高考真题第十五篇计数原理.docx
《高考真题第十五篇计数原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考真题第十五篇计数原理.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高考真题第十五篇计数原理
高考真题第十五篇计数原理
、排列与组合
、二项式定理
排列与组合
排列与组合
、选择题
1.（2018全国卷∏）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果•哥
德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”如30723•在不超
过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
IIII
A.B.C.D.
12141518
2.（2017新课标∏）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人
完成，则不同的安排方式共有
A.12种B.18种C.24种D.36种
3.（2017山东）从分别标有1,2,,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取
4.
1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A.24B.18C.12D.9
5.（2016四川）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A.24B.48C.60D.72
6.（2015四川）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的
偶数共有
A.144个B.120个C.96个D.72个
7.（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周
日都有同学参加公益活动的概率为
1357
A.—B.—C.—D.-
8888
&（2014广东）设集合A=X1,X2,X3,X4,X5Xi{1,0,1},i1,2,3,4,5,那么集合A中
满足条件“1XX2X3X4X53”的元素个数为
A.60B.90C.120D.130
9.（2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共
有
A.24对B.30对C.48对D.60对
10.（2014福建）用a代表红球，b代表蓝球，C代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1
个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由1a1b的展开式1abab
表示出来，如：
“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，面“ab”用表示把
红球和篮球都取出来•以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红
球、从5个无区别的蓝球、
5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或
都不取出的所有取法的是
11.（2013山东）用0,1,…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A.243B.252C.261D.279
12.（2012新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会
实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A.12种B.10种C.9种D.8种
13.（2012浙江）若从1,2,3,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A.60种B.63种C.65种D.66种
14.（2012山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中
任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种
数是
A.232B.252C.472D.484
15.（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂
种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
固定.每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜
色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只
有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。
如果要实现所有不同的闪烁，
那么需要的时间至少是
A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒
18.（2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每
人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会
开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A.152B.126C.90D.54
、填空题
19.（2018全国卷I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，
则不同的选法共有—种.（用数字填写答案）
20.（2018浙江）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成—个没有重复数字的四位数.（用数字作答）
21.（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成
4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作
答）
22.（2017天津）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.（用数字作答）
23.（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那
么全班共写了条毕业留言.（用数字作答）
24（2014浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分
配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.
25.（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不
相邻，则不同的摆法有种.
26.（2014广东）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的
概率为.
27.（2014江西）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是.
28.（2013北京）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，
如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.
29.（2012湖北）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：
11,22,33,…，99.3位回文数有90个：
101,111,121,∙∙∙,191,202,∙∙∙,999.则
（I）4位回文数有个；
（∏）2n1（nN）位回文数有个.
30.
n4时，在所有不同的着色方案中,
给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当
黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个
黑色正方形相邻.的着色方案共有种，（结果用数值表示）
31.（2013新课标2）从n个正整数1,2,…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数
1
之和等于5的概率为一，则n=.
14
32.（2013浙江）将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且代B均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）.
33.（2010浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加身高与体重”、立定跳远”、肺活量”、
握力”、台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复•若上
午不测握力”项目，下午不测台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人•则不同的安排方式共有种（用数字作答）.
排列与组合
答案部分
1.C【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，从中
随机选取两个不同的数有Cfo种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的
31
有3对，所以所求概率P肓丄，故选C.
Cw15
2.D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，
只要把工作分成三份：
有C2种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式
共有c4a336种.故选D.
11
3.
C【解析】不放回的抽取2次有C9C89872,如图
405
概率为
728
4.B【解析】由题意可知EF有6种走法，FG有3种走法，由乘法计数原理知，共
有6318种走法，故选B.
5.D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，
有A3种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A4种方
14
法，所以其中奇数的个数为A3A472,故选D.
3
6.B【解析】据题意，万位上只能排4、5•若万位上排4,则有2A个；若万位上排5,
&D【解析】易知∣X1||X2||X3|∣X4||Xs|1或2或3,下面分三种情况讨论.其一:
∣xι∣|X21∣X3∣∣X4∣∣X5∣1,此时，从x1,x2,x3,x4,X5中任取一个让其等于1或-1,其余等于0,于是有C；C；10种情况；其二：
|人|∣X2∣∣X3∣∣X41∣X5∣
2,此时，从X1,X2,X3,X4,X5中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1,其余等于0,于是有2C；C；c240种情况；其三：
∣X1∣|X21∣X3∣∣X4∣∣X5∣3,此时，从X1,X2,X3,X4,X5中任取三个让其都等于
1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1,其余等于
0,于是有2c53C3c3c5C3"80种情况•由于104080130.
9•C【解析】直接法：
如图，在上底面中选
B1D1,四个侧面中的面对角线都与它成60,
共8对，同样AC1对应的也有8对,
有32对；左右侧面与前后侧面中共有
48对.
间接法：
正方体的12条面对角线中,
1
C
成角为60,所以成角为60的共有C1212648.
10.
个，…，5个，则有
A【解析】分三步：
第一步，5个无区别的红球可能取出0个,
2345
（Iaaaaa）种不同的取法；第二步，5个无区别的篮球都取出或都不取
出，则有（1b5）种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个
不同色的黑球任取0个，1个，…，5个，有（1C）5种不同的取法，所以所求的取法种
数为（1aa2a3a4a5）（1b5）（1c）5.
11.B【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900,能够组成无重复数字的三位数的
个数是9×9×8=648.故能够组成有重复数字的三位数的个数为900648252.
12.A【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到
乙地，共有c2c：
12种.
13.D【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
C：
c54C2Cf156066种取法.
1
14.C【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C4
c4c4=64,若2张同色，则有Cfc2C：
Ci144,若红色1张，其余2张不
1211112同色，则有C4C3C4C4192,其余2张同色则有C4C3C472,所以共有
64+144+192+72=472.
161514
另解1：
C364C：
C：
C；2167256088472,答案应选C
6
口Qo33121211101211
另解2：
C4C123C4C4C1212422026412472.
62
4
15.B【解析】B,D,E,F用四种颜色，则有A1124种涂色方法；B,D,E,F用三
种颜色，则有A322A3212192种涂色方法；B,D,E，F用两种颜色，则
2有A42248种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法.
4
16.B【解析】分两类：
一类为甲排在第一位共有A24种，另一类甲排在第二位共有
13
A3A318种，故编排方案共有241842种，故选B.
17.C.【解析】共有5!
=120个不同的闪烁，每个闪烁要完成5次闪亮需用时间为5秒，
共5120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5（120—1）=595秒。
那么需要的
时间至少是600+595=1195秒.
18.C【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，
因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：
（1）先从丙、丁、戊三人中任选
一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共
123
有C3C4A3种.
（2）先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：
其余三人从事其他三项工作，
共有C3A3种.所以，不同安排方案的种数是C3C4A3+C3A3=126（种）.故选C.
19.16【解析】通解可分两种情况：
第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有
12,,,21,
C2C412（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C2C44（种）.
根据分类加法计数原理知，至少有I位女生人选的不同的选法有16种.
3
优解从6人中任选3人，不同的选法有C620（种），从6人中任选3人都是男生，
3
不同的选法有C44（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16种）.
224
20.1260［解析】若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为C5C3A4；若取
的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为c2c3c3a3.综上，一共可以组成的
21.660【解析】分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C4C655种不
同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各一人，有a412种不同的选法，根
据分步乘法计数原理共有5512660种不同的选法.
1344
22.1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有C4C5A4个，没有偶数有A5个，所
以共有a4c4c3a41080个.
23.1560【解析】由题意A0：
156O,故全班共写了1560条毕业留言.
24.60【解析】分情况：
一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为c3C1a436；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A324,则获奖情况总共有36+24=60（种）.
邻，A、C不相邻的摆法由48-12=36.
4
28.
96［解析】5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法分给4个人有A4种
同，所以可以算出2n2位回文数的个数.2n2位回文数只用看前n1位的排列情
况，第一位不能为O有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为910n.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。
计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按
此规律推导S2n10S2n2,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这
十个数，因此S2n110S2n,则答案为910n.
30.2143【解析】n1,2,3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2,3,5,
8,由此可看出后一个总是前2项之和，故n5时应为5+8=13,n6时应为8+13=21;
n6时，所有的着色方案种数为NC6C6C6C6C6C6C664种，「•
至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有642143种.
21C
31.8【解析】由题意2,解得n8.
Cn14
5
32.480【解析】第一类，字母C排在左边第一个位置，有A5种；第二类，字母C排在左
边第二个位置，有A2A3种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有a2a3a2a3种，由对称性可知共有2（a5+a2a3+a2a3a2a3）=480种.
4
33.264【解析】上午的总测试方法有A24种，我们以AlBlClDlE依次代表五个测试
项目，若上午测试E的下午测试D,则上午测试A的下午只能测试B,C,此种测试方
法共有2种；若上午测试E的同学下午测试代B,C之一，则上午测试A,B,C中任何
一个的下午都可以测试D,安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故
共有339种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法原理，总的测
试方法共有2411264种.
二项式定理
2019年
1.（2019全国III理4）（1+2X）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A.12B.16C.20D.24
2.（2019浙江13）在二项式（J2X）9的展开式中，常数项是,系数为有理数的
项的个数是.
8
1
3.（2019天津理10）2X耳是展开式中的常数项为.
8x
2010-2018年
、选择题
2
（2018全国卷川）（X2）5的展开式中X4的系数为
X
项式系数和为
12
A.2
B.
211
C.
210
D.29
（2015陕西）
二项式（X1）n（nN）的展开式中
2
X的系数为15,则n
A.4
B.5
C.6
D.7
（2015湖南）
A.、、3B.,3
C.6
D.—6
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
、
16.
17.
18.
（2014浙江）在（1x）6（1y）4的展开式中，记Xmyn项的系数为f（m,n）,
填空题
（2018浙江）二项式（霞才）8的展开式的常数项是.
325432
（2017浙江）已知多项式（X1）（X2）=X&Xa2Xa3Xa4Xa5,则a4=
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
a5=
（2017山东）已知（13x）n的展开式中含有X2项的系数是54,则n
（2016年全国I）（2X、、X）5的展开式中，X3的系数是.（用数字填写答案）
5Q
（2015北京）在2X的展开式中，X3的系数为.（用数字作答）
4
（2015新课标2）（aX）（1X）的展开式中X的奇数次幕项的系数之和为32,
贝Ha=.
827
（2014新课标1）（Xy）（Xy）的展开式中Xy的系数为.（用数字填写答案）
107
（2014新课标2）Xa的展开式中，X7的系数为15,Ha=___.（用数字填写答案）
6
（2014山东）若aX2b的展开式中X3项的系数为20,Ha2b2的最小值为.
X
8
a4
（2013安徽）若X矿的展开式中X的系数为乙则实数a.
寸X
（2012广东）（X2I）Q的展开式中X3的系数为.（用数字作答）
X
52
（2012浙江）若将函数f（x）X表示为f（x）a0a1（1X）a2（1X）
∖∖∖a5（1X）5,其中a°,a1,a2,…，a5为实数，则a3
（2011浙江）设二项式（X亍）6（a0）的展开式中X3的系数为A,常数项为B,若
B=4A,则a的值是.
（2010安徽）（-^~^）Q展开式中，X’的系数等于
√yVx
二项式定理
答案部分
2019年
数的项的个数是5个.
2010-2019年
当r3时，x（2xy）5展开式中χ3y3的系数为c522
（1）340,
当r2时，y（2xy）5展开式中χ3y3的系数为Cl23
（1）280,
所以x3y3的系数为804040.选C.
r6rr42424
4.A【解析】通项Tr1C6Xi（r0,1,2,,6）,令r2,得含X的项为Cexi15x,
故选A.
所以CnCn,
5.D【解析】因为（1χ）n的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等,
的系数为一20,选A.
时n5最小.
∙∙∙X的系数为40.
r,,x、6rXrr2x（6r）Xrr12x3xr
15.C【解析】Tr1C6（4）
（2）C622C62,
令12x3xr0,则r4,所以T5C：
15,故选C
所以χ2的系数为C5（y5
常数项为c8
（2）27.
取r0,m1和r1,m0可得,
此时系数为10.
13024
a（C4C4）C4C4C432,解得a3.
1时等
故C63a3b320,∙∙∙ab1,a2b2≥2ab2,当且仅当a
号成立.
27∙I【解析】通项C,/,//CR"8即4rZ7a1
1
所以一•
2
216
28.20【解析】（X-）的展开式中第k1项为
X
TkiC6kxkx2（6k）CkX123k（k0,12川,6）
令123k3k3得：
χ3的系数为C；20.
29.10【解析】法一：
由等式两边对应项系数相等.
a51
即：
C54a5a40
31
C5a5C4a4a3
a310.
30.
法三：
f（X）
5
1X）,则
a3C5（
1）210。
2【解析】由题意得
Ckx6k
akC*χ6
3k
2
∙Aa2cf,
a4C64,
又∙∙∙B
4A,
a4C644
a2Cf
解之得
a24,
又•••a0,∙∙∙a
333
则有3Al个.所以共有2A43A4524120个，选B.
4
方法，•••总共有4A496.
29.［解析】（I）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一
升级会员 