全国二卷理科数学高考真题及答案解析.docx
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全国二卷理科数学高考真题及答案解析
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2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题:
本题共12小题,每小题
5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
.
1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数
m的取值范围是()
A.(–3,1)
B.(–1,3)
C.(1,+∞)
D.(–∞3),–
2、已知集合
A={1,2,3},B={x|(x+1)(x–2)<0,x∈Z},则A∪B=(
)
A.{1}
B.{1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{–1,0,1,2,3}
3、已知向量
a=(1,m),b=(3,–2),且(a+b)⊥b,则m=(
)
A.–8
B.–6
C.6
D.8
4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线
ax+y–1=0的距离为
1,则a=()
4
3
C.3
D.2
A.–
B.–
3
4
5、如下左1图,小明从街道的E处出发,先到
F处与小红会合,再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者活
动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
()
A.24
B.18
C.12
D.9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(
)
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
π
(
)
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移
12个单位长度,则平移后图象的对称轴为
kππ
kππ
kππ
kππ
A.x=
2
–(k∈Z)
B.x=
2
+
(k∈Z)
C.x=
2
–(k∈Z)D.x=
2
+
(k∈Z)
6
6
12
12
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,上左
3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图,若输入的
x=2,n=2,依次输入的
a为2,2,5,则输出的s=(
)
A.7
B.12
C.17
D.34
π
3,则sin2α=(
)
9、若cos(4–α5)=
A.
7
B.
1
1
7
25
5
C.–
D.–
5
25
10、从区间[0,1]随机抽取
2n个数x1,x2,,xn,y1,y2,,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn),其
.
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中两数的平方和小于
1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(
)
4n
2n
4m
2m
A.m
B.m
C.n
D.n
2
2
11、已知
、F是双曲线E:
x2
y
2
M在E上,MF1
与x轴垂直,sin∠MF
1
F1
2
a
–
=1的左,右焦点,点
2F1=,则E的离心
b
3
率为(
)
3
A.2
B.2
C.3
D.2
12、已知函数
x+1
与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),...(xm,ym),则
f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x),若函数y=
x
m
(xi
yi)
(
)
i1
A.0
B.m
C.2m
D.4m
二、填空题:
本大题共
4小题,每小题5分
13、△ABC的内角A,B,C的对边分别为
4
5
,a=1,则b=___________.
a,b,c,若cosA=,cosC=
5
13
14、α、β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β。
(2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n。
(3)如果α∥β,m?
α,那么m∥β。
(4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有
____________________(填写所有正确命题的编号
)。
15、有三张卡片,分别写有
1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是
2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是
1”,丙说:
“我
的卡片上的数字之和不是
5”,则甲的卡片上的数字是
____________.
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线
y=ln(x+1)的切线,则b=__________.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、(本题满分
12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28。
记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大
整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1000项和.
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年
.
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度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
[]
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出
60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19、(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E、F分别在AD、CD
5
上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF位置,OD'=10.
4
(1)证明:
D'H⊥平面ABCD;
(2)求二面角B–D'A–C的正弦值.
x2y2
20、(本小题满分12分)已知椭圆E:
t+3=1的焦点在X轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,
M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
21、(本小题满分12分)
(1)讨论函数f(x)=
x–2
x
的单调性,并证明当
x>0时,(x–2)e
x
x+2
e
+x+2>0;
(2)证明:
当a∈[0,1)时,函数g(x)=
ex–ax–a
g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
2
(x>0)有最小值。
设
x
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
.
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22、(本小题满分10分)[选修4–1:
几何证明选讲]如图,在正方形ABCD中,E、G分别在边DA,DC上(不与端
点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(1)证明:
B,C,G,F四点共圆;
(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
23、(本小题满分10分)[选修4–4:
坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,
x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求
C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是
x=tcosα
(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.
y=tsinα
24、(本小题满分
1
1
10分)[选修4–5:
不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+
|,M为不等式f(x)<2的解集.
2
2
(1)求M;
(2)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
参考答案
.
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1、解析:
∴m+3>0,m–1<0,∴–3
2、解析:
B={x|(x+1)(x–2)<0,x∈Z}={x|–1
3、解析:
向量a+b=(4,m–2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0,解得m=8,故选D.
4、解析:
圆
x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为:
|a+4–1|
4
,
(x–1)2+(y–4)2=4,故圆心为(1,4),d=
=1,解得a=–
a2+1
3
故选A.
5、解析一:
E→F有6种走法,F→G有3
种走法,由乘法原理知,共
6×3=18种走法,故选
B.
解析二:
由题意,小明从街道的
E处出发到F处最短有C2条路,再从F处到G处最短共有
C1
条路,则小明到
4
3
老年公寓可以选择的最短路径条数为
C2·C1=18条,故选B。
4
3
6、解析:
几何体是圆锥与圆柱的组合体,
设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为
l,圆柱高为h.
由图得r=2,c=2πr=4π,由勾股定理得:
l=2
2
2
2
1
+(2
3)=4,S表=πr
+ch+cl=4π+16π+8π=28,故π选C.
2
π
π
π
7、解析:
由题意,将函数
y=2sin2x的图像向左平移
12
个单位得
y=2sin2(x+12)=2sin(2x+
6),则平移后函数的对
称轴为2x+
ππ
πkπ
=
+kπ,k∈Z,即x=+
,k∈Z,故选B。
6
2
6
2
8、解析:
第一次运算:
s=0×2+2=2,第二次运算:
s=2×2+2=6,第三次运算:
s=6×2+5=17,故选C.
π
3
,sin2
π
2π
7
,故选D.
α=cos(
9、解析:
∵cos(–α)=
2
–2α)=2cos(–α1=)–
4
5
4
25
解法二:
对
π
3
cos(
展开后直接平方
4–α5)=
解法三:
换元法
10、解析:
由题意得:
(xi,yi)(i=1,2,3,...,n)在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在如图的阴影中
.
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π/4m
4m
由几何概型概率计算公式知
=
n
,∴π=,故选C.
1
n
FF
FF
2
2
sinM
3
1
2
1
2
=sinF1–sinF2=
11、解析:
离心率e=MF2–MF1
,由正弦定理得
e=MF2–MF1
1=2.故选A.
1–
3
12、解析:
由
x+1
=1+
1
f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称,而y=
x
也关于(0,1)对称,
x
∴对于每一组对称点
xi+x'i=0,yi+y'i=2,
m
m
m
m
∴xi
yi
xi
yi
02
m,故选B.
i1
i1
i
1
2
4
5
3
12
63
,
13、解析:
∵cosA=
,cosC=
,sinA=
,sinC=
,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=
5
13
5
13
65
ba
21
由正弦定理:
sinB=sinA,解得b=13.
14、解析:
对于①,m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n//,所
以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c,则n∥c,因为m⊥α,∴m⊥c,∴m⊥n,故②正确;对于③,
由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.
15、解析:
由题意得:
丙不拿
(2,3),若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足;若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足;
故甲(1,3),
1
16、解析:
y=lnx+2的切线为:
y=x1
·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1)
1
1
y=ln(x+1)的切线为:
y=1
·x+ln(x2+1)–x2,∴
=
x1
x2+1
x2+1
x2+1
x2
lnx1+1=ln(x2+1)–
x2+1
1
1
1+1=1–ln2.
解得x1=
,x2=–。
∴b=lnx
2
2
a4–a1
17、解析:
(1)设{an}的公差为d,S7=7a4=28,∴a4=4,∴d=3=1,∴an=a1+(n–1)d=n.
∴b1=[lga1]=[lg1]=0,b11=[lga11]=[lg11]=1,b101=[lga101]=[lg101]=2.
(2)记{bn}的前n项和为Tn,则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+
...+[lga1000].
当0≤lga
时,n=1,2,
,9;当1≤lga<2n时,n=10,11,...
,99;当2≤lga<3n
时,n=100,101,...,999;
n<1
当lgan=3时,n=1000.∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893.
18、
(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,P(A)=1–P(A)=1–(0.30+0.15)=0.55.
.
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P(AB)0.10+0.05
3.
(2)设续保人保费比基本保费高出
60%为事件B,P(B|A)=P(A)=
0.55
=11
⑶解:
设本年度所交保费为随机变量
X.
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1,.23a
∴平均保费与基本保费比值为1.23.
5AECF
19、解析:
(1)证明:
如下左1图,∵AE=CF=,∴=,∴EF∥AC.
4ADCD
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴EF⊥BD,∴EF⊥DH,∴EF⊥D'H.
AE
2
2
2
∵AC=6,∴AD=3;又AB=5,AO⊥OB,∴OB=4,∴OH=
·OD=1,∴DH=D'H=3,∴|OD'|=|OH|
+|D'H|
,∴D'H⊥OH.
AO
又∵OH∩EF=H,∴D'H⊥面ABCD.
5
5
=
15
(2)方法一、几何法:
若AB=5,AC=6,则AO=3,B0=OD=4,∵AE=
,AD=AB=5,∴DE=5–
,
4
4
4
DEEHDH15/43
9
9
,DH=3,OH=4–3=1,
∵EF∥AC,∴
===
=
,∴EH=
,EF=2EH=
ADACOD5
4
4
2
∵HD’=DH=3,OD’=22,∴满足
2
2
2
,则△OHD’为直角三角形,且
OD’⊥OH,
HD’
=OD’+OH
即OD’⊥底面ABCD,即OD’是五棱锥D’ABCFE–的高.
9
底面五边形的面积
1
(EF+AC)OH·1
(2+6)×1
21
=
69
S=×ACOB+·
2
=×6×4+
2
=12+
4
4
,
2
2
1
169
23
2
则五棱锥D’ABCFE–体积V=
S·OD’=××22=
2
.
3
3
4
方法二、向量法。
建立如下左2图坐标系H–xyz.B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,–3,0),∴向量AB=(4,3,0),AD'=(–1,3,3),AC=(0,6,0),
x=3
n1·AB=04x+3y=0
设面ABD'法向量n1=(x,y,z),由n1·AD'=0得
–x+3y+3z=0,取y=–4,∴n1=(3,–4,5).