小学数学解题常见错误分析.docx
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小学数学解题常见错误分析
小学数学解题常见错误分析
一、数的概念
儿童从开始记事起,爸爸妈妈就扳着指头教他们数1,2,3,4…,他们也慢慢地知道3个指头、3颗糖、3个人…都表示的是3.可以说,他们就开始萌发了数的概念,但系统地建立数的概念还是从进学校后开始的,首先认识整数,再认识小数、分数、百分数.而建立数的概念,掌握有关数的基础知识,是学习数学的基础.当然,随着数学知识的丰富,又可以加深学生对数的有关知识的理解和掌握.正因为这样,学生是从数1,2,3,4…就开始认识数了,但限于学生的年龄和知识水平,开始对数的知识的掌握也是很有限的,需要在以后的学习过程中不断加深理解.由于教和学的种种原因,往往有的学生对于数的认识相当模糊,有时甚至是错误的.因此,在解题过程中,常出现这样或那样的错误。
1.整数
整数是小学阶段主要的学习内容.学生对整数的有关知识的学习,最感困难的是多位数的读写,特别是含有0的多位数,最容易读错和写错.整数的知识内容还应包括“数的整除”,它涉及的概念与法则较多,如约数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等概念,还有求最大公约数、最小公倍数、分解质因数等方法.对小学生来说有些概念比较抽象,难以理解和记忆.其中有的很容易混淆,因此解题时经常出错.
(1)整数与自然数
例1判断题
(1)整数就是自然数和0.( )
(2)自然数就是1、2、3、4、5等等这样的一列数.( )
(3)最小的一位数是0.( )
(4)3是由3和0组成的.( )
[解]
(1)×
(2)×(3)×(4)×
[常见错误]
(1)√
(2)√(3)√(4)√
[分析]
小学教科书里曾说过“自然数和零都是整数”,但这并不是给“整数”下的一个定义,而只是指出自然数和0都属于“整数”的范围.然而,有些人以为这就是整数的定义,并把它倒过来理解,说成“整数就是自然数和0”,这样就把整数这一概念的外延缩小了,因为整数不仅包括自然数和0,而且还包括负整数。
小学教科书里说“我们数物体时,用来表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…叫做自然数.”这里自然数只指这一列数中的一个个的数,1、2、3、4、5等等这样的一列数叫做“自然数列”,“自然数”与“自然数列”是两个不同的概念。
十进位制记数法,是利用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个数字符号,结合数位来记数的,并且规定了一个数最左边的数位(数的最高位)不能为0,即不允许出现0253、00368的形式(编码除外)的数.像0253、00368之类的数码也不能称之为四位数、五位数.否则,对于一个数就无法确定它是几位数,也无法正确记数了.对于一位数来说,它的最高位是个位,依据最高位不应为0的规定,最小的一位数就当然是1,而不是0了。
数的组成是在数数的基础上产生的,3是1和2组成或2和1组成,这里的1是1个计数单位,2是2个计数单位.0虽然也是一个数,但它不是计数单位,也不含计数单位.无论多少个0,都不可能组成一个自然数.也就是任何一个自然数,都不可能由0来组成。
例2填空题
(1)个级的单位是( ),亿级的单位是( )。
(2)和一万相邻的两个数分别是( )和( )。
[解]
(1)个级的单位是
(一),亿级的单位是(亿)。
(2)和一万相邻的两个数分别是(9999)和(10001)。
[常见错误]
(1)个级的单位是(个位),亿级的单位是(亿级),或个级的单位是
(个、十、百、千),亿级的单位是(亿、十亿、百亿、千亿)。
(2)和一万相邻的两个单位分别是(十万位)和(千位)。
[分析]
错解
(1)的前种错误是把计数单位误填成了数位,这主要是对数位和计数单位的概念不清楚造成的.后种错误则把各个数位上的计数单位与每一级的计数单位混淆了.个级的单位应该是“一”,万级的单位是“万”,亿级的单位是“亿”。
错解
(2)是把数与数位混淆了,概念不清是造成解题错误的主要原因,还有可能是由于学生粗心所致,因为题中的一万是用汉字表示的,没有用阿拉伯数字10000表示,因此容易产生错觉,把“一万”误认为是“万位”了,和万位相邻的两个数位就是“十万位”和“千位”。
2.小数
小数的概念本来是建立在分数概念的基础之上的,但考虑小学生的年龄特点,小学教材一般是先学小数,再学分数.这给小数意义的理解带来一定的困难,其中对于小数点位置移动引起小数大小变化的规律;对于有限小数和无限小数的认识;对于循环小数的认识及求近似值的方法等,都是学生比较难以理解和掌握的,因此,在解题中常常出现这样或那样的错误。
例1
(1)一个数由4个10、3个1、3个0.1、5个0.01组成,这个数是(如果把这个数扩大1000倍,应写作( )。
(2)0.85的计数单位是( ),把这个数扩大1000倍得( )。
(3)由32个1,57个0.001组成的数是( ),保留一位小数是( )。
(4)读出下面各数:
7.005,120.28。
(5)在0.、0.33、2.1、2.1这四个数中,( )是纯小数;是带小数;( )是纯循环小数;( )是混循环小数。
[解]
(1)是43.35,写作43350。
(2)是0.01,得850。
(3)是32.057,是32.1。
(4)读作七点零零五或七又千分之五;
读作一百二十点二八或一百二十又百分之二十八。
[分析]
产生上述错误的主要原因是对于小数的组成、小数的计数单位没有很好掌握,对于纯小数、带小数、纯循环小数、混循环小数的概念不能很好的区分.小数的数位顺序表是:
如果掌握了这个数位顺序表,
(1)题就不会写成403.305,因为依题意十位上是4,个位是3,十分位上是3,百分位上是5,即43.35.
(2)题0.85虽由8个0.1和5个0.01组成,但0.85的计数单位应该是0.01,因为一个小数的计数单位应是小数部分最小数位的计数单位.(3)题因为32个1是32,57个0.001是0.057,合起来就是32.057,而不应是32.57。
小数的读法与整数是不相同的,小数中的整数部分,可按整数的读法去读,而小数部分一般只按顺序依次读出各位上的数字.如7.005要读成七点零零五,要读出两个零.120.28要读成一百二十点二八,不读成二十八.如果按数位读,7.005就是七又千分之五,120.28就是一百二十又百分之二十八。
小数中的纯小数和带小数是根据整数部分是否有数来确定的,而纯循环小数和混循环小数是从循环节的位置来区分的,循环节从小数部分第一位开始的,叫纯循环小数;循环节不是从小数部分第一位开始的,叫混循环小数.所
[分析]
两个数相除,判断它的商是不是循环小数,应该看除到小数部分后,它的余数是否重复出现.余数重复出现商才会不断重复出现,若只有商重复出现几次,还不一定是循环小数.如上例除到小数第三位,连续出现了三个2,
[常见错误]
(1)题找不到合适的数。
(2)(3)题顺序排错或从小到大排列。
[分析]
(3)题的关键是π,它的值是3.1415…。
例5
(1)一个数,如果将它的小数点向左移动一位,得到的新数比原来的数少3.6.原来的数是( )。
(2)最小的三位小数去掉小数点后,再缩小100倍是( )。
(3)把3.14159的小数点先向右移动三位,再在后面添上两个零,原数就( )。
(4)把3.09扩大( )倍是3090。
[解]
(1)4。
(2)0.01。
(3)扩大1000倍。
(4)1000。
[常见错误]
(1)36。
(2)0.001。
(3)扩大100000倍。
(4)100。
[分析]
如果没有很好地掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律,就很容易出现上述错误.如
(1)题,因为小
整数的小数点是在个位右边,因为没有小数部分就不必记上.
(2)题最小的三位小数是0.001,去掉小数点后变为1,1记上小数点是1.,再缩小100倍,即小数点向左移动两位,应该是0.01,而不是0.001;又如(4)题3.09变成3090,小数点是向右移动三位,是扩大了1000倍,而不是100倍。
小数末尾添上0或去掉0,小数的大小不变,理解了这条性质,那么(3)题中的“再在后面添上两个零”,并没有引起小数大小的变化,所以原数并没有扩大100000倍,只是因为小数点向右移动三位而扩大了1000倍。
小数点位置的移动引起小数大小的变化规律,既难理解,又易混淆.移动的方向与大小变化是相关的,移动的位数与变化的倍数是相应的.这些变化规律必须牢固掌握。
[解]
(1)4.263
(2)3.30。
(3)0.90
(4)0.455.
[常见错误]
(1)4.262。
(2)3.3。
(3)0.9。
(4)0.454。
[分析]
求近似值的方法,一般是采用“四舍五入”法,
(1)(4)题都是要保留三位小数,那么要根据第四位小数“四舍五入”.4.2626…、0.4545…的第四位都是五或五以上的数,所以去掉尾数后必须向第三位小数进一,4.262和0.454都是因为没有“进一”而出错。
在求近似值里,一般地说3.0比3精确,在表示近似值的情况下,十分位的0不能去掉.因此,在
(2)(3)题里,3.30是由3.295保留两位小数得到,0.90是由0.89保留两位小数得到它们的0都不能去掉,在这里如果写成3.3和0.9就是错误的。
例7判断题
(1)去掉小数点后面的零,小数的大小不变.( )
(2)2.666是循环小数.( )
(3)在小数点后面添上零或去掉零,小数的大小不变.( )
(4)把7.08的小数点去掉后,比原来的数扩大100倍.( )
[解]
(1)20897600000≈209亿。
31548200000≈315亿。
(2)20897600000=208.976亿。
31548200000=315.482亿。
(3)20897600000=208.976亿≈208.98亿。
31548200000=315.482亿≈315.48亿
[常见错误]
(1)20897600000≈208亿。
31548200000=315亿。
(2)20897600000≈209亿。
31548200000≈315亿。
(3)30897600000≈208.98亿。
31548200000≈315.48亿。
[分析]
这三道题都要求写成用亿作单位的数,但具体要求是不相同的.
(1)题是省略亿后面的尾数,求它们的近似数,那么要看它的千万位是什么数,然后用“四舍五入”法求出近似数.20897600000的千万位是9,省略尾数后应该向亿位“进一”,所以写成208亿是错误的,31548200000千万位是4,省略尾数后不须向亿位进一,应该是315亿,但这只是近似数,应该用“≈”,错解错在用了“=”。
(2)题是改写成用“亿”作单位的数,不是求近似数,所以,分别写成09亿和315亿都是不合题意的。
(3)题改写成用“亿”作单位的数后再保留两位小数,省略了前一步也是不合题意的,应按题目要求进行改写。
还值得注意的是不要忘记写上“亿”字作单位。
3.分数和百分数
对分数和百分数的认识比整数难多了,我们这里讲的分数和百分数主要包括分数、百分数的意义;分数的性质;分数大小的比较;分数、百分数和小数的互化等.如果没有很好地建立分数和百分数的概念,那么解答有关分数、百分数的概念题、比较分数的大小或进行分数、百分数和小数的互化,都会经常出现错误.但对分数和百分数的理解不是孤立地建立起来的,它是通过比较分数大小、进行分数、百分数和小数的互化等过程中逐步加深认识的。
例1
(1)判断题:
把单位“1”分成若干份,表示这样一份或者几份的数,叫做分数.( )
(11)题判为“正确”的原因是对于分数的基本性质中的“零除外”没有引起足够的重视。
(12)题也是因为没有很好掌握分数的基本性质,误认为分子加上8,分母也要加上8.而要使分数的大小不变,分数的分子和分母都应乘以或除
[常见错误]
这类题的解答错误是填不出或填错了数.
[分析]
产生错误的主要原因是对分数(包括成数)、小数、百分数的互化;除法与分数的关系;假分数与带分数的互化;分数的基本性质及比与除法的关系等知识没有理解和掌握.
如以
(1)题为例,七成五就是十分之七点五即为75%,化成分数为
F=10÷10÷12÷13÷14.
[解]
先分为大于10和小于10的两大类:
大于10的有A、D、E;小于10的有B、C、F,而大于10的A不会超过12;D是把10扩大10倍,再扩大100倍,再扩大1000倍,再扩大10000倍;E是把10扩大11倍,再扩大12倍,再扩大13倍,再扩大14倍.所以D>E>A.而小于10的B不会小于8;C是把10缩小10倍,再缩小100倍,再缩小1000倍,再缩小10000倍;F是把10缩小11倍,再缩小12倍,再缩小13倍,再缩小14倍.所以B>F>C.即(D)>(E)>(A)>(B)>(F)>(C).
[常见错误]
(C)>(E)>(A)>(D)>(F)>(B).
[分析]
产生这种错误的原因是误以为凡是乘和加的结果肯定增大,凡是除或减
二、四则计算
四则计算包括整数、小数、分数的四则计算及混合运算,它是小学阶段学习的重要内容,而培养学生的四则计算能力是小学数学教学的一项重要任务.在小学数学的学习过程中,几乎天天都离不开计算.但它又是最容易发生错误的内容之一.基础知识掌握不牢、基本口算不熟练、数学概念模糊都会造成计算上的错误;由于思维不灵活、粗心大意也会造成计算错误;对于教材中的难点、易混淆的问题、计算过程复杂的内容更容易发生计算错误.因此要达到“正确、迅速、合理、灵活”的要求,确实是一件不容易的事情.
小数四则计算是在掌握整数四则计算的基础上进行学习的,它们之间有着密切联系.因此,解题的许多常见错误也是共同的,例如对位问题.而小数四则计算中小数点的处理,如加、减法中的小数点对齐;乘法中乘积中小数点的定位;除法中商的小数点的定位及除数是小数的计算法则等,都是最容易发生错误的地方.
(1)加法和减法
例1整数加法的意义是什么?
整数减法的意义是什么?
[解]
整数加法的意义:
把两个数合并成一个数的运算,叫做加法.
整数减法的意义:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法.
[常见错误]
整数加法的意义:
求和的运算叫做加法.或把几个数合并成一个数的运算,叫做加法.
整数减法的意义:
求剩余的运算叫做减法.
[分析]
定义应该是严格的,求和是用加法,求剩余也是用减法,但不能说求和就叫做加法,求剩余就叫做减法.另外,把几个数合并成一个数,实际上都是两两合并,如3+5+8,是先算3+5=8,再算8+8=16,所以把两个数合并成一个数的运算定义为加法是确切的.
例2
(1)8+2.16.
(2)7.43-5.
(3)0.008+1.2.
[解]
(1)8+2.16=10.16.
(2)7.435=2.43.
[分析]
上述错误主要是在整、小数的加减计算中,没有把相同的数位对齐,产生错误的原因有:
①对小数的数位概念没有理解和掌握;②小数加减法法则掌握不牢;③受整数加减法法则的影响.因为整数加减法中相同的数位对齐,即是末位数字对齐,因此误认为小数加减法也是末位数字对齐,造成一定的干扰.实际上整数和小数加减法都要把相同的数位对齐,因为整数的末位都是个位数,只要把末位数对齐,那么相同的数位就对齐了.而小数的末位数的数位是不固定的,不能用末位数对齐的方法使相同的数位对齐.最好的办法是把小数点对齐.小数点对齐了,相同的数位也就对齐了尽管上面的
(1)
(2)题中的“8”和“5”都是整数,但由于整数的小数点是在个位的右
[分析]
整、小数加减计算,在进位加法和退位减法中,忘记加上进位“1”或忘记减去退位“1”,这是经常发生的计算错误.上例中的
(1)、
(2)、(3)题都是这类型错误,特别是第
(2)题的十位是0减5,只注意了退1当10,减5得5,忘记了先要减去个位不够减退的“1”,应该是9减5得4.第(4)题的千分位不够减,应从百分位退“1”,错解中是直接把5写下来,因此百分位没有减去退的1,因此误把“4”写成了“5”.
例4
(1)4.35+5.65.
(2)64.7-63.9.
[解]
(1)4.35+5.65=10.
(2)64.7-63.9=0.8.
位的0;错解
(2)得数8应该是在十分位上的8,应记上小数点,并在整数部分写0,得数00.8又在整数部分多写了一个0,因为整数部分没有数写一个0就可以了,写多了就是多余的了.所以,在小数计算里要特别注意0的处理.
例5
(1)3005-632.
(2)40003-21208。
(3)9-4.25.
[解]
(1)3005-632=2373.
(2)40003-21208=18795。
[分析]
在加减计算中,减法难于加法,特别是减法中有连续退位的,如果要隔位退位就更难了.上面三例都是要隔位退位的.
(1)题十位不够减要从千位退一;
(2)题个位不够减要从万位退一;(3)题百分位不够减要从个位退一.因此由于一时不好填什么数就出现了像
(1)、(3)题那样把减数直接写下来的错误;或像
(2)题那样从万位退一到千位、百位、十位都作10的错误.如果掌握了退位的方法就不会发生类似的错
[分析]
在连加计算中,因为需要计算的数多,在进位时,有时不止向前一位进“1”,有时需要进“2”或“3”或更大的数.但学生对“满十进一”的印象比较深刻,误认为都是向前一位进“1”,因此出现上述错误.为了防止这类错误,进位时,可以把进上几记上一个小数字,以防忘记.
2.分数的加减法四则计算
分数的四则计算,由于分数加减法中的通分问题,带分数的加减法,分数乘除法中的约分问题等都不容易一下理解和掌握,因此计算常常出现错误。
在分数四则计算中,很多计算过程都需口算,口算的错误率往往高于笔算。
因此,分数四则计算的错误率一般要高于整小数的四则计算。
再加之分数四则计算的复杂程度远远超过了整、小数的四则计算,所以,要熟练、准确地进行分数四则计算确实是不容易的。
(1)加法和减法
为什么出现这样的错误呢?
第一,受整、小数加减法的影响,误认为把数加起来就是它们的结果,于是产生了分子加分子、分母加分母的错误;第二,分数意义、分数单位的概念模糊,或者基本上没有弄清这些概念;第三,分数加法法则没有掌握。
[分析]
这种错误在刚开始学习异分母分数加法时经常发生。
错解
(1)是通分时分母扩大了,而分子没有扩大;
(2)题虽然计算正确,但最后结果是假分数,应化成带分数。
在小学阶段都要求这样做。
例3
(2)乘法
例1整数乘法的意义是什么?
[解]
整数乘法的意义:
求几个相同加数和的简便运算,叫做乘法
[常见错误]
整数乘法的意义:
求积的运算.
[分析]
和前面分析的一样,定义是严格的,求积是用乘法计算,但我们不能说求积就是乘法.
例2小数乘法的意义与整数乘法的意义相同吗?
[解]不完全相同.
[常见错误]
相同.
[分析]
因为小数乘法有两种情况.一是小数乘以整数,它的意义与整数乘法意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算.如3.5×4,就是求4个3的和的简便运算;二是一个数乘以小数,它的意义是求这个数的十分之几百分之几,千分之几…,就不能理解为求相同加数的和的简便运算了.如×0.23,就是求3.5的百分之二十三是多少.所以,不能说小数乘法的意与整数乘法的意义相同.
例3
(1)216×28.
(2)345×308.
[解]
(1)216×28=6048.
(2)345×308=106260.
[分析]
多位数的乘法计算,部分积的位置错误是经常发生的,如
(1)题中乘数十位上的“2”与216相乘得432,是432个10,即4320,所以2应该写在十位上.
(2)题中乘数百位上的“3”与345相乘得1035,是即103500,所以5应该写在百位上.关键是要记住“用乘数哪乘,乘得的数的末位就要和那一位对齐”.
例4
(1)801×5
(2)2008×6.
(3)370×20.
(4)4100×50.
[解]
(1)801×5=4005。
(2)2008×6=12048。
[分析]
被乘数中间有0或被乘数和乘数末尾有0的乘法是多位数乘法中的难点。
错解
(1)没有用5与被乘数的0相乘,被乘数的8是在百位上,表示8个百,与5相乘应得40个百,即4个千,4要写在千位,现在错把4写在了百位上,原因是漏乘了“0×5=0”这一步。
同理错解
(2)也是漏乘了“0×6”(10位上的0)和“0×6”(百位上的0)两步。
(3)、(4)题被乘数和乘数末尾都有0,计算时只要将0前面的数相乘,然后再看被乘数和乘数末尾共有几个0,就在积的末尾也添上几个0。
如370×20洗用37×2=74,再添上两个0得7400。
4100×50,先用41×5=205,再添上三个0得205000。
其理由是因为4100看成41,缩小100倍,50看成5缩小10倍,那么41×5的积比4100×50的积也缩小了100×10=1000倍,所以要将41×5的积扩大1000倍,即添上三个0。
如果明白了这个道理就不会出现少添0或多添0的错误。
例53.18×16。
[解]
3.18×16=50.88。
[分析]
积里忘记点上小数点,这种错误比加减法里忘记点上小数点的错误要多,因为做小数加减时,可以边计算边点上小数点,而做小数乘法时,则需做完乘法后,再在积里点上小数点。
这样很容易忘记在积里点上小数点。
例6
(1)3.6×4.8。
(2)1.75×3.4。
(3)0.34×0.26。
(4)0.73×0.08。
[解]
(1)3.6×4.8=17.28。
(2)1.75×3.4=5.95。
[分析]
小数乘法计算,最容易出现的错误是积里小数点的位置点错。
(1)题错把积里的小数点和因数里的小数点对齐,这是因为:
①受小数加减法‘小数点对齐”的影响;②小数乘以整数积里的小数点和被乘数的小数点也是对齐的,如3.6×48=172.8;③正好3.6×4.8中被乘数和乘数的小数点是对齐的,