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复合肥料生产模型

复合肥料生产问题的模型

摘要

在生产和经营管理中，经常遇到要合理的安排生产与库存的问题，达到既要满足社会要求，又要尽量降低成本费用。

因此，正确制定采购和生产策略，确定不同时期的采购量、生产量和库存量，以使总的生产成本费用和库存费用之和最小，使获得利润最大。

本文是以给出的部分数据为基准，通过合理的假设和数学模型得到复合肥料生产模型。

问题一根据复合肥料配比要求，现假设氮肥和磷肥配比为1:

1，把生产过程看作一个6阶段决策问题，建立线性规划模型，根据决策变量，在给定的约束条件下求解使利润最大的最优化目标函数。

 问题二若价格呈线性函数变化，则用线性动态规划求解，若价格变化不符合线性函数，则用非线性的动态规划求解。

问题的结果可由lingo软件结合excel和matlab软件通过画图来求得最优解，进而表示出其变化过程。

关键字：

最优解，决策变量，约束条件，目标函数，线性规划模型，lingo，matlab

问题二根据题目要求，建立线性规划模型。

首先建立目标函数，总利润等于出售总额减去生产成本，生产成本包括材料采购费用与基础费的存储费用。

其次，确定约束条件，每个阶段加工量不超过最大生产限，各个阶段基础费的最大允许存储量，复合肥料所含杂质的限定。

最后，在给定的约束条件下建立线性规划模型，并用lingo软件求解使利润最大的最优化解。

1.问题的提出

某复合肥料由几种基本肥料组合而成，基础肥料有5种，其中氮肥3种：

N1,N2,N3，磷肥2种P1,P2,各种基础肥料由其它化工厂购进，未来半年中各种基础肥料的价格如下：

月份\肥料

P1

P2

N1

N2

N3

一

1650

1800

1950

1650

1725

二

1950

1950

1650

1350

1725

三

1650

2100

1950

1500

1425

四

1800

1650

1800

1800

1875

五

1500

1800

2250

1650

1575

六

1350

1500

2100

1200

2025

对几种基础肥料加工，然后混合为复合肥。

复合肥售价为2250元/吨。

氮肥和磷肥在不同生产线加工，每个月最多可以加工磷肥200吨，氮肥250吨。

加工过程没有重量损失，费用不考虑。

每种基础肥料最多可以存储1000吨备用，存储费用为每吨每月75元。

成品复合肥和加工过的基础肥料不能存储。

对复合肥的杂质指标限制在3－6%个单位之间，假设杂质是线性混合的。

各种基础肥料的杂质含量见下表

基础肥料

P1

P2

N1

N2

N3

杂质（%）

8.8

6.1

2.0

4.2

5.0

为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案。

现存有5种基础肥料每种500吨，要求在6月底仍然有这样多存货。

问题：

价格在市场中变动，考虑到相关的市场的采购费用和存储费用，进行相关的分析，建立模型。

2.问题的分析

根据各原料在一定时期内单价的变动，存储费用是固定的，以各种原料的使用量为决策变量，每个月氮肥和磷肥的最多加工量，基础肥料的最多存储量和复合肥的杂质指标限制为约束条件，建立随机性动态规划模型。

建模的目的是寻求最优的生产计划，使获得利润最大，即生产的成本费用和存储费用之和最小

3．模型的假设

根据复合肥生产中的一些具体要求，并为达到简化问题的目的，我们给出以下假设：

（1）假设成品复合肥和加工过的基础肥料不能存储。

（2）假设杂质在基础肥料中是线性混合的。

（3）假设加工过程中，材料没有重量损失，费用不考虑。

（4）假设氮肥和磷肥的混合比为1:

1的复合肥料，以简化模型（实际舍产有一定的配比）

（5）不考虑其他随机因素的影响。

4．符号的说明

k:

第k月份。

k=1,2,3,4,5,6

j:

分别代表基础肥料P1,P2,N1,N2,N3，j=1,2,3,4,5

:

在第k月份基础肥料j的采购量

:

在第k月份基础肥料j的加工量

：

在第k月份基础肥料j的储存量

：

第k月份的利润

max：

6个月总的最大利润

a%:

基础肥料采购价格的增长率

5．模型的建立与求解

5.1模型的建立

我们的目标是获得利润最大，即使得在满足约束条件的前提下，使不同价格的原料得到充分利用并合理搭配达到成本最低，以使最后的总的售额与各单价与原料选取数量乘积之差最大。

复合肥料生产问题的数学模型为：

（1）确定问题的决策变量：

，

第k月份j原料的使用加工量和贮存量；

（2）问题的目标函数为：

（3）确定问题的约束条件

5.2模型的求解

用动态规划方法来求解，k阶段决策问题，分别求出各阶段的利润，使用Lingo软件的得出最优结果：

max=1650937

6．模型的评价与分析

6.1模型的检验

研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。

考虑如下的价格变化方式：

2月份基础磷肥价格上升a%，基础氮肥价格上升2a%；3月份基础磷肥上升2a%，基础氮肥上升4a%；其余月份保持这种线性的上升势头。

对不同的值a（直到20），用上述模型进行分析有：

（1）取0≤a≤20且a为整数，用lingo软件得出结果为：

a的值

利润

0

2457181

1

2203785

2

2130402

3

22025289

4

2061300

5

2025289

6

1987789

7

1987789

8

1910309

9

1877371

10

1845450

11

1814564

12

1784662

13

1757572

14

1730413

15

1703000

16

1675344

17

1643761

18

1605575

19

1568963

20

1533615

（2）用Excel进行处理得到：

散点图：

柱形图

条形图：

用MATLAB拟和数据得到：

a=0:

20;

f=[2457181,2203785,2130402,2095742,2061300,2025289,1987789,1948855,1910309,1877371,1845450,1814564,1784662,1757572,1730413,1703000,1675344,1643761,1605575,1568963,1533615];

plot（a,f）

6.2模型的分析：

我们的模型完全建立在现有的数据基础上，由于时间紧迫，来不及去更多的试验数据来减少数据误差，并且对于现实情况中原料的价格变动考虑不全，因此降低了模型的实用性。

但我们的数据都是来源于现实，必然对事件有一定的指导意义。

6.3模型的缺点及改进：

针对实际生活中不同农作物对N,P的需求量可能会有偏差，使N,P的选取量在一定的变化范围内，从而使成本最低，得到最有效的复合肥，可以用线性规划的问题进行求解。

6.4模型的推广：

对于复合肥料生产问题研究是很有意义的。

在市场经济物质生产和研发产品的生产活动中，解决用不同材料进行配比制成新物质的生产问题，使其达到优化配置，获得最好的商业效益和最佳利润。

参考文献：

[1]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京，高等教育出版社，2005

[2]《数学模型》编辑组，数学模型，广州，华南理工大学出版社，2003

[3《运筹学》教材编写组，运筹学（第三版），北京，清华大学出版社，2005

[4]数学建模原理与案例/冯杰等编著，北京，科学出版社，2007

[5]姜启源等，数学建模（第三版），北京，高等教育出版社，2003

附件：

（1）用Lingo软件求解最优解程序为

sets:

kinds/1..5/:

x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6;

endsets

f1=@sum（kinds:

y1）*2250-@sum（kinds:

x1+500-y1）*75-x1

（1）*1650-x1

（2）*1800-x1（3）*1950-x1（4）*1650-x1（5）*1725;

@sum（kinds:

y1）*0.03<=y1

（1）*0.088+y1

（2）*0.061+y1（3）*0.02+y1（4）*0.042+y1（5）*0.05;

@sum（kinds:

y1）*0.06>=y1

（1）*0.088+y1

（2）*0.061+y1（3）*0.02+y1（4）*0.042+y1（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1

（2）>=0;

x1（3）+500-y1（3）>=0;

x1（4）+500-y1（4）>=0;

x1（5）+500-y1（5）>=0;

x1

（1）+500-y1

（1）<=1000;

x1

（2）+500-y1

（2）<=1000;

x1（3）+500-y1（3）<=1000;

x1（4）+500-y1（4）<=1000;

x1（5）+500-y1（5）<=1000;

y1

（1）+y1

（2）<=200;

y1（3）+y1（4）+y1（5）<=250;

y1

（1）+y1

（2）=y1（3）+y1（4）+y1（5）;

f2=@sum（kinds:

y2）*2250-@sum（kinds:

500+x1-y1+x2-y2）*75-x2

（1）*1950-x2

（2）*1950-x2（3）*1650-x2（4）*1350-x2（5）*1725;

@sum（kinds:

y2）*0.03<=y2

（1）*0.088+y2

（2）*0.061+y2（3）*0.02+y2（4）*0.042+y2（5）*0.05;

@sum（kinds:

y2）*0.06>=y2

（1）*0.088+y2

（2）*0.061+y2（3）*0.02+y2（4）*0.042+y2（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）>=0;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）>=0;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）>=0;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）>=0;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）<=1000;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2（3）-y2（3）<=1000;

x1（3）+500-y1（3）+x2（4）-y2（4）<=1000;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）<=1000;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）<=1000;

y2

（1）+y2

（2）<=200;

y2（3）+y2（4）+y2（5）<=250;

y2

（1）+y2

（2）=y2（3）+y2（4）+y2（5）;

f3=@sum（kinds:

y3）*2250-@sum（kinds:

500+x1-y1+x2-y2+x3-y3）*75-x3

（1）*1650-x3

（2）*2100-x3（3）*1950-x3（4）*1500-x3（5）*1425;

@sum（kinds:

y3）*0.03<=y3

（1）*0.088+y3

（2）*0.061+y3（3）*0.02+y3（4）*0.042+y3（5）*0.05;

@sum（kinds:

y3）*0.06>=y3

（1）*0.088+y3

（2）*0.061+y3（3）*0.02+y3（4）*0.042+y3（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）+x3

（2）-y3

（2）>=0;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）+x3（3）-y3（3）>=0;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）+x3（4）-y3（4）>=0;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）+x3（5）-y3（5）>=0;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）<=1000;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）+x3

（2）-y3

（2）<=1000;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）+x3（3）-y3（3）<=1000;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）+x3（4）-y3（4）<=1000;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）+x3（5）-y3（5）<=1000;

y3

（1）+y3

（2）<=200;

y3（3）+y3（4）+y3（5）<=250;

y3

（1）+y3

（2）=y3（3）+y3（4）+y3（5）;

f4=@sum（kinds:

y4）*2250-@sum（kinds:

500+x1-y1+x2-y2+x3-y3+x4-y4）*75-x4

（1）*1800-x4

（2）*1650-x4（3）*1800-x4（4）*1800-x4（5）*1875;

@sum（kinds:

y4）*0.03<=y4

（1）*0.088+y4

（2）*0.061+y4（3）*0.02+y4（4）*0.042+y4（5）*0.05;

@sum（kinds:

y4）*0.06>=y4

（1）*0.088+y4

（2）*0.061+y4（3）*0.02+y4（4）*0.042+y4（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）+x4

（1）-y4

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）+x3

（2）-y3

（2）+x4

（2）-y4

（2）>=0;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）+x3（3）-y3（3）+x4（3）-y4（3）>=0;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）+x3（4）-y3（4）+x4（4）-y4（4）>=0;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）+x3（5）-y3（5）+x4（5）-y4（5）>=0;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）+x4

（1）-y4

（1）<=1000;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）+x3

（2）-y3

（2）+x4

（2）-y4

（2）<=1000;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）+x3（3）-y3（3）+x4（3）-y4（3）<=1000;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）+x3（4）-y3（4）+x4（4）-y4（4）<=1000;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）+x3（5）-y3（5）+x4（5）-y4（5）<=1000;

y4

（1）+y4

（2）<=200;

y4（3）+y4（4）+y4（5）<=250;

y4

（1）+y4

（2）=y4（3）+y4（4）+y4（5）;

f5=@sum（kinds:

y5）*2250-@sum（kinds:

500+x1-y1+x2-y2+x3-y3+x4-y4+x5-y5）*75-x5

（1）*1500-x5

（2）*1800-x5（3）*2250-x5（4）*1650-x5（5）*1575;

@sum（kinds:

y5）*0.03<=y5

（1）*0.088+y5

（2）*0.061+y5（3）*0.02+y5（4）*0.042+y5（5）*0.05;

@sum（kinds:

y5）*0.06>=y5

（1）*0.088+y5

（2）*0.061+y5（3）*0.02+y5（4）*0.042+y5（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）+x4

（1）-y4

（1）+x5

（1）-y5

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）+x3

（2）-y3

（2）+x4

（2）-y4

（2）+x5

（2）-y5

（2）>=0;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）+x3（3）-y3（3）+x4（3）-y4（3）+x5（3）-y5（3）>=0;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）+x3（4）-y3（4）+x4（4）-y4（4）+x5（4）-y5（4）>=0;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）+x3（5）-y3（5）+x4（5）-y4（5）+x5（5）-y5（5）>=0;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）+x4

（1）-y4

（1）+x5

（1）-y5

（1）<=1000;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）+x3

（2）-y3

（2）+x4

（2）-y4

（2）+x5

（2）-y5

（2）<=1000;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）+x3（3）-y3（3）+x4（3）-y4（3）+x5（3）-y5（3）<=1000;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）+x3（4）-y3（4）+x4（4）-y4（4）+x5（4）-y5（4）<=1000;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）+x3（5）-y3（5）+x4（5）-y4（5）+x5（5）-y5（5）<=1000;

y5

（1）+y5

（2）<=200;

y5（3）+y5（4）+y5（5）<=250;

y5

（1）+y5

（2）=y5（3）+y5（4）+y5（5）;

f6=@sum（kinds:

y5）*2250-@sum（kinds:

500+x1-y1+x2-y2+x3-y3+x4-y4+x5-y5+x6-y6）*75-x6

（1）*1350-x6

（2）*1500-x6（3）*2100-x6（4）*1200-x6（5）*2025;

@sum（kinds:

y6）*0.03<=y6

（1）*0.088+y6

（2）*0.061+y6（3）*0.02+y6（4）*0.042+y6（5）*0.05;

@sum（kinds:

y6）*0.06>=y6

（1）*0.088+y6

（2）*0.061+y6（3）*0.02+y6（4）*0.042+y6（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）+x4

（1）-y4

（1）+x5

（1）-y5

（1）+x6

（1）-y6

（1）=500;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）+x3

（2）-y3

（2）+x4

（2）-y4

（2）+x5

（2）-y5

（2）+x6

（2）-y6

（2）=500;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）+x3（3）-y3（3）+x4（3）-y4（3）+x5（3）-y5（3）+x6（3）-y6（3）=500;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）+x3（4）-y3（4）+x4（4）-y4（4）+x5（4）-y5（4）+x6（4）-y6（4）=500;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）+x3（5）-y3（5）+x4（5）-y4（5）+x5（5）-y5（5）+x6（5）-y6（5）=500;

y6

（1）+y6

（2）<=200;

y6（3）+y6（4）+y6（5）<=250;

y6

（1）+y6

（2）=y6（3）+y6（4）+y6（5）;

max=f1+f2+f3+f4+f5+f6;

END

（2）检验程序为：

a=0的程序如下：

sets:

kinds/1..5/:

x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6;

a;

endsets

f1=@sum（kinds:

y1）*2250-@sum（kinds:

x1+500-y1）*75-x1

（1）*1650-x1

（2）*1800-x1（3）*1950-x1（4）*1650-x1（5）*1725;

@sum（kinds:

y1）*0.03<=y1

（1）*0.088+y1

（2）*0.061+y1（3）*0.02+y1（4）*0.042+y1（5）*0.05;

@sum（kinds:

y1）*0.06>=y1

（1）*0.088+y1

（2）*0.061+y1（3）*0.02+y1（4）*0.042+y1（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1

（2）>=0;

x1（3）+500-y1（3）>=0;

x1（4）+500-y1（4）>=0;

x1（5）+500-y1（5）>=0;

x1

（1）+500-y1

（1）<=1000;

x1

（2）+500-y1

（2）<=1000;

x1（3）+500-y1（3）<=1000;

x1（4）+500-y1（4）<=1000;

x1（5）+500-y1（5）<=1000;

y1

（1）+y1

（2）<=200;

y1（3）+y1（4）+y1（5）<=250;

y1

（1）+y1

（2）=y1（3）+y1（4）+y1（5）;

f2=@sum（kinds:

y2）*2250-@sum（kinds:

500+x1-y1+x2-y2）*75-x1

（1）*1650-x2

（2）*1800-x2（3）*1950-x2（4）*1650-x2（5）*1725;

@sum（kinds:

y2）*0.03<=y2

（1）*0.088+y2

（2）*0.061+y2（3）*0.02+y2（4）*0.042+y2（5）*0.05;

@sum（kinds:

y2）*0.06>=y2

（1）*0.088+y2

（2）*0.061+y2（3）*0.02+y2（4）*0.042+y2（5）*0.05;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2

（2）-y2

（2）>=0;

x1（3）+500-y1（3）+x2（3）-y2（3）>=0;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）>=0;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）>=0;

x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）<=1000;

x1

（2）+500-y1

（2）+x2（3）-y2（3）<=1000;

x1（3）+500-y1（3）+x2（4）-y2（4）<=1000;

x1（4）+500-y1（4）+x2（4）-y2（4）<=1000;

x1（5）+500-y1（5）+x2（5）-y2（5）<=1000;

y2

（1）+y2

（2）<=200;

y2（3）+y2（4）+y2（5）<=250;

y2

（1）+y2

（2）=y2（3）+y2（4）+y2（5）;

f3=@sum（kinds:

y3）*2250-@sum（kinds:

500+x1-y1+x2-y2+x3-y3）*75-x3

（1）*1650-x3

（2）*1800-x3（3）*1950-x3（4）*1650-x3（5）*1725;

@sum（kinds:

y3）*0.03<=y3

（1）*0.088+y3

（2）*0.061+y3（3）*0.02+y3（4）*0.042+y3（5）*0.05;

@sum（kinds:

y3）*0.06>=y3

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x1

（1）+500-y1

（1）+x2

（1）-y2

（1）+x3

（1）-y3

（1）>=0;

x1

（2）+500-y1