最新高一数学必修1各章知识点总结1优秀名师资料.docx
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高一数学必修1各章知识点总结-1
高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集
合
3.集合的表示:
{…}如:
{我校的篮球队员}~{太平洋,大
西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集,即自然数集,记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1,列举法:
{a,b,c……}
2,描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来~写在大
括号内表示集合的方法。
{x,R|x-3>2},{x|x-3>2}
3,语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}4,Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
2(3)空集不含任何元素的集合例:
{x|x=,5,
二、集合间的基本关系
1.‚包含?
关系—子集
注意:
有两种可能,1,A是B的一部分~,,2,A与B是A,B
同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作,,,,AB或BA
2(‚相等?
关系:
A=B(5?
5~且5?
5~则5=5)
2实例:
设A={x|x-1=0}B={-1,1}‚元素相同则两集合
相等?
即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A
?
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集~
B(或BA)记作A
?
如果A,B,B,C,那么A,C
?
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集~记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集~空集是任何非空集合的真子
集。
nn-1,有n个元素的集合~含有2个子集~2个真子集三、集合的运算
运交集并集补集算
类
型
定由所有属于由所有属于设S是一个集
A集合~A义且合A是S
属或的一
于属个子
B于集~
的集由S
元合B中所
素的有不
所元属于
组素A的
成所元素
的组组成
集成的集
合的合~
集叫做
叫合~S中
做叫子集
A,做A的
BA,B补集
的的,或
交并余
集集集,
((记
记作:
作A:
AB记作~即CAS:
B读
S,作A读‘ACA=S作并
‘B’,{x|x,S,且x,A}
A~即
交A:
B’B
~={x
即|x,
AA~
或:
B=xB,
})(
x|
x
A~
且
x
B,
(
AABB
S
A图2图1韦
恩
图
示
性AA=AA=AA)(CB)A(C:
:
:
uu
AΦ=ΦAΦ=A=C(AB):
:
:
u
AB=BAAB=BA(CA)(CB):
:
:
:
:
uu
ABAAB,=C(AB):
:
:
u
ABBABBA(CA)=U:
:
:
u质
A(CA)=:
u
Φ(
例题:
1.下列四组对象~能构成集合的是
,
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D
倒数等于它自身的实数
2.集合{a~b~c}的真子集共有个
23.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x?
0}~则M与N的关,
系是.
4.设集合A=~B=~若AB~则的取值范围是,axxa,xx12,,,,,,
5.50名学生做的物理、化学两种实验~已知物
理实验做得正确得有40人~化学实验
做得正确得有31人~
两种实验都做错得有4人~则这两种实验都做对的有
人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点,含边界上的点,组成的
集合M=.
227.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|22x-mx+m-19=0},若B?
C?
Φ~A?
C=Φ~求m的值
二、函数的有关概念
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集~如果按照某个确定
的对应关系f~使对于集合A中的任意一个数x~在
集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应~那么就
称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数(记作:
y=f(x)~x?
A(其中~x叫做自变量~x的取值范围
A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函
数值~函数值的集合{f(x)|x?
A}叫做函数的值域(注意:
1(定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定
义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零,
(2)偶次方根的被开方数不小于零,
(3)对数式的真数必须大于零,
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那
么~它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成
的集合.
(6)指数为零底不可以等于零~
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.,相同函数的判断方法:
?
表达式相同,与表示自变量和
函数值的字母无关,,?
定义域一致(两点必须同时
具备)
(见课本21页相关例2)
2(值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中~以函数y=f(x),(x?
A)中
的x为横坐标~函数值y为纵坐标的点P(x~y)的集
A)的图象(C上每一合C~叫做函数y=f(x),(x?
点的坐标(x~y)均满足函数关系y=f(x)~反过来~
以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点
(x~y)~均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4(区间的概念
1,区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间,2,无穷区间
3,区间的数轴表示(
5(映射
一般地~设A、B是两个非空的集合~如果按某一个确定的对
应法则f~使对于集合A中的任意一个元素x~在集
合B中都有唯一确定的元素y与之对应~那么就称
对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记,
作‚f,对应关系,:
A,原象,B,象,?
对于映射f:
A?
B来说~则应满足:
(1)集合A中的每一个元素~在集合B中都有象~并且象是唯
一的,
(2)集合A中不同的元素~在集合B中对应的象可以是同一个,(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集~值域是各段值域
的并集(
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u?
M),u=g(x)(x?
A),则y=f[g(x)]=F(x)(x?
A)
称为f、g的复合函数。
二(函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
1,增函数
设函数y=f(x)的定义域为I~如果对于定义域I内的某个区
间D内的任意两个自变量x~x~当xf(x)区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x~x~当x都有f(x),f(x)~那么就说f(x)在这个区间上是12
减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:
函数的单调性是函数的局部性质,
2,图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数~那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性~在单调
区间上增函数的图象从左到右是上升的~减函数的
图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
~x?
D~且x2作差f(x),f(x),12?
3变形,通常是因式分解和配方,,?
4定号,即判断差f(x),f(x)的正负,,12?
5下结论,指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性,(?
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)~y=f(u)
的单调性密切相关~其规律:
‚同增异减?
注意:
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单
调性相同的区间和在一起写成其并集.8(函数的奇偶性,整体性质,
1,偶函数
一般地~对于函数f(x)的定义域内的任意一个x~都有f(,
x)=f(x)~那么f(x)就叫做偶函数(
2,(奇函数
一般地~对于函数f(x)的定义域内的任意一个x~都有f(,
x)=—f(x)~那么f(x)就叫做奇函数(,3,具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称(利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域~并判断其是否关于原点对称,?
2确定f(,x)与f(x)的关系,?
3作出相应结论:
若f(,x)=f(x)或f(,x),f(x)=0~?
则f(x)是偶函数,若f(,x)=,f(x)或f(,x),
f(x)=0~则f(x)是奇函数(
注意:
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条
件(首先看函数的定义域是否关于原点对称~若不
对称则函数是非奇非偶函数.若对称~
(1)再根据定
义判定;
(2)由f(-x)?
f(x)=0或f(x),f(-x)=?
1
来判定;(3)利用定理~或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式
1,.函数的解析式是函数的一种表示方法~要求两个变量
之间的函数关系时~一是要求出它们之间的对应法
则~二是要求出函数的定义域.
2,求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10(函数最大,小,值,定义见课本p36页,
1利用二次函数的性质,配方法,求函数的最大,小,值?
2利用图象求函数的最大,小,值?
3利用函数单调性的判断函数的最大,小,值:
?
如果函数y=f(x)在区间[a~b]上单调递增~在区间[b~c]上
单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b),如果函数y=f(x)在区间[a~b]上单调递减~在区间[b~c]上
单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b),例题:
1.求下列函数的定义域:
2x,1xx,,2152?
?
y,,1()y,x,1x,,33
22.设函数的定义域为~则函数的定义域为__fx()[]01,fx()
3.若函数的定义域为~则函数的定义域是fx
(1),fx(21),[],23,
xx,,,2
(1),,4.函数~若~则=x2fx()3,fxxx()(12),,,,,,2
(2)xx,,
5.求下列函数的值域:
22?
?
x,[1,2]yxx,,,23yxx,,,23()xR,
2(3)(4)yxx,,,12yxx,,,,45
26.已知函数~求函数~的解析式fx()fx(21),fxxx
(1)4,,,
7.已知函数满足~则=。
fx()fx()2()()34fxfxx,,,,
38.设是R上的奇函数~且当时,,则当fx()fxxx()
(1),,x,,,[0,)
时fx()=x,,,(,0)
在R上的解析式为fx()
9.求下列函数的单调区间:
222?
?
?
yxx,,,61yxx,,,,23yxx,,,23
310.判断函数的单调性并证明你的结论(y,,x,1
21,x111.设函数判断它的奇偶性并且求证:
(f(x),f(),,f(x)21,xx
第二章基本初等函数
一、指数函数
一,指数与指数幂的运算
n1(根式的概念:
一般地~如果~那么叫做的次方根~xanx,a*其中>1~且?
(nnN
n,负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0~记作。
0,0
a(a,0),nnnna,|a|,当是奇数时~~当是偶数时~nna,a,,a(a,0),
2(分数指数幂
正数的分数指数幂的意义~规定:
mm,11nm**nn~a,a(a,0,m,n,N,n,1)a,,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana
0的正分数指数幂等于0~0的负分数指数幂没有意义3(实数指数幂的运算性质
rrr,saa,a,1,〃
(a,0,r,s,R)
rsrs(a),a,2,,(a,0,r,s,R)
rrs(ab),aa,3,
(a,0,r,s,R)(
二,指数函数及其性质
x1、指数函数的概念:
一般地~函数叫做指数y,a(a,0,且a,1)
函数~其中x是自变量~函数的定义域为R(
注意:
指数函数的底数的取值范围~底数不能是负数、零和1(
2、指数函数的图象和性质
a>1066
55
44
33221111
-4-2246-4-224600-1-1定义域R定义域R值域y,0值域y,0在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点,0~1,函数图象都过定点,0~1,
注意:
利用函数的单调性~结合图象还可以看出:
x,1,在[a~b]上~值域是[f(a),f(b)]f(x),a(a,0且a,1)
或,[f(b),f(a)]
2,若~则,取遍所有正数当且仅当f(x),1f(x)x,0
x,R,x,3,对于指数函数~总有f
(1),a,f(x),a(a,0且a,1)二、对数函数
一,对数
x1(对数的概念:
一般地~如果~那么数叫(a,0,a,1)xa,N
做以为底的对数~记作:
—底数~x,logNaaNa(((—真数~—对数式,logNNa
说明:
1注意底数的限制~且,a,0a,1?
x2,a,N,logN,x?
a
logNa3注意对数的书写格式(?
两个重要对数:
1常用对数:
以10为底的对数,lgN?
2自然对数:
以无理数为底的对数的对数(e,2.71828?
lnN?
指数式与对数式的互化
幂值真数
b,N,blogN,aa
底数
指数对数
二,对数的运算性质
如果~且~~~那么:
a,0a,1M,0N,01?
〃,,log(MN),logMlogNaaa
M2?
,logMlogNlog,aaaN
n3?
logM(n,R)(logM,naa
注意:
换底公式
logbclogb,,~且,~且,,(a,0a,1c,0c,1b,0alogac
利用换底公式推导下面的结论
1nn,1,,,2,(logb,logb,logbmaaalogamb,二,对数函数
1、对数函数的概念:
函数~且叫做对数函y,logx(a,0a,1)a
数~其中是自变量~函数的定义域是,0~+?
(x
注意:
1对数函数的定义与指数函数类似~都是形式定义~?
x注意辨别。
如:
~都不是对数函数~y,2logxlog2y,55而只能称其为对数型函数(2对数函数对底数的限制:
(a,0~且a,1)(?
2、对数函数的性质:
a>10332.52.5221.51.511110.50.5-112345678-1123456780101-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域x,0定义域x,0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点,1~0,函数图象都过定点,1~0,
三,幂函数
1、幂函数定义:
一般地~形如的函数称为幂函数~y,x(a,R)
其中为常数(,
2、幂函数性质归纳(
1,所有的幂函数在,0~+?
都有定义并且图象都过点,1~
1,,
2,时~幂函数的图象通过原点~并且在区间上是[0,,,),,0
增函数(特别地~当时~幂函数的图象下凸,当,,1
时~幂函数的图象上凸,0,,,1
3,时~幂函数的图象在区间上是减函数(在第一(0,,,),,0
象限内~当从右边趋向原点时~图象在轴右方无yx
,,限地逼近轴正半轴~当趋于时~图象在轴上yxx
方无限地逼近轴正半轴(x
例题:
x1.已知a>0~a0~函数y=a与y=log(-x)的图象只能是a
()
4,log3log2232.计算:
?
;?
=,2,1log27,2log2553log6427=;25
1417,,03,0.75?
=3320.064,(,),[(,2)],16,0.018
23.函数y=log(2x-3x+1)的递减区间为1
2
4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍~[a,2a]f(x),logx(0,a,1)a
则a=
1,x5.已知~,1,求的定义域,2,求使的fx()fx()0,fxaa()log(01),,,且a1,x的取值范围x
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:
对于函数y,f(x)(x,D)~把使f(x),0成
y,f(x)(x,D)立的实数叫做函数的零点。
x
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数y,f(x)f(x),0
根~亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
y,f(x)x
有实数根函数的图象与轴有交点即:
方程f(x),0y,f(x),x
函数有零点(y,f(x),
3、函数零点的求法:
1,代数法,求方程的实数根,f(x),0?
2,几何法,对于不能用求根公式的方程~可以将它与函数?
的图象联系起来~并利用函数的性质找出零y,f(x)
点(
4、二次函数的零点:
2二次函数(y,ax,bx,c(a,0)
2,1,?
,~方程有两不等实根~二次函数的图ax,bx,c,0
象与轴有两个交点~二次函数有两个零点(x
五、教学目标:
2,2,?
,~方程有两相等实根~二次函数的图ax,bx,c,0
象与轴有一个交点~二次函数有一个二重零点或二x
2.正弦:
阶零点(
4.坡度:
如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度(或坡比)。
用字母i表示,即2,3,?
,~方程无实根~二次函数的图象与xax,bx,c,0
轴无交点~二次函数无零点(
(1)三角形的外接圆:
经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.5.函数的模型
②顶点坐标:
(,)收集数据
⑥等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
画散点图
⑥等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
不选择函数模型符
合实
1、20以内退位减法。
际
定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.(尺规作图)求函数模型
符合实际
(1)弧长公式:
弧长(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)用函数模型解释实际问题
检验