数学实验概率论与数理统计分册习题1.docx
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数学实验概率论与数理统计分册习题1
数学实验
概率论与数理统计分册习题
第1章古典概率
2．碰运气能否通过英语四级考试
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。
这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。
除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D四个选项。
这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?
解：
假设学生作文得满分，即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。
则该同学通过考试的概率为：
P=
>>nchoosek（85,40）*（1/4）^45*（3/4）^40
ans=
2.3448e-008
即：
由此可见，即使该同学作文满分，靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。
3.在区域H＝{（x，y）|（x，y）∈Q，x2+y2≤1}，Q＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：
解：
积分区域如右图所示：
>>n=10000;%模拟次数
x=rand（n,1）;%点的x坐标
y=rand（n,1）;%点的y坐标
m=sum（sin（x+y）./（x+y）&x.^2+y.^2<=1）;
Vn=m/n%落到所求面积内的点的频率，
即概率的模拟值
Vn=
0.7891
第2章随机变量及其分布
4．公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。
根据统计资料，成年男子的身高X服从均值为168厘米，方差为7厘米的正态分布，那么车门的高度应该至少设计为多少厘米？
解：
>>norminv（0.99,168,7）
ans=
184.2844
则车门的高度应该至少设计为184.3厘米
5．某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除。
试问：
（1）为保证当仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，至少要配多少个维修工人？
（2）若一人包修20台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？
（3）若由3人共同负责维修80台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？
解：
（1）设X表示300台仪器中发生故障的台数，则X
B（300，0.01），设b为需要配备的维修工人数，则应有P{X>b}≤0.01，即
，由于n=300较大，p=0.01较小，根据泊松定理，可以用λ=np=3的泊松分布近似计算。
用Matlab计算：
>>poissinv（0.99,3）
ans=
8
所以为达到要求至少需配备8名维修工人。
（2）设Y表示20台仪器中发生故障的台数，则Y~B（20，0.01）。
若在同一时刻发生故障的仪器数Y≥2，则一个工人不能维修，此概率为
，用Matlab计算：
>>1-0.99^20-nchoosek（20,1）*0.01*0.99^19
ans=
0.0169
则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0169。
（3）设Z表示80台仪器中发生故障的台数，则Z~B（80，0.01）。
若在同一时刻发生故障的仪器数Z≥4，则由三个工人共同负责保修时不能及时维修，此概率为
用Matlab计算：
>>1-0.99^80-nchoosek（80,1）*0.01*0.99^79-nchoosek（80,2）*0.01^2*0.99^78-nchoosek（80,3）*0.01^3*0.99^77
ans=
0.0087
则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0087。
6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N（m，b2），其中b已知，m可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m的值使得厂方损失最小？
解：
假设b=1
【实验方案】
1．设定x为产品包装后的重量，依题意x为一随机变量，且服从正态分布N（m，b2），概率密度函数为：
，（－∞0为已知，m待定。
当成品重量M给定后，记：
P＝P（x≥M）＝
P’＝P（x故而有：
P＋P’＝1
由以上分析，可将上式的第一项作为目标函数J（m）：
J（m）＝
，P（m）表示概率P＝P（x≥M）是m的函数
分析题意可知，厂方损失Y由两部分组成：
（1）x≥L时，多余部分，重量为（x－L）；
（2）xY＝
＝m－MP
2．上式中的Y即为没生产一袋糖果所损失的平均重量，所以生产N袋糖果，得到NP袋成品，损失总重量为（mN－MNP），因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J1为：
J1＝
3．求函数J（m）的最小值点即可。
4．问题的简化：
设F（x）为正态分布N（m，b2）的分布函数，Φ（x）为标准正态分布的分布函数，则，
J（m）＝
＝
＝
令c＝
，d＝
，z＝d－c则上式可简化为：
J（z）＝
【实验过程】
1．生成目标函数：
在Matlab的Medit建立文件Jmin．m：
functionJ=Jmin（m）
J=m/（1-normcdf（（500-m）,0,1））;
2．画目标函数的图形：
在Matlab的Medit窗口建立文件figer．m：
form=5000:
0.001:
510
J=Jmin（m）;
plot（m,J）
holdon
end
运行结果为：
从目标函数的图形可以看出，函数在500到505内取得最小值，而且当自变量向500逼近时，函数图像值急剧上升，自变量从503开始以后，函数图像接近于一条直线。
3．目标函数的最小值和最小值点的计算：
在Matlab的Medit建立文件minwaste．m：
min=600;
minm=0;
form=500:
0.001:
530
J=Jmin（m）;
ifJ<=min
min=J;
minm=m;
end
end
wasteaverage=min-500;
minm,min,wasteaverage
运行后运行结果为：
minm=
503.2570
min=
503.5405
wasteaverage=
3.5405
即当m=503.2570时，目标函数值最小，最小值为503.5405，此时，生产一袋成品所损失糖果的平均重量J1=3.5405。
第3章 随机变量的数字特征
1．设有标着1，2，…，9号码的9只球放在一个盒子中，从其中有放回地取出4只球，重复取100次，求所得号码之和X的数学期望及其方差。
解：
在MATLAB命令窗口输入：
>>n=100;
sele=[];
forii=1:
n
sort=randperm（9）;
sele（:
ii）=sort（1:
4）;
end
sigma=sum（sele）;
Ex=mean（sigma）,Dx=var（sigma）
输出结果为：
Ex=
19.7000
Dx=
15.5051
2．假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量
是随机变量（单位：
吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布。
如果售出一吨，可获利3万元，而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大?
解：
每年生产该商品x吨，收益为y，故y与需求量
有关，也于生产量x有关，即：
而x的密度函数
，
通过对
求导，令
得到当
吨时,
达到最大值8250万元。
在Matlab命令窗口输入：
>>symsxz
ita1=3*x;%xita2=3*z-（x-z）;%x>z
phix=1/2000;
Eita=simplify（int（（ita2）*（phix）,z,2000,x）+int（（ita1）*（phix）,z,x,4000））
dif=diff（Eita,x）
x=solve（dif）
E=eval（Eita）
输出结果为
Eita=
7*x-x^2/1000-4000
dif=
7-x/500
x=
3500
E=
8250
3．某厂生产的某种型号的细轴中任取20个，测得其直径数据如下（单位：
mm）：
13.26，13.63，13.13，13.47，13.40，13.56，13.35，13.56，13.38，13.20，
13.48，13.58，13.57，13.37，13.48，13.46，13.51，13.29，13.42，13.69
求以上数据的样本均值与样本方差。
解：
在MATLAB命令窗口输入：
X=[13.26,13.63,13.13,13.47,13.40,13.56,13.35,13.56,13.38,13.20,13.48,13.58,13.57,13.37,13.48,13.46,13.51,13.29,13.42,13.69];
j=mean（X）,f=var（X）
输出结果为：
j=
13.4395
f=
0.0211
4．将一枚硬币重复掷n次，并以X，Y分别表示出现正面和反面的次数．求X和Y的相关系数。
解：
用MATLAB模仿掷硬币过程，程序如下：
>>n=1000;%试验次数
fori=1:
1:
n
x（i）=binornd（1,0.5）;
end;
z=sum（x）%正面朝上次数
f=n-z%反面朝上次数
s=corrcoef（z,f）%相关系数
输出结果：
z=
499
f=
501
s=
1
5．设某小型水电站一天的供电量X（kWh）在[100，200]上均匀分布，而当地人们的需求量Y在[100,250]上均匀分布。
设水电站每供电1kWH有利润0.2元；若需求量超过供电量，则水电站可以从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWH有利润0.1元。
求该水电站在一天内利润的数学期望。
解：
由于X，Y独立，可知（X,Y）的联合密度为
利润函数为：
因此，平均利润为：
下面我们确定有效的积分区域，有效的积分区域应该使得
，所以得到如下的图形：
D1表示
，D2表示Y>X，所以
在Matlab命令窗口输入：
symsxy
ita1=0.2*y/15000;
ita2=0.1*（x+y）/15000;
a=int（int（ita1,y,100,x）,x,100,200）+int（int（ita2,y,x,250）,x,100,200）
c=vpa（a,4）%得到4位近似解，也可以任意N位解
输出结果为：
a=
565/18
c=
31.39
6．甲、乙两组各有6位同学参加同一次测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
解：
这道题是要比较两组的方差大小。
在Matlab命令窗口输入：
>>A=[95,85,75,65,55,45];
B=[73,72,71,69,68,67];
EA=mean（A）,StdA=std（A,1）
EB=mean（B）,StdB=std（B,1）
输出结果为：
EA=
70
StdA=
17.0783
EB=
70
StdB=
2.1602
7．将
只球（1～
号）随机地放到
只盒子（１～
号）中去，一只盒子装一只球。
若一只球装入与它同号的盒子中，称为一个配对，记
为总的配对数，求
。
解：
引进随机变量
i=1,2,…,n
则总配对数为
的分布列为：
1
0
P
E（
）=
i=1,2,…,n
i=1,2,…,n
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