AB·DF=AC·EF。
二、作垂线
例3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证:
。
三、作延长线
例4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积。
例5.如图,Rt
ABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG
AB于G,求证:
FG
=CF
BF
四、作中线
例6如图,
中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。
五、过渡法(或叫代换法)
有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活地运用“过渡”,其主要类型有三种,下面分情况说明.
1、等量过渡法(等线段代换法)
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时,即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上,不能组成三角形,或四条线段虽然组成两个三角形,但这两个三角形并不相似,那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段,如果没有,可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当,问题往往可以得到解决。
当然,还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1:
如图3,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证:
DE2=BE·CE.
2、等比过渡法(等比代换法)
当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换时,可以考虑用等比代换法,即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是通过对已知条件或图形的深入分析,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形。
例2:
如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点F.求证:
.
3、等积过渡法(等积代换法)
思考问题的基本途径是:
用三点定形法确定两个三角形,然后通过三角形相似推出线段成比例;若三点定形法不能确定两个相似三角形,则考虑用等量(线段)代换,或用等比代换,然后再用三点定形法确定相似三角形,若以上三种方法行不通时,则考虑用等积代换法。
例3:
如图5,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,G是DC延长线上一点,过B作BE⊥AG,垂足为E,交CD于点F.
求证:
CD2=DF·DG.
六、证比例式和等积式的方法:
对线段比例式或等积式的证明:
常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比“转移”(必要时需添辅助线),使其分别构成两个相似三角形来证明.
例1 如图5在△ABC中,AD、BE分别是BC、AC边上的高,DF⊥AB于F,交AC的延长线于H,交BE于G,求证:
(1)FG/FA=FB/FH
(2)FD是FG与FH的比例中项.
例2 如图在△ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD的中点,CM的延长线交AB于N.求:
AN:
AB的值;
例3 如图过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM∥FC交AB于点M.
(1)若S△AEF:
S四边形MDEF=2:
3,求AE:
ED;
(2)求证:
AE×FB=2AF×ED
第四节相似三角形难题集
一、分类讨论:
例1 如图在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,Q在线段BC上,当BQ为何值时,△ADP与△QCP相似?
例2 如图在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P的位置,使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.
二:
相似三角形中的动点问题:
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.
2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.
(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.
3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.
(1)当AD=CD时,求证:
DE∥AC;
(2)探究:
AD为何值时,△BME与△CNE相似?
4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)△APQ与△CQB能否相似?
若能,求出AP的长;若不能说明理由.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
三、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式.
7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:
MC:
NC=AP:
PB.
9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为()
A.B.
C.D.
10..已知,如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
四、构造相似辅助线——A、X字型
11.如图:
△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。
求证:
12.四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB。
求证:
13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,发现如下事实:
(1)当时,EF=;
(2)当时,EF=;
(3)当时,EF=.当时,参照上述研究结论,请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论,并给出证明.
14.已知:
如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两点,且BE=EF=FC。
求BN:
NQ:
QM.
15.证明:
(1)重心定理:
三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.(注:
重心是三角形三条中线的交点)
(2)角平分线定理:
三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.
5、相似类定值问题
16.如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.
求证:
.
17.已知:
如图,梯形ABCD中,AB//DC,对角线AC、BD交于O,过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。
求证:
.
18.如图,在△ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证:
.
19.已知,在△ABC中作接菱形CDEF,设菱形的边长为a.求证:
.
六:
相似之共线线段的比例问题
20.
(1)如图1,点在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交于点.求证:
(2)如图2,图3,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时,是否仍然成立?
若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);
21.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:
BP2=PE·PF.
22.如图,已知ΔABC中,AD,BF分别为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。
求证:
DE2=EG•EH
23.已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
求证:
七、相似之等积式类型综合
24.已知如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。
求证:
25如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.
求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)
26.
如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)求证:
.
(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?
并说明理由.
27.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:
.
28.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证:
(1)DG2=BG·CG;
(2)BG·CG=GF·GH
八、相似基本模型应用
29.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.
(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:
△BEM∽△CNE;
(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除
(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.
30.如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求BP:
PQ:
QR.
31.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证: