全国二卷理科数学高考真题及答案解析.docx

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全国二卷理科数学高考真题及答案解析

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2016年全国高考理科数学试题全国卷2

一、选择题：

本题共12小题，每小题

5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

.

1、已知z=（m+3）+（m–1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数

m的取值范围是（）

A．（–3,1）

B．（–1,3）

C．（1,+∞）

D．（–∞3）,–

2、已知集合

A={1,2,3}，B={x|（x+1）（x–2）<0，x∈Z}，则A∪B=（

）

A．{1}

B．{1,2}

C．{0,1,2,3}

D．{–1,0,1,2,3}

3、已知向量

a=（1,m），b=（3,–2），且（a+b）⊥b，则m=（

）

A．–8

B．–6

C．6

D．8

4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线

ax+y–1=0的距离为

1，则a=（）

4

3

C．3

D．2

A．–

B．–

3

4

5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到

F处与小红会合，再一起到位于

G处的老年公寓参加志愿者活

动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（）

A．24

B．18

C．12

D．9

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（

）

A．20π

B．24π

C．28π

D．32π

π

（

）

7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移

12个单位长度，则平移后图象的对称轴为

kππ

kππ

kππ

kππ

A．x=

2

–（k∈Z）

B．x=

2

+

（k∈Z）

C．x=

2

–（k∈Z）D．x=

2

+

（k∈Z）

6

6

12

12

8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左

3图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的

x=2，n=2，依次输入的

a为2，2，5，则输出的s=（

）

A．7

B．12

C．17

D．34

π

3，则sin2α=（

）

9、若cos（4–α5）=

A．

7

B．

1

1

7

25

5

C．–

D．–

5

25

10、从区间[0,1]随机抽取

2n个数x1，x2，，xn，y1，y2，，yn，构成n个数对（x1,y1），（x2,y2），，（xn,yn），其

.

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中两数的平方和小于

1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（

）

4n

2n

4m

2m

A．m

B．m

C．n

D．n

2

2

11、已知

、F是双曲线E：

x2

y

2

M在E上，MF1

与x轴垂直，sin∠MF

1

F1

2

a

–

=1的左，右焦点，点

2F1=,则E的离心

b

3

率为（

）

3

A．2

B．2

C．3

D．2

12、已知函数

x+1

与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），...（xm,ym），则

f（x）（x∈R）满足f（–x）=2–f（x），若函数y=

x

m

（xi

yi）

（

）

i1

A．0

B．m

C．2m

D．4m

二、填空题：

本大题共

4小题，每小题5分

13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为

4

5

，a=1，则b=___________．

a，b，c，若cosA=，cosC=

5

13

14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。

（3）如果α∥β，m?

α，那么m∥β。

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有

____________________（填写所有正确命题的编号

）。

15、有三张卡片，分别写有

1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是

2”，乙看了丙的卡片后说：

“我与丙的卡片上相同的数字不是

1”，丙说：

“我

的卡片上的数字之和不是

5”，则甲的卡片上的数字是

____________．

16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线

y=ln（x+1）的切线，则b=__________．

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本题满分

12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。

记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大

整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．

（1）求b1，b11，b101；

（2）求数列{bn}的前1000项和．

18、（本题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：

元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年

.

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度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4

≥5

保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

[]

一年内出险次数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出

60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD

5

上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10．

4

（1）证明：

D'H⊥平面ABCD；

（2）求二面角B–D'A–C的正弦值．

x2y2

20、（本小题满分12分）已知椭圆E：

t+3=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，

M两点，点N在E上，MA⊥NA．

（1）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

21、（本小题满分12分）

（1）讨论函数f（x）=

x–2

x

的单调性，并证明当

x>0时，（x–2）e

x

x+2

e

+x+2>0；

（2）证明：

当a∈[0,1）时，函数g（x）=

ex–ax–a

g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

2

（x>0）有最小值。

设

x

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

.

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22、（本小题满分10分）[选修4–1：

几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上（不与端

点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

（1）证明：

B，C，G，F四点共圆；

（2）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

23、（本小题满分10分）[选修4–4：

坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．

（1）以坐标原点为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求

C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是

x=tcosα

（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．

y=tsinα

24、（本小题满分

1

1

10分）[选修4–5：

不等式选讲]已知函数f（x）=|x–|+|x+

|，M为不等式f（x）<2的解集．

2

2

（1）求M；

（2）证明：

当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．

参考答案

.

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1、解析：

∴m+3>0，m–1<0，∴–3

2、解析：

B={x|（x+1）（x–2）<0，x∈Z}={x|–1

3、解析：

向量a+b=（4,m–2），∵（a+b）⊥b，∴（a+b）·b=10–2（m–2）=0，解得m=8，故选D．

4、解析：

圆

x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：

|a+4–1|

4

，

（x–1）2+（y–4）2=4，故圆心为（1,4），d=

=1，解得a=–

a2+1

3

故选A．

5、解析一：

E→F有6种走法，F→G有3

种走法，由乘法原理知，共

6×3=18种走法，故选

B．

解析二：

由题意，小明从街道的

E处出发到F处最短有C2条路，再从F处到G处最短共有

C1

条路，则小明到

4

3

老年公寓可以选择的最短路径条数为

C2·C1=18条，故选B。

4

3

6、解析：

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为

l，圆柱高为h．

由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：

l=2

2

2

2

1

+（2

3）=4，S表=πr

+ch+cl=4π+16π+8π=28，故π选C．

2

π

π

π

7、解析：

由题意，将函数

y=2sin2x的图像向左平移

12

个单位得

y=2sin2（x+12）=2sin（2x+

6），则平移后函数的对

称轴为2x+

ππ

πkπ

=

+kπ，k∈Z，即x=+

，k∈Z，故选B。

6

2

6

2

8、解析：

第一次运算：

s=0×2+2=2，第二次运算：

s=2×2+2=6，第三次运算：

s=6×2+5=17，故选C．

π

3

，sin2

π

2π

7

，故选D．

α=cos（

9、解析：

∵cos（–α）=

2

–2α）=2cos（–α1=）–

4

5

4

25

解法二：

对

π

3

cos（

展开后直接平方

4–α5）=

解法三：

换元法

10、解析：

由题意得：

（xi,yi）（i=1，2，3，...，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中

.

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π/4m

4m

由几何概型概率计算公式知

=

n

，∴π=，故选C．

1

n

FF

FF

2

2

sinM

3

1

2

1

2

=sinF1–sinF2=

11、解析：

离心率e=MF2–MF1

，由正弦定理得

e=MF2–MF1

1=2．故选A．

1–

3

12、解析：

由

x+1

=1+

1

f（–x）=2–f（x）得f（x）关于（0,1）对称，而y=

x

也关于（0,1）对称，

x

∴对于每一组对称点

xi+x'i=0，yi+y'i=2，

m

m

m

m

∴xi

yi

xi

yi

02

m，故选B．

i1

i1

i

1

2

4

5

3

12

63

，

13、解析：

∵cosA=

，cosC=

，sinA=

，sinC=

，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

5

13

5

13

65

ba

21

由正弦定理：

sinB=sinA，解得b=13．

14、解析：

对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为n//，所

以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，

由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.

15、解析：

由题意得：

丙不拿

（2,3），若丙（1,2），则乙（2,3），甲（1,3）满足；若丙（1,3），则乙（2,3），甲（1,2）不满足；

故甲（1,3），

1

16、解析：

y=lnx+2的切线为：

y=x1

·x+lnx1+1（设切点横坐标为x1）

1

1

y=ln（x+1）的切线为：

y=1

·x+ln（x2+1）–x2，∴

=

x1

x2+1

x2+1

x2+1

x2

lnx1+1=ln（x2+1）–

x2+1

1

1

1+1=1–ln2．

解得x1=

，x2=–。

∴b=lnx

2

2

a4–a1

17、解析：

（1）设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d=3=1，∴an=a1+（n–1）d=n．

∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．

（2）记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+

...+[lga1000]．

当0≤lga

时，n=1，2，

，9；当1≤lga<2n时，n=10，11，...

，99；当2≤lga<3n

时，n=100，101，...，999；

n<1

当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893．

18、

（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P（A）=1–P（A）=1–（0.30+0.15）=0.55．

.

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P（AB）0.10+0.05

3．

（2）设续保人保费比基本保费高出

60%为事件B，P（B|A）=P（A）=

0.55

=11

⑶解：

设本年度所交保费为随机变量

X．

X

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

P

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1，.23a

∴平均保费与基本保费比值为1.23．

5AECF

19、解析：

（1）证明：

如下左1图，∵AE=CF=，∴=，∴EF∥AC．

4ADCD

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H．

AE

2

2

2

∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=

·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|=|OH|

+|D'H|

，∴D'H⊥OH．

AO

又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD．

5

5

=

15

（2）方法一、几何法：

若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=

，AD=AB=5，∴DE=5–

，

4

4

4

DEEHDH15/43

9

9

，DH=3，OH=4–3=1，

∵EF∥AC，∴

===

=

，∴EH=

，EF=2EH=

ADACOD5

4

4

2

∵HD’=DH=3，OD’=22，∴满足

2

2

2

，则△OHD’为直角三角形，且

OD’⊥OH，

HD’

=OD’+OH

即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’ABCFE–的高．

9

底面五边形的面积

1

（EF+AC）OH·1

（2+6）×1

21

=

69

S=×ACOB+·

2

=×6×4+

2

=12+

4

4

，

2

2

1

169

23

2

则五棱锥D’ABCFE–体积V=

S·OD’=××22=

2

．

3

3

4

方法二、向量法。

建立如下左2图坐标系H–xyz．B（5,0,0），C（1,3,0），D'（0,0,3），A（1,–3,0），∴向量AB=（4,3,0），AD'=（–1,3,3），AC=（0,6,0），

x=3

n1·AB=04x+3y=0

设面ABD'法向量n1=（x,y,z），由n1·AD'=0得

–x+3y+3z=0，取y=–4，∴n1=（3,–4,5）．