初中数学几何经典题.docx

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初中数学几何经典题

初中数学几何经典题

、三角形中为中线为上任意一点,过的直线交于.交于,若，求证

题图题图

、在三角形中,延长至,延长至,使,连接,求为等边

、已知三角形中、分别为、上的点，且，三角形为等边三角形，求证

、已知在三角形中是边上的中线是上的一点,且,延长交与,求证

、在△中，是边中点，是上一点，的延长线分别交于

求证：

平行。

、已知：

在△和△'''中，'',''，''分别是△和△'''的中线，且''.

、四边形为菱形，为的中点，⊥，∠＝º，求∠的度数

、已知：

是正方形内的一点，且∠∠°，

求证：

△是等边三角形

、在三角形中,经过的中点,有垂直相交于的两条直线,它们与分别交于、，求证，＞

、是等腰直角三角形的斜边，若点在边上，点在边上，沿直线把△翻折，使点落在上设其落点

（）.如图一，当是的中点时，求证：

（）.如图二当不是中点时，结论是否成立？

若成立，请给出证明

、三角形中，，和分别是三角形的重心和内心，若平行于,则的值是多少？

、已知：

位△内的两点

求证：

>

、在三角形中是边上的中点与相交于点与的长度有什么关系边上的中线是否一定过点？

为什么？

、三角形中线分别为求三角形面积

、在△中∠°，⊥于，是的中点，延长交于，过作⊥于。

求证：

²*

、已知为平行四边形的边上的任一点，延长线交延长线与，求证△△。

、等腰直角三角形，角为°，，两点为斜边上的动点，角°，当合重合或和重合时，线段的长度等于

当不重合时，<.

.证明：

过点作的平行线交分别于''点；再分别过'两点分别作的平行线分别交（或延长线）于''两点。

由''平行得：

'',即''.且''

由三角形'全等三角形''得：

'''.所以，'''

由三角形''相似三角形'得：

'''',即''''

所以：

'

由三角形'相似三角形得：

'

而

所以：

'

所以：

.证明：

过点作的平行线交的延长线于点。

则∠∠∠∠，即∠∠.

又因为：

四边形是梯形

所以：

而

所以：

又因为：

∠∠

所以：

三角形和三角形全等

所以：

∠∠

所以：

∠∠∠°

所以：

三角形是等边三角形。

.证明:

过点作的垂线,交于点，过点作的垂线是垂足，再过点作的垂线是垂足。

则：

四边形是矩形，有.

而由△是等腰三角形得知,

所以：

（）.

又由于角°，

所以：

∠°

所以：

（）

所以：

而在直角△中，由于∠∠°

所以：

∠∠°

所以：

所以：

即：

.证明：

如图，连接,取的中点的中点，连接

则：

所以：

角∠，

而∠∠，∠∠∠

所以；∠∠

所以：

.

.证明：

分别过两点作的平行线分别交的延长线于两点。

则：

四边形是平行四边形。

由‖‖,得：

.（相似三角形对应边成比例）

而

所以：

所以：

‖

而‖

所以：

‖.

.求证：

△≌△'''

证明：

分别过'点作‖''‖''.交''的延长线于'点。

则：

△≌△,△'''≌△'''

所以：

''''；,''''.

所以：

'',''

所以：

△≌△'''

所以：

角∠'角角'''

所以：

角角'''

所以：

△≌△'''

.解：

连接,交于点，过作的垂线，垂足为,过作的平行线交于.

因为：

角°，∠°

所以：

∠°。

由∠∠°知四点共元，所以∠∠°

由‖‖知：

∠∠（）∠°

所以：

∠°°°°

而：

∠∠°

所以：

∠°°°°

由于：

不难证明∠∠（过程略）

所以：

∠°

.证明：

过点作的平行线,交于点，交于点，以为角顶点，为角的一边，向正方形内作∠°，角的一边交于点。

设√，则：

,√，√,

由角平分线定理得：

即：

（）（√）

解得：

（√）

所以：

（√）[（√）]

在△中由勾股定理得：

√（²²）√

而：

所以√

即：

△是等边三角形。

.证明：

如图，延长到',使',则：

',

由△'≌△得：

'

在△'中，有'>'

等量代换得：

>

.（）、证明：

因为是中点，

所以：

因为：

点是点沿直线折叠的落点，

所以：

垂直平分,

所以：

由得∠∠°

所以：

所以：

所以：

（）、结论仍然成立。

证明：

过点分别作的垂线是垂足。

过作垂直是垂足。

则：

△（）*（）*

△（）*（）*

而

所以：

由∠∠°知四点共元

所以：

∠∠

所以：

△∽△

所以：

而

所以：

所以：

.解：

设内心到三边的距离为，边上的高为,

如图。

因为‖

所以：

而：

△（）*（）（）

△△△△（））（）

所以：

（）（））（）

解得：

.证明：

设直线交于,交于,则：

在△中，有>

在△中，有>

在△中，有>

所以：

三个不等式两边相加得>

即：

>

.答：

边上的中线过点。

证明：

连接,设分别是的中点，连接,则：

平行并等于的一半，平行并等于的一半

所以：

平行并等于

所以：

四边形是平行四边形

所以：

所以：

所以：

延长交于,延长交于,延长交于,则：

由‖‖得知

所以；

所以；边上的中线过点。

.解：

过点作的平行线，交于点，

则：

（）,,（三角形中位线定理，三中线交点分中线性质）

而：

所以：

三角形是直角三角形，即⊥.

所以：

△（）**,

所以：

△△（同高等底的两个三角形面积相等）

所以：

△

.证明：

如图，延长交于.

因为：

‖

所以：

所以：

而：

所以：

由于：

角∠°

所以：

四点共圆

所以：

**

所以：

^*

证明:

分别过两点作的垂线是垂足。

设

由△∽△得：

.即（）（）

也就是（）（因为，有）

由△∽△得：

（）

所以：

（）*（）

而：

△（）*

△（）*

所以：

△△**

所以：

△△

两边同时减去△得：

△△。

.证明：

不重合时。

以点为顶点，为一边向△的外侧作∠'，使∠'∠.截取'.

又因为：

.

所以：

△'≌△

所以：

'

因为:

∠°，∠°。

所以：

∠∠°。

所以：

∠'∠'∠°∠.

又'

所以：

△'≌△

所以'

在△'中，有'<'

而''

所以：

<

重合时，证明（略）

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