数的整除性习题.docx
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数的整除性
(二)
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起,第1,3,5,…位称为奇数位,第2,4,6,…位称为偶数位。
也就是说,个位、百位、万位……是奇数位,十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中,奇数位与偶数位如下图所示:
能被11整除的数的特征:
一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大数减小数)如果能被11整除,那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解:
奇数位上的数字之和为1+3+6+3=13,偶数位上的数字之和为8+9+7=24,因为24-13=11能被11整除,所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征,也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数,与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和,那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍,使其大于偶数位上的数字之和。
例2求下列各数除以11的余数:
(1)41873;
(2)296738185。
分析与解:
(1)[(4+8+3)-(1+7)]÷11
=7÷11=0……7,
所以41873除以11的余数是7。
(2)奇数位之和为2+6+3+1+5=17,偶数位之和为9+7+8+8=32。
因为17<32,所以应给17增加11的整数倍,使其大于32。
(17+11×2)-32=7,
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是,当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时,为了计算方便,也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和,再除以11,所得余数与11的差即为所求。
如上题
(2)中,(32-17)÷11=1……4,所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解:
奇数位是101个1,偶数位是100个9。
(9×100-1×101)÷11
=799÷11=72……7,
11-7=4,所求余数是4。
例4用3,3,7,7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数?
解:
只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。
有3377,3773,7337,7733。
例5用1~9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解:
最大的没有重复数字的九位数是987654321,由
(9+7+5+3+1)-(8+6+4+2)=5
知,987654321不能被11整除。
为了保证这个数尽可能大,我们尽量调整低位数字,只要使奇数位的数字和增加3(偶数位的数字和自然就减少3),奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5+3×2=11,这个数就能被11整除。
调整“4321”,只要4调到奇数位,1调到偶数位,奇数位就比原来增大3,就可达到目的。
此时,4,3在奇数位,2,1在偶数位,后四位最大是2413。
所求数为987652413。
练习
1.为使五位数6□295能被11整除,□内应当填几?
2.用1,2,3,4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数?
3.求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4.求下列各数除以11的余数:
(1)2485;
(2)63582;(3)987654321。
5.求除以11的余数。
6.六位数5A634B能被33整除,求A+B。
7.七位数3A8629B是88的倍数,求A和B。
8. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.
9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.
10、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.
11、在1992后面补上三个数字,组成一个七位数,使它们分别能被2、3、5、11整除,这个七位数最小值是多少?