新版北师大版数学九年级下册教案全.docx
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新版北师大版数学九年级下册教案全
第一章直角三角形的边角关系
第1课时
§1.1.1锐角三角函数
教学目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：
理解正切函数的定义
难点：
理解正切函数的定义
教学过程设计
Ø
从学生原有的认知结构提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
Ø师生共同研究形成概念
1、梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；
2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；
3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；
通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）
☆想一想书本P2想一想
通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、
正切函数
（1）明确各边的名称
（2）
（3）明确要求：
1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
☆巩固练习
a、如图，在△ACB中，∠C=90°，
1）tanA=；tanB=；
2）若AC=4，BC=3，则tanA=；tanB=；
3）若AC=8，AB=10，则tanA=；tanB=；
b、如图，在△ACB中，tanA=。
（不是直角三角形）
（4）tanA的值越大，梯子越陡
4、讲解例题
例1图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：
通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。
这是上述结论的直接应用。
例2如图，在△ACB中，∠C=90°，AC=6，
，求BC、AB的长。
分析：
通过正切函数求直角三角形其它边的长。
Ø随堂练习
5、书本P4随堂练习
Ø小结
正切函数的定义。
Ø作业
书本P4习题1.11、2、4。
第2课时
§1.1.2锐角三角函数
教学目标
5、经历探索直角三角形中边角关系的过程
6、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
7、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
8、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：
理解正弦、余弦函数的定义
难点：
理解正弦、余弦函数的定义
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。
✧复习正切函数
Ø师生共同研究形成概念
6、引入
书本P7顶
7、
正弦、余弦函数
，
☆巩固练习
c、如图，在△ACB中，∠C=90°，
1）sinA=；cosA=；sinB=；cosB=；
2）若AC=4，BC=3，则sinA=；cosA=；
3）若AC=8，AB=10，则sinA=；cosB=；
d、如图，在△ACB中，sinA=。
（不是直角三角形）
8、三角函数
锐角∠A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数。
9、梯子的倾斜程度
sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越大，梯子越陡
10、讲解例题
例3如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，
，求BC的长。
分析：
本例是利用正弦的定义求对边的长。
例4
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，
，求AB的长及sinB。
分析：
通过正切函数求直角三角形其它边的长。
Ø随堂练习
11、书本P随堂练习
Ø小结
正弦、余弦函数的定义。
Ø作业书本P6习题1、2、3、4、5
第3课时
§1.230°、45°、60°角的三角函数值
教学目标
9、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义
10、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
11、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小
教学重点和难点
重点：
进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
难点：
记住30°、45°、60°角的三角函数值
教学过程设计
Ø从学生原有的认知结构提出问题
上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。
Ø师生共同研究形成概念
12、引入
书本P8引入
本节利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值，并利用这些值进行一些简单计算。
13、30°、45°、60°角的三角函数值
通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。
度数
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。
14、讲解例题
例5计算：
（1）sin30°+cos45°；
（2）
；
（3）
；（4）
。
分析：
本例是利用特殊角的三角函数值求解。
例6填空：
（1）已知∠A是锐角，且cosA=
，则∠A=°，sinA=；
（2）已知∠B是锐角，且2cosA=1，则∠B=°；
（3）已知∠A是锐角，且3tanA
=0，则∠A=°；
例7一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
分析：
本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。
例8在Rt△ABC中，∠C=90°，
，求
，∠B、∠A。
分析：
本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。
Ø随堂练习
15、书本P9随堂练习
Ø小结
要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。
Ø作业
书本P9习题1.31、2、3、4、
§1.3三角函数的有关计算
教学目标：
1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义．
2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
教学重点
1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义．
2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算．
教学难点
把实际问题转化为数学问题
教学过程：
一、导入新课
生活中有许多问题要运用数学知识解决。
本节课我们共同探讨运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题—§1.3、三角函数的有关计算
二、讲授新课
引入问题1：
会当凌绝顶，一览众山小，是每个登山者的心愿。
在很多旅游景点，为了方便游客，设立了登山缆车。
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了
200m，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角
。
那么缆车垂直上升的距离是多少?
分析：
在Rt△ABC中，∠α＝30°，AB=200米，需求出BC.
根据正弦的定义，sin30°=
∴BC＝ABsin30°＝200×
=100（米）.
引入问题2：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝45°，由此你能想到还能计算什么?
分析：
有如下几种解决方案：
方案一：
可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.
方案二：
可以计算缆车从A点到D点，垂直上升的高度、水平移动的距离.
三、变式训练，熟练技能
1、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高.（sin40°≈0.6428，结果精确到0.01m）
解：
如图，根据题意，可知
BC=300m，BA=100m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°≈300×0.6428＝192.84（m）；
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°=100×
=50（m）.
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8（m）.
2、求图中避雷针的长度。
（参考数据：
tan56°≈1.4826，tan50°≈1.1918）
解：
如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56°≈20×1.4826＝29.652（m）；
在Rt△CBA中，CB=ABtan50°≈20×1.1918=23.836（m）.
所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82（m）.
四、合作探究
随着人民生活水平的提高，
农用小轿车越来越多，为了交
通安全，某市政府要修建10m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道．（如图所示）。
这条斜道的倾斜角是多少？
探究1：
在Rt△ABC中，BC＝m，AC＝m，
sinA＝＝．
探究2：
已知sinA的值，如何求出∠A的大小？
请阅读以下内容，学会用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小．
已知三角函数求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和2ndf键．
探究3：
你能求出上图中∠A的大小吗？
解：
sinA＝
＝．（化为小数），
三、巩固训练
1、如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的大小．（结果精确到1°）
2、如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度．
3、某段公路每前进1000米，路面就升高50米，求这段公路的坡角．
4、一梯子斜靠在一面墙上．已知梯长4m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m，求梯子与地面所成的锐角．
五、随堂练习：
P,141、2、3、4、
六、作业：
p151至6题
§1.4解直角三角形
一、教学目标
1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。
2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.
3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．
二、教学重点及难点
教学重点：
掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形
教学难点：
锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用
三、教学用具准备
黑板、多媒体设备.
四、教学过程设计
一、创设情景
引入新课：
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面的夹角是30°。
大树在折断之前高多少米？
由30°直角边等于斜边的一半就可得AB=6米。
分析树高是AB+AC=9米。
由勾股定理容易得出BC的长为3米。
当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。
二、知识回顾
问题：
1．在一个三角形中共有几条边？
几个内角?
（引出“元素”这个词语）
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
讨论复习
师白：
Rt△ABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？
总结：
直角三角形的边、角关系（板书）（PPT）
（1）两锐角互余∠A＋∠B＝90°；
（2）三边满足勾股定理a2＋b2＝c2；
（3）边与角关系
三、学习新课
１、例题分析
例题1 在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.
分析：
如图，本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.
（板书）解：
∵∠C=900∴∠A+∠B=900
∴∠A=900－∠B=900－380=520
∵cosB=
∴c==
∵tanB=
∴b=atanB=8tan380≈6.250
另解：
∵cotB=∴b=
注意:
在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.
２.学习概念
定义：
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
３．例题分析
例题2 在Rt△ABC中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.
分析：
本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.
（板书）解：
∵∠C=900，∴a2＋b2＝c2
∴b=
∵sinA=
∴∠A4600′
∴∠B=900－∠A≈900－4600′=4400′.
例题3（见教材p16）
注意:
在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′。
4、学会归纳
通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几个元素,才能求出其他元素？
想一想：
如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？
如果只知道五个元素中的一个元素,能够全部求出其他元素吗?
归纳结论：
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素.
[说明]我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？
激发了学生的学习热情．
5、请找出题中的错误，并改正
已知:
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,由下列条件,解直角三角形:
（结果保留根号）
§1.5三角函数的应用
教学目标：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
教学重点：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点：
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学用具：
小黑板三角板
教学方法：
探索——发现法
教学过程一、问题引入：
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
你是如何想的?
与同伴进行交流.
二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?
（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？
楼梯多占多长一段地面?
（结果精确到0.0lm）
【作业设计】1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?
2．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响.
（1）问：
B处是否会受到台风的影响?
请说明理由.
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
（供选用数据：
≈1.4，
≈1.7）
【板书设计】
三角函数的有关计算
提出问题：
如何三角函数值，求相应的锐角．例触礁问题随堂练习
讲解科学计算器的应用．例楼梯问题课堂小结
课堂作业
§1.6利用三角函数测高
教学目标
知识与技能目标
能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
过程与方法目标
经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
情感与价值观要求
通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
教学重点、难点
设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养。
教具准备
自制测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具.
教学过程
提出问题，引入新课
现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题.请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器?
有何用途?
如何制作一个测角仪？
它的工作原理是怎样的？
活动一：
设计活动方案，自制仪器
首先我们来自制一个测倾器（或测角仪、经纬仪等）.一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器.
制作测角仪时应注意什么?
支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下.
一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤）
活动二：
测量倾斜角
（1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.
（2）.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M的仰角.
问题1、它的工作原理是怎样的？
如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠ECB=
90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA＝∠MCE.因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数.
问题2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢?
和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角.
活动三：
测量底部可以到达的物体的高度.
“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：
（如下图）
1.在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.
3.量出测倾器（即测角仪）的高度AC＝a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）.根据测量数据，就能求出物体MN的高度.
在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=
，即ME=tana·EC＝l·tanα.
又因为NE＝AC＝a，所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a.
活动四：
测量底部不可以到达的物体的高度.
所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.
可按下面的步骤进行（如图所示）：
1.在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪（A、B与N都在同一条直线上），此时测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测角仪的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB=b
根据测量的AB的长度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系.即可求出MN的高度。
在Rt△MEC中，∠MCE＝α，则tanα＝
，EC=
；
在Rt△MED中，∠MDE＝β则tanβ＝
，ED＝
；
根据CD＝AB＝b，且CD＝EC-ED=b.所以
-
=b,ME=
MN=
+a即为所求物体MN的高度.
今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并研讨了测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大.
归纳提炼
本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中，想办法.献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与
到其中.
课后作业
制作简单的测角仪
活动与探究
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得。
从A、D、C三点可看到塔顶端H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾器（即测角仪）.
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不计）
（2）根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG（用字母表示）,I
方案1：
（1）如图（a）（测四个数据）
AD＝m.CD＝n，∠HDM＝α,∠HAM＝β
（2）设HG＝x，HM＝x-n，
在Rt△HDM中，tanα
DM=
在Rt△HAM中，tanα
DM=
∵AM-DM＝AD，
∴
-
=m,
x=
+n.
方案2：
（1）如图（b）（测三个数据）CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ.
（2）设HG＝x，HM＝x-n，
在Rt△CHG中，tanγ=
CG=
在Rt△HDM中，tanα
DM=
∵CG＝DM.∴
=
x=
第二章二次函数
2.1二次函数所描述的关系
教学目标：
1.理解二次函数的概念；
2.能够表示简单变量之间的二次函数的关系。
知识回顾：
1、正比例函数的表达式为一次函数
反比例函数表达式为。
2、某果园有100棵橙子树
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