线性代数上机作业题答案.docx
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线性代数上机作业题答案
线性代数机算与应用作业题
学号：
—、机算题
姓名：
成绩：
1利用函数rand和函数round构造一个5X5的随机正整数矩阵A和B。
（1）计算A+B,A—B和6A
TtT100
（2）计算（AB）,BtAt和（AB）
（3）计算行列式A,B和AB
（4）若矩阵A和B可逆，计算AJ和B，
（5）计算矩阵A和矩阵B的秩。
解输入:
A=round（rand（5）*10）
B=round（rand（5）*10）
结果为：
A=
（1）输入:
A+B
结果为:
ans=
10
10
6
10
12
2
4
5
11
12
13
14
9
12
6
10
20
12
1
4
14
9
10
12
6
输入：
A-B
结果为：
ans=
-6
-2
-4
2
-6
2
0
1
3
-4
-5
4
-1
-8
4
-4
0
0
1
-2
4
-1
-4
-6
0
输入：
6*A
结果为：
ans=
12
24
6
36
18
12
12
18
42
24
24
54
24
12
30
18
60
36
6
6
54
24
18
18
18
2）输入：
（A*B）'
结果为：
ans=
8211210790135
10012110783122
80
99
105
78
107
61
82
137
121
109
78
70
133
119
134
输入：
B'*A'
结果为：
ans=
82
112
107
90
135
100
121
107
83
122
80
99
105
78
107
61
82
137
121
109
78
70
133
119
134
输入：
（A*B）A100
结果为：
ans=
1.0e+270*
1.6293
1.6526
1.4494
1.5620
1.6399
1.9374
1.9651
1.7234
1.8573
1.9499
2.4156
2.4501
2.1488
2.3158
2.4313
2.0137
2.0425
1.7913
1.9305
2.0268
2.4655
2.5008
2.1932
2.3636
2.4815
3）输入：
D=det（A）结果为：
D=
5121
输入：
D=det（B）
结果为：
-9688
输入：
D=det（A*B）
结果为：
D=
-49612248
4）输入：
inv（A）
结果为：
ans=
0.0217
-0.0662
-0.0445
-0.0135
0.1453
0.1845
-0.1582
0.0264
0.0475
-0.0334
-0.3199
0.2742
-0.0457
0.1178
-0.0088
0.1707
0.0283
-0.1343
0.0471
-0.0002
-0.1619
0.1070
0.2785
-0.1877
-0.0490
输入：
inv（B）
结果为：
ans=
0.1726
-0.1560
0.0357
-0.0667
-0.0471
-0.2642
0.2693
0.1786
0.2157
-0.2007
0.1982
-0.2957
-0.3214
-0.0993
0.4005
-0.1305
0.1478
0.1429
0.0050
-0.0553
0.0818
0.0577
-0.0357
-0.0316
-0.0223
5）输入：
rank（A）结果为：
ans=
输入：
rank（B）
结果为：
ans=
5
2.求解下列方程组
（1）求非齐次线性方程组
（2）求非齐次线性方程组
2x「x22x34x4=5
一14为+17x2—12x3+7x4=8
7x17x26x36x45
-2捲-9x221x3-7x4=10
的唯一解。
5为+9x2+7x3+2x4+8x5=4
4捲+22x2+8x3+25x4+23x5=9
12345的通解。
为+8x2+x3+8&+8x5=1
♦2x1+6x2+6x3+9x4+7x5=7
解
（1）输入:
A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7];
b=[5;8;5;10];
x=A\b
结果为：
-0.8341
-0.2525
0.7417
1.3593
（2）输入：
A=[5,9,7,2,8;4,22,8,25,23;1,8,1,8,8;2,6,6,9,7];
b=[4;9;1;7];
[R,s]=rref（[A,b]）;
[m,n]=size（A）;
x0=zeros（n,1）;
r=length（s）;
xO（s,:
）=R（1:
r,end）;
x0
x=null（A,丫'）
结果为：
x0=
-1.6635
0.1346
1.5865
0
0
x=
4.18270.8558
-1.3269-1.0577
-1.5673-0.3942
1.00000
01.0000
所以方程组的通解为
-1.6635,0.1346,1.5862,0,0]
药
_11
21
91
■Ql
4
1
3
3
8
0
Ct2—
0
，鼻3—
0
«4=
2
，口5=
2
8
2
6
1
21
1】
2一
ii
1_
i
2
ii
1°一
，求出它的最大
3.已知向量组-
无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。
输入:
a1=[3;4;0;8;3];
a2=[1;1;0;2;2];
a3=[2;3;0;6;1];
a4=[9;3;2;1;2];
a5=[0;8;-2;21;10];
A=[a1,a2,a3,a4,a5];
rref（A）
结果为：
ans=
1
0
1
0
2
0
1
-1
0
3
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
即最大无关组为a1、
a2、
a4
a3=a1-a2
a5=2a1+3a2-a3
4.求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。
_1
2
31
_-20
3
1〕
（1）A=
2
5
6
；
（2）B
—
3
-10
-6
j
3
6
25一
-
1
-6
一22一
解
（1）输入：
A=[1,2,3;2,5,6;3,6,25];
[V,D]=eig（A）
结果为：
V=
0.9357
0.3279
0.1303
-0.3518
0.8961
0.2706
-0.0280
-0.2990
0.9538
D=
0.158200
03.72970
0027.1121
输入：
lamda_A=eig（A）
结果为:
lamda_A=
0.1582
3.7297
27.1121
即矩阵A正定
（2）输入：
B=[-20,3,1;3,-10,-6;1,-6,-22];
[V,D]=eig（B）
结果为：
-0.38100.90590.1850
0.4005-0.01860.9161
0.83340.4231-0.3557
-25.3404
-19.5947
-7.0649
输入：
lamda_B=eig（B）
结果为：
lamda_B=
-25.3404
-19.5947
-7.0649
即矩阵B负定
5.用正交变换法将下列二次型化为标准形。
其中“k1k2k3”为自己学号的后三位。
输入:
A=[1,0,2;0,2,1.5;2,1.5,3];
[V,a]=eig（A）
结果为：
V=
0.7488
0.5139
0.4186
0.3389
-0.8396
0.4246
-0.5696
0.1761
0.8028
a=
-0.521400
01.68540
004.8361
即标准型为f=-0.5214y1A2+1.6854y2A2+4.8361y3A2
二、应用题
1•在某网格图中，每一个节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点的值有如下关系：
T二k上T上k下T下k左T左k右T右，其中系数k±=0.3；k下=0.2；k左=0.4；k右=0.3。
如图所示，如：
T^k上30k下T3k左40•k右T?
。
请计算该网格节点1,2,3,4的值
（计算结果按四舍五入保留小数点后1位）。
30C30C
10C10C
输入：
A=[1,-0.3,-0.2,0;-0.4,1,0,-0.2;-0.3,0,1,-0.3;0,-0.3,-0.4,1];
b=[25;15;18;8];
U=rref（[A,b]）
结果为：
01.000037.4426
即T仁45.8C,T2=40.8C,T3=43.0C,
2.假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：
每年都有12%的市
区居民搬到郊区；而有10%的郊区居民搬到市区。
若开始有800000人口居住在市区，200000人口居住在郊区。
那么，20年后市区和郊区的人口数各是多少？
解输入：
A=[0.88,0.1;0.12,0.9];
X0=[800000;200000];
X20=AA20*X0
结果为：
X20=
1.0e+005*
4.5695
5.4305
即20年后市区和郊区人口数约为456950和543050.
3.—个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表1所示。
表1混凝土的配方
型号1混凝土
型号2混凝土
型号3混凝土
水
10
10
10
水泥
22
26
18
砂
32
31
29
石子
53
64
50
灰
0
5
8
现在有一个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为：
24,52,73,133，
12。
那么，能否用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土？
如果需要这种混凝土520
吨，问三种混凝土各需要多少？
解输入：
u1=[10;22;32;53;0];
u2=[10;26;31;64;5];
u3=[10;18;29;50;8];
v=[24;52;73;133;12];
U=[u1,u2,u3,v];[UO,r]=rref（U）结果为：
U0=
1.0000
0
0
0.6000
0
1.0000
0
0.8000
0
0
1.0000
1.0000
0
0
0
0
0
0
0
0
r=
12
3
即能用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土。
且520吨水泥需要1号130吨，2号173吨，3号217吨。
4•某城市有如下图所示的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段该路段的车流量。
若针对每一个十字路口（节点），进入和离开的车辆数相等。
请计算每两个相
邻十字路口间路段上的交通流量x（i=1,2,|朴,4）。
360
260'
‘Ax1丿
lq
251
kD260
q
—
rX2X4」
k
220
292
BX3
C357
:
320
解输入：
A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];
b=[-100;72;37;-9];
U=rref（[A,b]）
结果为：
U=
1
0
0
-1
9
0
1
0
-1
109
0
0
1
-1
37
0
0
0
0
0
即x仁x4+9
x2=x4+109
x3=x4+37
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