轴对称证明题要点.docx

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轴对称证明题要点

轴对称专题

[轴对称图形]

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．毛

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

[轴对称]

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称的性质]

如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

[轴对称与轴对称图形的区别]

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

[线段的垂直平分线]

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

轴对称变换

[轴对称变换]

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

[轴对称变换的性质]

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

用坐标表示轴对称

[关于坐标轴对称]

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

[关于原点对称]

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）

[关于坐标轴夹角平分线对称]

点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是（-y，-x）

[关于平行于坐标轴的直线对称]

点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；

点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；

等腰三角形

[等腰三角形]

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

[等腰三角形的性质]

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的：

（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

[等腰三角形的判定定理]

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

[利用“三角形奠基法”作图]

根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.

等边三角形

[等边三角形]

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

[等边三角形的性质]

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

[等边三角形的判定方法]

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

角平分线的性质

[角平分线的作法]

见课本

[角平分线的性质]

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，

∴PM=PN

[角平分线的判定]

到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN

∴OP平分∠AOB

[三角形的角平分线的性质]

三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

[添加辅助线口诀]

几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.

线段垂直平分线，常向两端来连线；线段和差及倍分，延长截取全等现；

公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.

角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；

角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。

 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。

如图1

（1）中，若AD平分

，AD//EC，则

是等腰三角形；如图1

（2）中，若AD平分

，DE//AC，则

是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分

，CE//AB，则

是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分

，EF//AD，则

是等腰三角形。

图1

例1.如图，在

中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作

，交BA的延长线于点E，垂足为点F。

求证：

AE＝AP

1．已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，求∠OED的度数．

2．已知：

如图2－3，线段AB．

求作：

线段AB的垂直平分线MN．

作法：

图2－3

3．已知：

如图2－4，∠ABC及两点M、N．

求作：

点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．

作法：

图2－4

4．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

图2－5

5．如图2－6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么点E、F是否关于AD对称？

若对称，请说明理由．

图2－6

综合、运用、诊断

6．已知：

如图3－7，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'B＝a.

（1）求AP＋PB；

（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：

AM＋MB＞AP＋PB．

7．已知：

A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图3－8，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；

作

（3）如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

图3－10

8．

（1）如图3－11，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；

图3－11

（2）如图3－12，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

图3－12

9．

（1）已知：

如图3－13，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；

图3－13

（2）已知：

如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

图3－14

10．已知：

如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

求证：

△ABC是等腰三角形．

图6－5

11．已知：

如图5－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．

求证：

BD＝CE．

图5－2

12．已知：

如图5－3，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

图5－3

13．已知：

如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

图5－4

拓展、探究、思考

14．已知：

如图5－5，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．

求证：

（1）DE＝DF；

（2）ΔDEF为等腰直角三角形．

图5－5

15．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．

（1）作出M点和N点．

（2）求出M点和N点的坐标．

图5－6

16．已知：

如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．

求证：

AE＝AF.

图6－6

17．已知：

如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.

求证：

CE＝CF．

图6－7

18．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，

求证：

BQ＋AQ＝AB＋BP．

图6－8

19．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？

并在图6－9中画出C点的位置．

图6－9

20．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．

图6－10

21．已知：

如图7－8，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.

求证：

EF平分∠AEB．

图7－8

22．已知：

如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．

图7－9

23．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．

（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？

（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现？

请证明你的猜想．

（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？

图7－10

24．已知：

如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．

（1）求证：

BC＝AE＋BE；

（2）探究：

若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？

试证明之．

25．已知：

如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．

（1）求证：

AD＝CE；

（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．

图8－4

26．如图8－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）求证：

AF＝BD．

图8－5

27．已知：

如图8－6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______．

图8－6

28．

（1）如图8－7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；

图8－7

（2）如图8－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．

图8－8

29．已知：

如图8－9，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE．

求证：

CE＝DE.

图8－9

30．已知：

如图8－10，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．

（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；

图8－10

（2）求出

（1）中PC＋PD的最小值．

31.如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点O,

（1）求证:

PA=PB=PC.

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上?

由此你还能得出什么结论?

32、.如图:

△ABC和△ADE是等边三角形.证明：

BD=CE.

33、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列四个条件：

①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC.

（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第

（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

34．如图，P在

AOB内；点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，若

PEF的周长为15，求MN的长.

35．如图（5）所示，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交AB于E，交BC于D，∠1=

∠2，求∠B的度数。

36．等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为26cm，则底边BC的长是多少？

37．如图，

ABC中，AB=AC，BO，CO分别为

ABC，

ACB的平分线，交点为O，过O作，E，F平行于BC交AB，AC于F，E，探索BF+CE与FE的关系，说明理由.

38．如图，在

ABC中，AD

BC于D，点M，N分别在BC所在的直线上，且BM=CN．

（1）AB=AC，试判断

AMN的形状，并说明理由

（2）若AM=AN，则

ABC=

ACB成立吗？

为什么？

39.如图，△ABC中，∠BAC=1100，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，求∠DAF.

16、如图，

ABC中，AB=AC，AD

BC，DE//AC，试说明

BDE和

AED都是等腰三角形

40、已知：

在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求∠C的度数。

41、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度数。

（9分）

42、如图：

B、D、E、C四点共线，BD=CE，AD=AE，求证：

AB=AC（9分）

43、求证：

等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等。

（9分）

44、在△ABC中，AB=AC,∠ABD=∠ACD,试确定AD与BC的关系，并说明理由。

（8分）

45、在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB，AC的垂直平分线分别交AB于E，BC于M，交AC于F，BC于N，求证：

BM=MN=NC（9分）

46、如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于H，

求证：

AH=2BD（7分）

47、如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，OM与OB是两坐标轴夹角的三等分线，

点E是OM上一点，EC⊥X轴于C点，ED⊥OB于D点，OD=8，OE=10

（1）求证：

∠ECD=∠EDC

（2）求证：

OC=OD

（3）求点E的坐标

（4）试判断OE与线段CD的位置关系，并说明理由。