最新初中函数知识点总结精品优秀名师资料.docx
《最新初中函数知识点总结精品优秀名师资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初中函数知识点总结精品优秀名师资料.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
最新初中函数知识点总结精品优秀名师资料
初中函数知识点总结（精品）
一次函数知识点总结
1.一次函数及性质
一般地，形如y=kx，b（k,b是常数，k?
0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx，b即y=kx，所以说
正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:
一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）?
k不为零?
x指数为1?
b取任意实数
b一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它k
可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移）
（1）解析式:
y=kx+b（k、b是常数，k0）,
b
（2）必过点:
（0，b）和（-，0）k
（3）走向:
k,0k,0,,直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限,,,,b,0b,0,,
k,0k,0,,直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限,,,,b,0b,0,,
（4）增减性:
k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度:
|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移:
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
b>0b<0b=0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
1
反比例函数知识点
kkkk,o1.定义:
一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写y,y,xx
1成y,kx
2.反比例函数解析式的特征:
kk?
等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（也叫做比例系数），y
分母中含有自变量，且指数为1.x
k,0?
比例系数
?
自变量的取值为一切非零实数。
x
?
函数的取值是一切非零实数。
y
3.反比例函数的图像
?
图像的画法:
描点法
?
列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）?
描点（有小到大的顺序）
?
连线（从左到右光滑的曲线）
kkk,0x,0y,?
反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，y,0x
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与
坐标轴相交。
?
反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
y,xy,,x
kkk,0kk,0y,y,?
反比例函数（）中比例系数的几何意义是:
过双曲线（）上任xx
ky意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
x
4（反比例函数性质如下表:
k的取值图像所在象限函数的增减性
k,o一、三象限y在每个象限内，值随x的增大而减小
k,o二、四象限y在每个象限内，值随x的增大而增大
2
二次函数知识点
一、二次函数概念:
2a,01（二次函数的概念:
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这abc～～yaxbxc,，，
a,0里需要强调:
和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零（二次函数的定义域是全体实bc～
数（
22.二次函数的结构特征:
yaxbxc,，，
?
等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2（xx
?
是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项（abc～～acb
二、二次函数的基本形式
21.二次函数基本形式:
的性质:
yax,
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a
x,0x,0时，随的增大而增大;时，随xyy00～轴y，，a,0向上x,0的增大而减小;时，有最小值（x0y
x,0x,0时，随的增大而减小;时，随xyy00～轴y，，a,0向下x,0的增大而增大;时，有最大值（x0y
22.的性质:
yaxc,，
上加下减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质ax,0x,0时，随的增大而增大;时，随xyy0～c轴y，，a,0向上x,0的增大而减小;时，有最小值（xcy
x,0x,0时，随的增大而减小;时，随xyy轴y0～ca,0，，向下x,0的增大而增大;时，有最大值（xcy
23.的性质:
yaxh,,，，
左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh,xh,x时，随的增大而增大;时，随yyh～0a,0，，向上X=hxh,x的增大而减小;时，有最小值（0y
xh,xh,x时，随的增大而减小;时，随yyh～0，，a,0向下X=hxh,x的增大而增大;时，有最大值（0y
3
24.的性质:
yaxhk,,，，，
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a
xh,xh,时，随的增大而增大;时，随xyyhk～a,0向上X=h，，xh,的增大而减小;时，有最小值（xky
xh,xh,时，随的增大而减小;时，随xyyhk～，，a,0向下X=hxh,的增大而增大;时，有最大值（xky三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
2方法一:
?
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;hk～yaxhk,,，，，，，
2?
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下:
hk～yax,，，
向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位22y=axy=ax+k
向右（h>0）【或左（h<0）】向右（h>0）【或左（h<0）】向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】
平移|k|个单位
22y=a（x-h）y=a（x-h）+k向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”（hk
概括成八个字“左加右减，上加下减”（
方法二:
22?
沿轴平移:
向上（下）平移个单位，变成my,ax，bx，cy,ax，bx，cy
22（或）y,ax，bx，c，my,ax，bx，c,m
22?
沿轴平移:
向左（右）平移m个单位，变成y,ax，bx，cy,ax，bx，c
22（或）y,a（x，m），b（x，m），cy,a（x,m），b（x,m），c
22四、二次函数与yaxbxc,，，的比较yaxhk,,，，，
22从解析式上看，与yaxbxc,，，是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前yaxhk,,，，，
222bacb4,bacb4,,,yax,，，者，即，其中（hk,,,～,,24aa24aa,,
2yaxbxc,，，五、二次函数图象的画法
4
22化为顶点式，确定其开口方向、五点绘图法:
利用配方法将二次函数yaxbxc,，，yaxhk,,，（）对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴y
的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴0～c0～c2hc，x～0x～0xx，，，，，，，，，，12没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点:
开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy
2六、二次函数的性质yaxbxc,，，
2,,bbacb4,a,01.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为（,～x,,,,24aa2a,,
bbb当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小xxx,,x,,x,,yyy2a2a2a
24acb,值（4a
2,,bbbacb4,a,02.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为（当时，,～x,,x,,,,24aa2a2a,,
2bb4acb,随的增大而增大;当时，随的增大而减小;当时，有最大值（xxx,,x,,yyy2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
2a,0（，，为常数，）;1.一般式:
yaxbxc,，，acb
2a,02.顶点式:
（，，为常数，）;yaxhk,,，（）ahk
a,03.两根式:
（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.xxxyaxxxx,,,（）（）1212
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
2bac,,40有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（二次函数解析式x
的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
2a,0二次函数中，作为二次项系数，显然（yaxbxc,，，a
a,0?
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大;aa
a,0?
当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大（aa
a总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小（aa
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，决定了抛物线的对称轴（b
a,0?
在的前提下，
bb,0当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧;y,,02a
bb,0当时，，即抛物线的对称轴就是轴;y,,02a
bb,0当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（y,,02a
a,0?
在的前提下，结论刚好与上述相反，即
5
bb,0当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧;y,,02a
bb,0当时，，即抛物线的对称轴就是轴;y,,02a
bb,0当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（y,,02a
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置（ab
babab,0ab,0的符号的判定:
对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是x,,yy2a
“左同右异”
总结:
3.常数项c
c,0?
当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正;xyy
c,0?
当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为;0yy
c,0?
当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负（xyy
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置（cy
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的（abc～～
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法（用待定系数法求二次函数的解析式必须根
据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便（一般来说，有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式;x
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于轴对称x
22关于轴对称后，得到的解析式是;yaxbxc,，，xyaxbxc,,,,
22关于轴对称后，得到的解析式是;xyaxhk,,，yaxhk,,,,，，，，
2.关于轴对称y
22关于轴对称后，得到的解析式是;yaxbxc,，，yaxbxc,,，y
22关于轴对称后，得到的解析式是;yaxhk,,，yaxhk,，，y，，，，
3.关于原点对称
22yaxbxc,，，yaxbxc,,，,关于原点对称后，得到的解析式是;
22yaxhk,,，关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk,,，,;，，，，
4.关于顶点对称（即:
抛物线绕顶点旋转180?
）
2b22yaxbxc,，，yaxbxc,,,，,关于顶点对称后，得到的解析式是;2a
6
22关于顶点对称后，得到的解析式是（yaxhk,,，yaxhk,,,，，，，，
5.关于点对称mn～，，
22关于点对称后，得到的解析式是mn～yaxhk,,，yaxhmnk,,，,，,22，，，，，，
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变（求a抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式（
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）:
x22axbxc，，,0一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.y,0yaxbxc,，，
图象与轴的交点个数:
x
B、当a＜0时2,,,,bac40?
当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次AxBx，，，00xxx，（）xx,，，，，121212
2bac,42方程的两根（这两点间的距离.axbxca，，,,00ABxx,,,，，21a
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
,0?
当时，图象与轴只有一个交点;x
即;,,0?
当时，图象与轴没有交点.x
（3）三角形的外心的性质:
三角形外心到三顶点的距离相等.a,0当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有;y,0xx1'a,0当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有y,0（xx2'
84.16—4.22有趣的图形1整理复习222.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为（0，c）;yaxbxc,，，y
3.二次函数常用解题方法总结:
?
求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程;x
定理：
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
?
求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
三、教学内容及教材分析：
2?
根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号yaxbxc,，，acacbb
1、会数、会读、会写100以内的数;在具体情境中把握数的相对大小关系;能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。
判断图象的位置，要数形结合;
?
二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一x
个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
2?
与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxca，，,（0）本身就是所含字母x的二次函数;
a,0下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
,0x抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根
两个交点可零、可负
③点在圆外<===>d>r.,,0x轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与
有一个交点
（3）当>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：
,0x抛物线与轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
交点
7
升级会员 