NBA常规赛赛程安排建模和算法初探.docx
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NBA常规赛赛程安排建模和算法初探
NBA常规赛赛程安排建模和算法初探
一、NBA赛制的问题描述
NBA（NationalBasketballAssociation）是美国国家职业篮球比赛。
它是全世界篮球爱好者们最钟爱的一项赛事，姚明、易建联加盟NBA以后，中国球迷更加热爱这项运动，我就是火箭队的忠实球迷。
NBA目前共有30支球队，分为两个联盟，即东部联盟和西部联盟。
每个联盟各有三个赛区，共六个赛区。
每个赛区有五支球队，即5支球队Х6个赛区=30支球队。
NBA比赛分为常规赛、季后赛和总决赛。
每个球队在常规赛里都要参加82场比赛，一般是从每年的10月底到第二年的4月中旬，历时165天。
常规赛结束后，两个联盟分别选出排在前八名的8支球队参加季后赛。
在季后赛里，东部赛区的冠军和西部赛区的冠军进行总决赛，最后决出NBA冠军。
如何安排NBA比赛的赛程，使对各支球队都尽量公平呢。
一方面，要使得各支球队能够在一定的比赛周期内，每两场比赛中间间隔的休整时间比较均等；另一方面，赛程安排中尽量不要出现在某些天比赛场次过多的情况，以防运动员因为消耗体力太大，影响比赛结果。
我一直对NBA比赛非常感兴趣，因为这些比赛非常好看。
所以我对NBA的赛制规则非常了解，也一直在猜测NBA联盟委员会是以什么原则安排比赛赛程的。
这篇论文总结了我在NBA赛程安排方面做的一些探讨研究。
本论文只描述常规赛的赛制和赛程安排。
在常规赛里，NBA的30支球队，每只球队要参加82场比赛，因为每场比赛有两支球队对抗，所以共有（82Х30）÷2=1230场比赛。
每支球队都要与其余的29支球队进行82场比赛，具体规则是这样的：
1、每支球队要与同一个赛区的另外4支球队各比赛4场，两场主场，两场客场。
所以与同一个赛区的球队共有4Х4=16场比赛。
2、每支球队要与不同联盟的另外15支球队各比赛2场，一场主场，一场客场。
所以与不同联盟的球队共有2Х15=30场比赛。
3、每支球队要与同一联盟不同赛区的另外10支球队中的6支各比赛4场，两场主场，两场客场；10支球队中的4支各比赛3场，两场主场，一场客场，或一场主场，两场客场。
所以与同一联盟不同赛区的球队共有（4Х6）+（3Х4）=36场比赛。
对于要与同一联盟不同赛区的另外10支球队中的4支各比赛3场的情况，比赛规则是：
设同一联盟的三个赛区分别为P,Q,R，P赛区的第1支球队与
1）Q赛区的第2支球队和第4支球队进行3场比赛
2）R赛区的第3支球队和第5支球队进行3场比赛
二、NBA赛程安排的问题与假设
为了让赛程安排尽可能公平，在建立NBA赛程安排的模型和算法时，希望能满足以下条件：
1.每支球队不能一天比赛两场
2.每支球队的两场比赛之间尽可能地间隔一天
3.赛程安排尽可能对每支球队公平，即各球队比赛平均间隔的天数尽可能接近
NBA赛程安排的假设：
1.由于每一支球队都有自己的球场，所以安排比赛不需要考虑球场问题。
即30支球队可以在同一天比赛，也可以说一天最多可以安排15场比赛。
2.因为不考虑球场，所以主场和客场比赛是对等的，在赛程安排中也不需要考虑主客场问题。
另外，因为每支球队要在165天里比赛82场，所以平均每两天至少要比赛一场。
三、建立模型和算法的准备
根据NBA赛制的描述，30支球队分别表示为：
设东、西两个联盟分别表示为E（Eastern）和W（Western）；
东部赛区E的三个赛区分别表示为：
Ea，Eb，Ec。
西部赛区W的三个赛区分别表示为：
Wa，Wb，Wc。
东部赛区E的三个赛区的15支球队分别表示为：
Ea1，Ea2，Ea3，Ea4，Ea5
Eb1，Eb2，Eb3，Eb4，Eb5
Ec1，Ec2，Ec3，Ec4，Ec5
西部赛区W的三个赛区的15支球队分别表示为：
Wa1，Wa2，Wa3，Wa4，Wa5
Wb1，Wb2，Wb3，Wb4，Wb5
Wc1，Wc2，Wc3，Wc4，Wc5
赛制规则1定义为规则A，即每支球队与同赛区的球队进行16场比赛。
赛制规则2定义为规则B，即每支球队与不同联盟的球队进行30场比赛。
赛制规则3定义为规则C，即每支球队与同联盟不同赛区的球队进行36场比赛。
第i支球队用Ti（Team）表示，用于表示赛程安排的比赛次序。
两支球队比赛的场数用（数字）表示。
例如：
规则A，T1支球队与Ea赛区的其余4支球队各比赛（4）场；
规则B，T1与Wa、Wb、Wc赛区的15支球队各比赛
（2）场；
规则C，T1与Eb、Ec赛区的10支球队各比赛（3）场或（4）场。
赛程安排的比赛时间用数字表示，即date=i，其中i=1，2，…，165。
表示比赛安排在第i天。
四、建立NBA赛程安排的模型和算法
在建立NBA赛程安排模型中，设计了以下三个原则：
原则一、在确定球队和球队之间的比赛次序时，原则是联盟之间互相交叉，同时赛区之间互相交叉，因为这样球队与球队之间比赛的次序比较均等。
图1是基于这个原则的一种安排次序，Ti就是第i次安排的球队。
东部赛区：
EaEbEc
Ea1T1
Eb1T3
Ec1T5
Ea2T7
Eb2T9
Ec2T11
Ea3T13
Eb3T15
Ec3T17
Ea4T19
Eb4T21
Ec4T23
Ea5T25
Eb5T27
Ec5T29
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
西部赛区：
WaWbWc
Wa1T2
Wb1T4
Wc1T6
Wa2T8
Wb2T10
Wc2T12
Wa3T14
Wb3T16
Wc3T18
Wa4T20
Wb4T22
Wc4T24
Wa5T26
Wb5T28
Wc5T30
图1.球队之间的比赛次序
因此，第1次安排的球队T1（Ea1）与其余29支球队比赛；第2次安排的球队T2（Wa1）与其余28支球队比赛；第3次安排的球队T3（Eb1）与其余27支球队比赛；…；第i次安排的球队Ti（…）与其余30–i支球队比赛；…；第29次安排的球队T29（Ec5）与剩下1支球队比赛；第30次安排的球队T30（Wc5）与0支球队比赛。
所以，按照T1、T2、…、T30的比赛的次序，共需要安排435个球队和球队之间的比赛（∑i，i=1，2，…,29）。
在这种比赛次序下，每两支球队比赛的场数由规则A、规则B、规则C决定。
原则二、在原则一给出的比赛次序中，按照交叉的原则安排比赛时间。
即Ti次序的球队，要同（30–i）支球队比赛。
当i为奇数时，时间安排从前到后；当i为偶数时，时间安排从后到前。
这样可以使得一支球队一天比赛两场的可能性比较小，并且一支球队两场比赛间隔一天的可能性比较大。
图2是在一种比赛次序下的比赛时间的安排。
图表中的数字为比赛时间date，即第i天（i=1，2，...，165）比赛。
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
……
T25
T26
T27
T28
T29
T30
T1
X
1
3
5
7
9
11
13
15
17
47
49
51
53
55
57
T2
0
X
56
54
52
50
48
46
44
42
12
10
8
6
4
2
T3
0
0
X
7
9
11
13
15
17
19
53
55
57
59
61
63
:
:
T29
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
85
T30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
图2.比赛时间安排
因为不考虑主客场，T1对T2的比赛就是T2对T1的比赛，这里都设为0。
原则三、两支球队之间有多场比赛，有的球队之间需要比赛4场（按照规则A或规则C），有的需要比赛2场（按照规则B），有的需要比赛3场（按照规则C）。
不同场之间的时间安排原则是：
比赛4场的，时间安排间隔为40天；
比赛2场的，时间安排间隔为80天；
比赛3场的，时间安排间隔为50天；
这样可以使相同球队的几场比赛间隔天数尽可能大，比赛会比较好看。
因为比赛周期是165天，所以按照150或160的2、3、4倍数关系选择上面的间隔天数。
NBA赛程安排算法：
第一步：
先按照原则一，以联盟和赛区为单位，设定出球队和球队比赛安排的次序Ti；
第二步：
再按照原则二，在第一步设置的比赛次序中安排比赛时间date。
第三步：
再按照原则三，对两支球队的多场比赛，安排比赛时间date。
第四步：
对以上安排的比赛时间date进行判断：
If（要比赛的两支球队中的任何一支球队在同一天已经有比赛了）
Then{这场比赛就向后顺移时间，即：
date<=日期+1
If（date>165天）thendate<=1}
五、模型和算法的分析
上面给出的算法的第四步判断一定能满足赛程安排的第一个条件，即每支球队不可能一天比赛两场。
理论上，一定有至少一种赛程安排。
因为没有场地的限制，一天最多可以比赛15场，所以，很多球队如果没有间隔地每天连续比赛，就可以安排。
但这种安排不太好。
我给出的原则和算法就是希望尽可能满足赛程安排的第二个条件，即每支球队的两场比赛之间尽可能地间隔一天。
在算法的第二步就是先按照隔一天一场比赛的情况安排，算法的第三步是按照同一球队的场与场之间尽可能间隔的远的情况安排的。
如果判断出安排的比赛有冲突，就按照连续每天比赛的情况安排。
赛程安排的第三个条件没有考虑，即赛程安排尽可能对每支球队公平，各球队比赛平均间隔的天数尽可能接近。
待以后进一步完善。
另外，NBA比赛的排名也有很多规则，要考虑很多因素。
我希望能在以后补充这部分模型和算法。
我们国家也有CBA篮球比赛，目前共有18个球队，但我们的赛区分配没有NBA那么复杂，可以简化这个模型，建立CBA赛程安排。
六、参考文献
【1】韩中庚.数学建模竞赛—获奖论文精选与点评.北京:
科学出版社,2007.
【2】姜启源等.《数学模型（第三版）》习题参考解答.北京：
高等教育出版社,2003.
【3】NBA英文网.
【4】全国大学生数模竞赛网.
附1.美国30支球队名单
东部联盟：
东南区中区大西洋区
迈阿密热队底特律活塞队波士顿凯尔特人队
奥兰多魔术队印第安纳步行者队费城76人队
亚特兰大老鹰队克里夫兰骑士队纽约尼克斯队
华盛顿奇才队芝加哥公牛队新泽西网队
夏洛特山猫队密尔沃基雄鹿队多伦多猛龙队
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
西部联盟：
西南区西北区太平洋区
圣安东尼奥马刺队明尼苏达森林狼队萨克拉门托国王队
孟菲斯灰熊队丹佛掘金队菲尼克斯太阳队
达拉斯小牛队尤他爵士队洛杉矶湖人队
休斯顿火箭队波特兰开拓者队洛杉矶快船队
新奥尔良黄蜂队俄克拉荷马雷霆队金州勇士队
附2.2009-2010赛季，2009年11月赛程安排
01日类型客队比分主队
07:
00常规赛篮网VS奇才
07:
30常规赛山猫VS骑士
07:
30常规赛76人VS尼克斯
08:
30常规赛开拓者VS火箭
08:
30常规赛活塞VS雄鹿
08:
30常规赛国王VS马刺
10:
30常规赛小牛VS快船
02日类型客队比分主队
02:
00常规赛魔术VS猛龙
07:
00常规赛黄蜂VS凯尔特人
07:
00常规赛公牛VS热火
08:
00常规赛开拓者VS雷霆
09:
00常规赛灰熊VS掘金
09:
00常规赛森林狼VS太阳
10:
30常规赛老鹰VS湖人
03日类型客队比分主队
08:
00常规赛篮网VS山猫
08:
30常规赛黄蜂VS尼克斯
10:
00常规赛火箭VS爵士
11:
00常规赛灰熊VS国王
11:
30常规赛森林狼VS快船
04日类型客队比分主队
08:
00常规赛凯尔特人VS76人
08:
00常规赛掘金VS步行者
08:
00常规赛奇才VS骑士
08:
30常规赛魔术VS活塞
08:
30常规赛太阳VS热火
09:
00常规赛雄鹿VS公牛
09:
00常规赛湖人VS雷霆
09:
30常规赛爵士VS小牛
11:
00常规赛老鹰VS开拓者
05日类型客队比分主队
08:
00常规赛太阳VS魔术
08:
00常规赛热火VS奇才
08:
00常规赛活塞VS猛龙
08:
30常规赛掘金VS篮网
08:
30常规赛步行者VS尼克斯
09:
00常规赛凯尔特人VS森林狼
09:
30常规赛快船VS火箭
10:
30常规赛小牛VS黄蜂
11:
00常规赛老鹰VS国王
11:
30常规赛灰熊VS勇士
06日类型客队比分主队
09:
00常规赛公牛VS骑士
11:
30常规赛马刺VS爵士
07日类型客队比分主队
08:
00常规赛老鹰VS山猫
08:
00常规赛篮网VS76人
08:
00常规赛活塞VS魔术
08:
00常规赛奇才VS步行者
08:
30常规赛太阳VS凯尔特人
08:
30常规赛掘金VS热火
09:
00常规赛骑士VS尼克斯
09:
00常规赛雄鹿VS森林狼
09:
00常规赛猛龙VS黄蜂
09:
30常规赛雷霆VS火箭
11:
30常规赛快船VS勇士
11:
30常规赛灰熊VS湖人
11:
30常规赛马刺VS开拓者
08日类型客队比分主队
08:
00常规赛掘金VS老鹰
08:
30常规赛凯尔特人VS篮网
09:
00常规赛山猫VS公牛
09:
30常规赛猛龙VS小牛
09:
30常规赛尼克斯VS雄鹿
10:
00常规赛国王VS爵士
11:
30常规赛灰熊VS快船
09日类型客队比分主队
02:
00常规赛太阳VS奇才
02:
00常规赛76人VS活塞
08:
00常规赛魔术VS雷霆
10:
00常规赛森林狼VS开拓者
10:
30常规赛黄蜂VS湖人
11:
00常规赛勇士VS国王
10日类型客队比分主队
08:
00常规赛太阳VS76人
08:
30常规赛爵士VS尼克斯
10:
30常规赛猛龙VS马刺
11:
30常规赛森林狼VS勇士
11:
30常规赛黄蜂VS快船
11日类型客队比分主队
08:
00常规赛魔术VS山猫
08:
30常规赛奇才VS热火
09:
00常规赛掘金VS公牛
09:
00常规赛开拓者VS灰熊
09:
30常规赛火箭VS小牛
11:
00常规赛雷霆VS国王
12日类型客队比分主队
08:
00常规赛勇士VS步行者
08:
00常规赛公牛VS猛龙
08:
30常规赛老鹰VS尼克斯
08:
30常规赛76人VS篮网
08:
30常规赛山猫VS活塞
08:
30常规赛爵士VS凯尔特人
09:
00常规赛掘金VS雄鹿
09:
00常规赛开拓者VS森林狼
09:
00常规赛骑士VS魔术
09:
30常规赛小牛VS马刺
09:
30常规赛灰熊VS火箭
11:
30常规赛雷霆VS快船
11:
30常规赛黄蜂VS太阳
13日类型客队比分主队
09:
00常规赛骑士VS热火
11:
30常规赛太阳VS湖人
14日类型客队比分主队
08:
00常规赛篮网VS魔术
08:
00常规赛爵士VS76人
08:
30常规赛勇士VS尼克斯
09:
00常规赛老鹰VS凯尔特人
09:
00常规赛开拓者VS黄蜂
09:
00常规赛小牛VS森林狼
11:
00常规赛火箭VS国王
11:
30常规赛湖人VS掘金
11:
30常规赛猛龙VS快船
15日类型客队比分主队
08:
00常规赛开拓者VS山猫
08:
00常规赛活塞VS奇才
08:
00常规赛凯尔特人VS步行者
08:
00常规赛黄蜂VS老鹰
08:
30常规赛爵士VS骑士
08:
30常规赛篮网VS热火
09:
00常规赛森林狼VS灰熊
09:
00常规赛76人VS公牛
09:
30常规赛勇士VS雄鹿
09:
30常规赛雷霆VS马刺
16日类型客队比分主队
07:
00常规赛小牛VS活塞
08:
00常规赛快船VS雷霆
09:
00常规赛猛龙VS太阳
10:
30常规赛火箭VS湖人
17日类型客队比分主队
08:
00常规赛开拓者VS老鹰
08:
00常规赛山猫VS魔术
09:
00常规赛小牛VS雄鹿
18日类型客队比分主队
08:
00常规赛勇士VS骑士
08:
30常规赛雷霆VS热火
08:
30常规赛步行者VS篮网
09:
00常规赛快船VS黄蜂
09:
30常规赛太阳VS火箭
10:
00常规赛猛龙VS掘金
11:
00常规赛公牛VS国王
11:
30常规赛活塞VS湖人
19日类型客队比分主队
08:
00常规赛骑士VS奇才
08:
00常规赛山猫VS76人
08:
00常规赛雷霆VS魔术
08:
00常规赛尼克斯VS步行者
08:
00常规赛热火VS老鹰
08:
30常规赛勇士VS凯尔特人
09:
00常规赛篮网VS雄鹿
09:
00常规赛火箭VS森林狼
09:
00常规赛快船VS灰熊
10:
00常规赛猛龙VS爵士
10:
30常规赛马刺VS小牛
11:
00常规赛活塞VS开拓者
20日类型客队比分主队
09:
00常规赛太阳VS黄蜂
09:
30常规赛爵士VS马刺
11:
30常规赛公牛VS湖人
21日类型客队比分主队
08:
00常规赛热火VS猛龙
08:
00常规赛灰熊VS76人
08:
00常规赛骑士VS步行者
08:
30常规赛火箭VS老鹰
09:
00常规赛魔术VS凯尔特人
09:
00常规赛奇才VS雷霆
09:
30常规赛国王VS小牛
09:
30常规赛山猫VS雄鹿
11:
30常规赛掘金VS快船
11:
30常规赛开拓者VS勇士
22日类型客队比分主队
02:
00常规赛尼克斯VS篮网
08:
30常规赛76人VS骑士
09:
00常规赛老鹰VS黄蜂
09:
00常规赛雄鹿VS灰熊
09:
30常规赛奇才VS马刺
09:
30常规赛国王VS火箭
10:
00常规赛公牛VS掘金
10:
00常规赛活塞VS爵士
11:
00常规赛森林狼VS开拓者
23日类型客队比分主队
01:
30常规赛魔术VS猛龙
02:
00常规赛凯尔特人VS尼克斯
06:
00常规赛步行者VS山猫
07:
00常规赛黄蜂VS热火
09:
00常规赛活塞VS太阳
10:
30常规赛雷霆VS湖人
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