数独九宫格各种链的关系.docx
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数独九宫格各种链的关系
第一种情况:
A==B--C==D
由A的真假情况可以做出以下BCD关系的枚举。
再次请大家注意本文开头所提到的强弱关系本质
1.强关系是说A与B两个事件,假如A不成立,则B一定成立。
2.弱关系是说A与B两个事件,假如A成立,则B一定不成立。
XY-Wing了,下面是一个XY-Wing的例子:
•通常解释XY-Wing原理的时候会用如果r4c2=1则r5c1=4;如果r4c2=9则r4c8=4,所以不论r4c2是1还是9,r5c1与r4c8中至少有一个是4,
从而得到r5c1与r4c8的等位群格位交集部分(图中蓝色格)不含4。
•这样是不是有点猜测的味道呢?
很多人都说高级技巧是把猜的东西合理化,其实不然。
•用强弱强链的观点可以这样看r5c1(4)==r5c1
(1)--r4c2
(1)==r4c2(9)--r4c8(9)==r4c8(4),
也是得到r5c1与r4c8中至少有一个是4。
•与XY-Wing较相近的要数XY-Chain。
•XY-Wing由三格组成,分别为xy格,xz格,yz格。
XY-Chain不止三格,需要把一些格合并当作XY-Wing组成格之一来看。
•单数链以强、弱方式构成环,称为X-Cycle,无法构成环,则称为X-Chain。
•X-Cycle的弱环节除节点外,单元内其它格位的相同候选数均可删除。
•X-Chain在开口处之两节点共同作用格的相同候选数均可删除。
本质上X-Cycle只是X-Chain的特例,因此统称为单链。
•单链若由两条强链与一条弱链构成,就是习称的双强链,有摩天楼、双线风筝、鱼三种连结方式。
•单链若由两条强链与两条弱链构成环,就是习称的X-Wing。
XY-Wing的结构可以分为两种:
1.xy格与xz格或者xy格与yz格同宫。
2.xy格、xz格、yz格在三个不同宫。
XY-Chian首尾若能连接起来就成为了XY-Cycle(MultiX-Wing)
r4c1(7)==r5c4(7)--r5c2(7)=={r1c2,r2c2}(7)断开任意一条弱链(绿色表示)即成为XY-Chain的结构。
得到{r1c2,r2c2}与r4c1至少有一个为7。
例如断开上端r8c57的弱链后,可以得到r8c5(7)与r8c7(7)
所以可以删除{r1c2,r2c2}与r4c1等位群格位的交至少有一个成立,即可删除这两格等位群格位交集的7,
集r1c3的候选数7。
其他三种断开弱链能够做何删减,大家可以自己尝试推导。
Guardians(守护者)的技巧,也有地方称之为BrokenWings或者Turbot-Fish。
其描述的是某一个候选数X的情况,当有偶数条强链,且两个端点处于同一unit时,这时可以删除两个端点上的候选数X,
如果该unit出这两端点格外只有一格含有候选数X,则该格一定就是X。
下图:
从蓝色格出发到达红色格,根据它们之间的逻辑关系,可以得到红色格有相同的真假值。
•红色格若为假,没问题两个都可删除,红色格若为真,则违反数独原则也应当删除。
•结论:
红色格应予删除
•用链的观点来看:
r3c8(9)==r3c8
(2)--r6c8
(2)==r6c6
(2)--r9c6
(2)==r9c6(9),因此可以删除r9c8的候选数9。
•亦可这样理解,如果r3c8不为9,r3c8为2,则r6c8不为2,r6c6为2,r9c6不为2,即r9c6为9;
反过来,如果r9c6不为9,则r9c6为2,r6c6不为2,r6c8为2,r3c8不为2,即r3c8为9;
可见r3c8与r9c6至少有一个为9,因此可以删除r9c8的候选数9。
•双强链的按其强链所在区域与组成可分为三种。
1.摩天楼(Skyscraper)
2.鱼(Fish)
3.双线风筝(TwoStringsKite)
摩天楼
以下是双线风筝(TwoStringsKite)、鱼(Fish)的结构与其删减情形。
1.上左图,两条强链一条在「行」另一条在「列」,红色顶端之共同作用格(红色「X」)就是不能有构成强链数字之处,这个结构称为双线风筝。
2.上右图,两条强链一条在「宫」另一条在「列」,红色顶端之共同作用格(红色「X」)就是不能有构成强链数字之处,这个结构称为鱼。
(C2、C5各有一个{XY}数对,因此R5的两格也为{XY}数对)
当r2c2是X时,可以得到r5c2为Y,继而r5c5为X,r3c5为Y;
反之,当r2c2是Y时,可以得到r5c2为X,继而r5c5为Y,r3c5为X。
也就是说r2c2与r3c5也为{XY}数对,因此可以删除其等位群格位的交集中候选数XY。
•双强链的基座(Base)必须在同一单元,且链顶(Top)必须有相同作用格才有删减效果。
•有时两条强链虽有相同的基座,但链顶没有共同作用格,如此将达不到删减的效果。
•因此就有所谓的进阶型的双强链。
•由于A==B==C==D三条强链会造成A与D有相反的真假值,因此可以当一条强链使用。
•观察一、三条形成的双强链不会太复杂,因此以下我们就以这样的构形提出实例加以说明。
•在数独的解题技法称这种解法为X-Chain。
如右图
附一道题的
七种解法。
解法1
解法#2
解法#3
解法#4
解法#5
解法#6
解法#7
单数链解法的三要素就是:
1.有强关系的两端点。
2.两端点有共同作用格。
3.共同作用格有删减效果。
•右图是这是摩天楼的扩充型的思考方法,黄色为底(起点),红色为顶(终点)。
•当黄色为真,则往绿色方向推进,当黄色为假则往红色方向推进。
•无论黄色为真或假,经推导的结果,红色的两个端点一定有一点为真,因此它们是强关系。
•强关系的共同作用格可以将候选数2删除,如图上网点标示之格位。
左图的另外一种推法:
•这是摩天楼的扩充型,黄色为底(起点),红色为顶(终点)。
•当黄色为真,则往绿色方向推进,当黄色为假则往红色方向推进。
•无论黄色为真或假,经推导的结果,红色的两个端点一定有一点为真,因此它们是强关系。
•强关系的共同作用格可以将候选数2删除,如图上网点标示之格位。
点算图示格的候选数,可以发现形成XY-Cycle,可以删的数比jcvb提到XY-Chain略多一些。
右图:
主要利用了r2c5的8的删减,可以得到第五列的摒除解r7c5=8。
欠一数对AlmostLockedPair
数对、三链数、四链数被统称为LockedCandidates,如果还差一点的也就是AlmostLockedCandidates。
我们取其中的数对部分,也就是AlmostLockedPair来讲解。
首先讲一下结构与结论:
(“/”掉格表示不含候选数XY)看R1,数字“XY”中的一个在r1c4,另一个在r1c123,也就是说r1c123含有“XY”中的一个数,第一宫的数字“XY”中的另一个在r2c1,所以可以得到第一宫的其他格不含有候选数XY,因为{r1c123,r2c1}为{XY}数对。
反之亦然。
R8的“78”在r8c679三格,因为r9c8的候选数为78,所以r8c79只能有“78”中的一个,所以R8的“78”另一个在r8c6,所以r8c6的候选数为78。
数字1对第八宫摒除,得到r8c5=1。
微变一下结构:
(“/”部分表示不含候选数XYZ)r1c45的部分其中一个会是Z,一个是{XY}之一,因此r1c123含有{XY}中的另一个,{r1c123,r1c45}为{XY}数对({r1c123,r1c4,r1c5}为{XYZ}三链数),
所以{r1c123,r2c1}为{XY}数对,所以可以删除第一宫其他格的候选数XY。
r4c1的候选数为68,第四宫{68}中的另一个在r5c12之中;
r5c12含有{68}中的一个,与r5c7的68形成{68}数对,可以删除r5c9的候选数6。
数字78对C7摒除可以得到r89c7的{78}数对;
中图:
数字8对第六宫摒除,得到第六宫的8在C8;
右图:
数字78对R8摒除,得到r8c67为{78}数对。
左图:
r4c1的候选数为68,第四宫{68}中的另一个在r5c12之中;
r5c12含有{68}中的一个,与r5c7的68形成{68}数对,可以删除r5c9的候选数6。
右图:
看r6c3的候选数为17,第四宫{17}中的另一个在r5c23中,R5的其他格只有r5c9含候选17,
所以可以确定r5c9的候选数为17,即删除6。
(图中标示候选数表示该格仅含这些候选数)
•看到这个结构,大家脑子里会有冒出什么结论呢?
想不到也没关系,可以跟着我们的思路来。
•先看r1c5的候选数为wx,所以r1c23中要不不含wx,要不只能有wx之一;再看r2c1候选数为yz,同样的r1c23中要不不含yz,要不只含其中一个;但r1c23没有其他候选数,按照上述分析,其组成即为有『wx』中的一个和『yz』中的一个。
也就是说我们可以将{r1c23,r1c5}看作wx数对,{r1c23,r2c1}看作
yz数对,继而这两个“数对”所影响范围的对应数字即可删减。
•这题有比较明显的单链,但用“欠一数对”试试要怎么观察呢?
•因为橙色的23,蓝色至多含有23中的一个,又因为绿色的16,蓝色至多含有16中的一个,蓝色仅含候选数1236,故蓝色组成为16中的一个和23中的一个,{r1c23,r1c5}组成23数对,{r1c23,r2c2}组成16数对。
故可以删除第一行其他格的候选数23,第一宫其他格的候选数16。
Y-Wing(可能与XY-Wing混淆),有的地方称为W-Wing(可能与WXYZ-Wing混淆),本帖采用Y-Wing的名称。
"数对"为蓝色格所示{23},加之第四行数字3,构成Y-Wing,可以删除r5c7与r6c6的候选数2。
M-Wing的结构:
•大家可以对比一下上两图,区别在于r5c2的候选数情况,但是他们的推导过程是相同的。
•橙格仅含候选数ab,即只有2种情况:
1.为b;
2.为a,则绿格不为a->蓝格为a(即蓝格不为b)->紫格为b。
•以链的观点:
r2c7(b)==r2c7(a)--r2c2(a)==r5c2(a)--r5c2(b)==r5c5(b),即r2c7==r5c5为b的强链。
•那么为什么他们会有相同的结论呢?
•因为无论是用什么观点来分析这个结果,用到的都是r5c2是a则不是b,是b则不是a的弱关系观点,而是否存在其他候选数并不影响弱关系的成立。
所以,M-wing的链关系可以总结为右上图。
其中X为任何数。
•涂色四格构成M-Wing的结构,可以删除r6c2的候选数9;
•可以按照以下思路推导:
r6c5有两种情况:
1.为9;
2.为3->r6c7不为3->r3c7为3->r3c7不为4->r3c2为9。
•则r6c5与r3c2至少有一格为9,可以删除它们共同作用格r6c2的9。
R6C4<>8(=49)->R3C4=8(<>5)->R2C4=5->R2C3=2->R5C3=6->R5C7=49->R56C4,R56C7=唯一矩形.即R6C4=8.
看一个Swordfish的例子:
X-Cycle练习题