∴a的取值范围为[0,2].
11.若f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),且f
(1)=2,则
+
+…+
=________.
答案 2018
解析 利用三段论.
∵f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),大前提
令b=1,则
=f
(1)=2,小前提
∴
=
=…=
=2,结论
∴原式=
=2018.
三、解答题
12.把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,(22015+1)是奇数,所以(22015+1)不能被2整除;
(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;
(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.
解
(1)一切奇数都不能被2整除,大前提
22015+1是奇数,小前提
22015+1不能被2整除.结论
(2)三角函数都是周期函数,大前提
y=tanα是三角函数,小前提
y=tanα是周期函数.结论
(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52,小前提
△ABC是直角三角形.结论
四、探究与拓展
13.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有
≤f(
).若y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.
答案
解析 sinA+sinB+sinC≤3sin
=3sin
=
.
14.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=
.等边三角形ADB以AB为轴旋转.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?
证明你的结论.
解
(1)取AB的中点E,连接CE,DE.
因为AC=BC=
,AB=2,
所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC,
且平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥CE.
由已知得DE=
AB=
,CE=1.
所以在Rt△CDE中,CD=
=2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明如下:
当D在平面ABC内时,因为BC=AC,AD=BD,
所以C,D都在AB的垂直平分线上,
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时,由
(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,
又DE∩CE=E,
所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE,
所以AB⊥CD.
综上所述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.