计量经济学第四章非线性回归模型的线性化.docx
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计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
第四章非线性回归模型的线性化
以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如
yt=0+1
+ut
yt=0
+ut
上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估量参数的。
可采纳非线性方式进行估量。
估量进程超级复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
运算机的显现大大方便了非线性回归模型的估量。
专用软件使这种计算变得超级容易。
但本章不是介绍这种模型的估量。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但能够通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估量与查验方式进行处置。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的能够线性化的非线性模型。
可线性化的模型
⑴指数函数模型
yt=
b>0和b<0两种情形的图形别离见图和。
显然xt和yt的关系是非线性的。
对上式等号双侧同取自然对数，得
Lnyt=Lna+bxt+ut
令Lnyt=yt*,Lna=a*,则
yt*=a*+bxt+ut
变量yt*和xt已变换成为线性关系。
其中ut表示随机误差项。
图yt=
（b>0）图yt=
（b<0）
⑵对数函数模型
yt=a+bLnxt+ut
b>0和b<0两种情形的图形别离见图和。
xt和yt的关系是非线性的。
令xt*=Lnxt,则
yt=a+bxt*+ut
变量yt和xt*已变换成为线性关系。
图yt=a+bLnxt+ut,（b>0）图yt=a+bLnxt+ut,（b<0）
⑶幂函数模型
yt=axtb
b取不同值的图形别离见图和。
xt和yt的关系是非线性的。
对上式等号双侧同取对数，得
Lnyt=Lna+bLnxt+ut
令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,那么上式表示为
yt*=a*+bxt*+ut
变量yt*和xt*之间已成线性关系。
其中ut表示随机误差项。
式也称作全对数模型。
图yt=axtb
图yt=axtb
⑷双曲线函数模型
1/yt=a+b/xt+ut
也可写成，
yt=1/（a+b/xt+ut）
b>0情形的图形见图。
xt和yt的关系是非线性的。
令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得
yt*=a+bxt*+ut
已变换为线性回归模型。
其中ut表示随机误差项。
图yt=1/（a+b/xt）,（b>0）图yt=a+b/xt,（b>0）
双曲线函数还有另一种表达方式，
yt=a+b/xt+ut
b>0情形的图形见图。
xt和yt的关系是非线性的。
令xt*=1/xt，得
yt=a+bxt*+ut
上式已变换成线性回归模型。
例（P139，例
⑸多项式方程模型
一种多项式方程的表达形式是
yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut
其中b1>0,b2>0,b3>0和b1<0,b2>0,b3<0情形的图形别离见图和。
令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变成
yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut
这是一个三元线性回归模型。
如经济学中的总本钱曲线与图相似。
图yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut图yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut
另一种多项式方程的表达形式是
yt=b0+b1xt+b2xt2+ut
其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的图形别离见图和。
令xt1=xt，xt2=xt2，上式线性化为，
yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut
如经济学中的边际本钱曲线、平均本钱曲线与图相似。
图yt=b0+b1xt+b2xt2+ut图yt=b0+b1xt+b2xt2+ut
例（P141例）
⑹生长曲线（logistic）模型
yt=
一样f（t）=a0+a1t+a2t2+…+antn，常见形式为f（t）=a0-at
yt=
=
其中b=
。
a>0情形的图形别离见图和。
美国人口统计学家Pearl和Reed普遍研究了有机体的生长，取得了上述数学模型。
生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）经常使用于描述有机体生长发育进程。
其中k和0别离为yt的生长上限和下限。
=k,
=0。
a,b为待估参数。
曲线有拐点，坐标为（
），曲线的上下两部份对称于拐点。
图yt=k/（1+
）图yt=k/（1+
）
为能运用最小二乘法估量参数a,b，必需事前估量诞生曲线长上极限值k。
线性化进程如下。
当k给出时，作如下变换，
k/yt=1+
移项，k/yt-1=
取自然对数，Ln（k/yt-1）=Lnb-at+ut
令yt*=Ln（k/yt-1）,b*=Lnb,那么
yt*=b*-at+ut
现在可用最小二乘法估量b*和a。
图内地5月1日至28日天天非典数据一览
⑺龚伯斯（Gompertz）曲线
英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为操纵人口增加的一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的进展进程。
曲线的数学形式是，
yt=
图yt=
曲线的上限和下限别离为k和0，
=k,
=0。
a,b为待估参数。
曲线有拐点，坐标为（
），但曲线不对称于拐点。
一样情形，上限值k可事前估量，有了k值，龚伯斯曲线才能够用最小二乘法估量参数。
线性化进程如下：
当k给按时，
yt/k=
，k/yt=
Ln（k/yt）=
，Ln[Ln（k/yt）]=Lnb-at
令y*=Ln[Ln（k/yt）],b*=Lnb，那么
y*=b*-at
上式可用最小二乘法估量b*和a。
⑻Cobb-Douglas生产函数
下面介绍柯布−道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数。
其形式是
Q=kLαC1-α
其中Q表示产量；L表示劳动力投入量；C表示资本投入量；k是常数；0<α<1。
这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯依照1899-1922年美国关于生产方面的数据研究得出的。
α的估量值是，β的估量值是。
更适应的表达形式是
yt=
这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估量，但可先作线性化处置。
上式两边同取对数，得：
Lnyt=Lnβ0+β1Lnxt1+β2Lnxt2+ut
取yt*=Lnyt,β0*=Lnβ0,xt1*=Lnxt1,xt2*=Lnxt2，有
yt*=β0*+β1xt1*+β2xt2*+ut
上式为线性模型。
用OLS法估量后，再返回到原模型。
假设回归参数
β1+β2=1，称模型为规模报酬不变型（新古典增加理论）；
β1+β2>1，称模型为规模报酬递增型；
β1+β2<1，称模型为规模报酬递减型。
关于对数线性模型，Lny=Lnβ0+β1Lnxt1+β2Lnxt2+ut，β1和β2称作弹性系数。
以β1为例，
β1=
=
=
=
可见弹性系数是两个变量的转变率的比。
注意，弹性系数是一个无量纲参数，因此便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。
关于线性模型，yt=α0+α1xt1+α2xt2+ut，α1和α2称作边际系数。
以α1为例，
α1=
通过比较和式，可知线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。
例（136P例）略
非线性化模型的处置方式
模型：
不管通过什么变换都不可能实现线性化，关于这种模型称为非线性化模型。
可采纳高斯—牛顿迭代法进行估量，即将其展开泰勒级数后，再进行迭代估量方式进行估量。
一、迭代估量法
思想是：
通过泰勒级数展开，先使非线性方程在某组初始参数估量值周围线性化，然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新的参数估量值。
下一步是使非线性方程在新参数估量值周围线性化，对新的线性方程再应用OLS法，又得出一组新的参数估量值。
不断重复上述进程，直至参数估量值收敛时为止。
其步骤如下。
1）对模型：
在给定的参数初始值b10,b20…bp0展开泰勒级数：
取前两项，便有线性近似：
2）将上式左端看成组新的因变量，将右端
看成一组新的自变量，这就已经成为标准线性模型，再对其就用OLS法，得出一组估量值
。
3）重复第一、二步，在参数估量值
周围再做一次泰勒级数展开，取得新的线性模型，应用OLS法，又得出一组参数估量值：
。
4）如此反复，得出一组点序列
直到其收敛为止。
二、迭代估量法的EViews实现进程
1）设定代估参数的初始值，方式有两种：
A、利用Param命令设定，
例如，Param12030那么将待估的三个参数的初始值设成了，0，0.
B、在工作文件窗口中双击序列C，并在序列窗口直接输入参数的初始值。
2）估量参数
A、命令方式
在命令窗口能够直接键入非线性模型的迭代估量命令NLS。
格式为：
NLS被说明变量，=非线性函数表达式
例如，关于非线性回归模型
估量命令为
NLSy=c
（1）*（x-c
（2））/（x-c（3））
B、菜单方式。
在数组窗口“procs→makeepuation；
在弹出的方程描述对话框中输入非线性回归模型的具体形式；
y=c
（1）*（x-c
（2））/（x-c（3））
选择估量方式为最小二乘法后单击（OK）
例（P146例略
回归模型的比较
当经济变量呈现非线性关系时，常常能够采纳多个不同数学形式的非线性模型。
如何选择？
一、图开观看分析
1）观看被说明变量和说明变量的趋势图。
2）观看被说明变量和说明变量的相关图
二、模型估量结果分析
1）回归系数符号和大小是不是符合经济意义，
2）改变模型后，是不是使决定系数的值明显提高。
3）T查验与F查验。
3、残差分析
残差反映了模型未能说明部份的转变情形。
1）残差散布表中，各期残差是不是多数落在
的虚线内。
2）残差散布是不是具有某种规律性。
3）近期的残差分析情形。
例1：
此模型用来评判台湾农业生产效率。
用台湾1958-1972年农业生产总值（yt），劳动力（xt1），资本投入（xt2）数据（见表）为样本得估量模型，
=+Lnxt1+Lnxt2
R2=,F=
还原后得，
=
因为+=，因此，此生产函数属规模报酬递增函数。
当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%。
例2：
用天津市工业生产总值（Yt），职工人数（Lt），固定资产净值与流动资产平均余额（Kt）数据（1949-1997）为样本得估量模型如下：
LnYt=+Lt+LnKt
R2=,.=,DW=,F=
因为+=，因此此生产函数大体属于规模报酬不变函数。
例3：
硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自《数理统计与治理》,）
某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。
经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。
阻碍透明度的要紧金属杂质是铁、钙、铅、镁等。
通过正交实验的方式发觉铁是阻碍硫酸透明度的最要紧缘故。
测量了47个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（x）的散点图如下（file:
nonli01）：
（1）y=-x
R2=,.=,F=32
（2）1/y=-（1/x）
R2=,.=,F=142
（3）y=+（1/x）
R2=,.=,F=266
（4）Lny=+（1/x）
R2=,.=,F=468
还原，Lny=Ln+（1/x）
y=
（5）非线性估计结果是y=
R2=,
EViews命令Y=C
（1）*EXP（C
（2）*（1/X））
例4中国铅笔需求预测模型（非线性模型案例，file:
nonli6）
中国从上个世纪30年代开始生产铅笔。
1985年全国有22个厂家生产铅笔。
产量居世界首位（亿支），占世界总产量的1/3。
改革开放以后，铅笔生产增加极为迅速。
1979-1983年平均年增加率为%。
铅笔销售量时刻序列见图。
1961-1964年的销售量平稳状态是受到了经济收缩的阻碍。
文革期间销售量显现两次下降，是受到了那时政治因素的阻碍。
1969-1972年的增加是由于一度中断了的中小学教育慢慢恢复的结果。
1977-1978年的增加是由于高考正式恢复的结果。
1981年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击专门大。
1979-1985年的缓慢增加是受到了自动铅笔上市的阻碍。
初始确信的阻碍铅笔销量的因素有全国人口、各类在校人数、设计人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价钱因素、原材料供给量、政策因素等。
通过量次挑选、组合和慢慢回归分析，最后确信的被说明变量是yt（铅笔年销售量，万万支）；说明变量别离是xt1（自动铅笔年产量，百万支）；xt2（全国人口数，百万人）；xt3（居民年均消费水平，元）；xt4（政策变量）。
因政策因素阻碍铅笔销量显现大幅下降时，政策变量取负值。
例如1967、1968年的xt4值取-2，196六、1969-197一、1974-1977年的xt4值取-1）。
由图知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系。
由图知全国人口与铅笔销量存在线性关系。
说明人口越多，对铅笔的需求就越大。
由图知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数的关系。
散点图说明居民年均消费水平越高，那么铅笔销量就越大。
但这种增加随着居民消费水平的增加变得愈来愈缓慢。
图显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系。
铅笔销售量时刻序列（1961-1985）（文件名nonli6）
Y,X1散点图Y,X2散点图
Y,X3散点图Y,X4散点图
基于上述分析成立的模型形式是
yt=β0+β1xt1+β2xt2+β3Ln（xt3）+β4xt4+ut
yt与xt3呈非线性关系。
估量结果如下。
=-xt1+xt2+Lnxt3+xt4
R2=,DW=,F=429,.=
上式说明，在上述期间自动铅笔年产量每增加1百万支，平均使铅笔的年销售量减少2950万支。
全国人口数每增加1百万人，平均使铅笔的年销售量增加310万支。
对数的居民年均消费水平每增加1个单位，平均使铅笔的年销售量增加17亿支。
一样性政策负面变更使铅笔的年销售量减少亿支。
当政策显现大的负面变更时，铅笔的年销量会减少亿支。
当yt对所有变量都进行线性回归时（见下式），显然估量结果不如式好。
=-xt1+xt2+xt3+xt4
R2=,DW=,F=346,.=
案例5：
厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003，file:
bank08）
数据和散点图如下。
从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。
Loant=β0+β1GDPt+β2GDPt2+β3xt3+ut
t=+GDPt-2+GDPt3
R2=,DW=
例6钉螺存活率曲线（file:
nonli3）（生长曲线模型）
在冬季土埋钉螺的研究中，先把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月掏出部份钉螺，检测存活个数，计算存活率。
数据见表。
散点图见图。
yt,存活率（%）
t,土埋月数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设定yt的上渐近极限值k=101（因为已有观测值yt=100，因此令k=101更好些。
），得估量结果如下：
估量式是：
=+t
R2=
因为log=，因此b=。
那么逻辑函数的估量结果是
=
当t=时，
=
=
Y
YF
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