，

从而f（x）在区间上是减函数．

ⅰ当a≥2，即a≥3时，m＝f

（2）＝8－4a；

ⅱ当1＜a＜2，即＜a＜3时，m＝f＝－.

ⅲ当0＜a≤1，即0＜a≤时，m＝f

（1）＝1－a.

综上所述，所求函数的最小值m＝

8．已知函数f（x）＝lnx＋.

（1）当a<0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．

解：

函数f（x）＝lnx＋的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝－＝，

（1）∵a<0，∴f′（x）>0，

故函数在其定义域（0，＋∞）上单调递增．

（2）x∈[1，e]时，分如下情况讨论：

①当a<1时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，其最小值为f

（1）＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；

②当a＝1时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为f

（1）＝1，同样与最小值是相矛盾；

③当10，f（x）单调递增，

所以，函数f（x）的最小值为f（a）＝lna＋1，由lna＋1＝，得a＝.

④当a＝e时，函数f（x）在[1，e]上有f′（x）<0，f（x）单调递减，其最小值为f（e）＝2，这与最小值是相矛盾；

⑤当a>e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为f（e）＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；

综上所述，a的值为.