全等三角形的概念及性质学案横版.docx
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全等三角形的概念及性质学案横版
全等三角形的概念及性质
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
全国新课标
课时时长(分钟)
60分钟
知识点
1、全等三角形的基本概念
2、全等三角形的性质
学习目标
1.通过实例理解全等图形的概念和特征,并能找出全等图形。
2.能叙述全等三角形的定义及相关概念,并能找出两个全等三角形的对应边和对应角。
3.掌握全等三角形的性质,会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决一些实际问题。
学习重点
全等三角形的概念及性质
学习难点
全等三角形的对应顶点要对应写,对应关系要明确
学习过程
一、复习预习
复习多边形的概念及其对角线、内外角和。
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
2、多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
①从n边形的一个顶点出发,可以画
条对角线,将多边形分成n--2个三角形.②n边形一共有
条对角线。
3、多边形的内角和公式:
n边形的内角和为
(n≥2)。
4、多边形的外角和定理:
多边形的外角和等于360°。
二、知识讲解
1、全等三角形的基本概念:
(1)全等形的定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
(2)全等三角形的定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边。
重合的角叫做对应角。
(3)全等三角形的表示方法:
△ABC≌△A’B’C’
2、全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)全等三角形的对应角相等。
考点/易错点1
注意:
对应边,对应角,对边,对角,夹边,夹角容易混淆。
对应边或对应角是对对应的两个三角形说的,是两条边之间或两个角之间的关系,而对边、对角是对同一个三角形中的边和角说的,对边是对某个角说的,对角是对某条边说的,夹边是已知两个角的公共边,夹角是已知两条边所形成的角。
三、例题精析
【例题1】
【题干】下列说法正确的有()
1用一张底片冲洗出来的10张一寸相片是全等形
2我国国旗上的4颗小五星是全等形
3所有的正方形是全等形
4全等形的面积一定相等
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同,它们是全等形,所以①正确;我国国旗上的四颗小五星的形状和大小也完全相同,它们也是全等形;所以②正确;所有的正方形只是形状相同,但大小不一定相同,所以它们不是全等形,所以③不正确;全等形的形状和大小完全相同,所以面积一定相等,所以④正确。
因此,①②和④是正确的,故选C。
【例题2】
【题干】已知:
如图2,△ABD≌△CDB,若AB∥CD,则AB的对应边是()
A.DBB.BCC.CDD.AD
【答案】C
【解析】由于对应边一定是全等三角形能够重合的边,所以对应边一定相等才可能重合,而DB、BC、AD都不等于AB,所以都不是AB的对应边,所以,AB的对应边是CD。
答案选(C)。
【例题3】
【题干】观察图3中的个各个图形,其中的全等图形为(图形用编号表示):
_______________。
【答案】
(1)和(6),
(2)和(5),(3)和(8)。
【解析】
(1)和(6)通过平移能够重合,所以
(1)和(6)是全等形;
(2)和(5)通过翻折、平移后能够重合,所以
(2)和(5)是全等形;(3)和(8)是通过旋转、平移后能够重合,所以(3)和(8)是全等形。
因此,本题中的全等形为
(1)和(6),
(2)和(5),(3)和(8)。
【例题4】
【题干】如图4,已知⊿ABD≌⊿ACE,AB=AC,写出这对全等三角形的对应边和对应角。
【答案】∠A与∠A,∠ADB与∠AEC,∠B与∠C是对应角,AB与AC,BD与CE,AD与AE是对应边。
【解析】因为AB=AC,所以∠ADB与∠AEC是对应角,因为∠A=∠A,所以∠A与∠A是公共角,根据三角形的内角和定理180°-∠A-∠ADB=180°-∠A-∠AEC,可得∠B=∠C,所以∠B与∠C是对应角;根据对应角所对的边是对应边,可以知道,AD与AE是对应边,BD与CE对应边。
综上可得,∠A与∠A,∠ADB与∠AEC,∠B与∠C是对应角,AB与AC,BD与CE,AD与AE是对应边。
【例题5】
【题干】如图5,已知⊿ABE≌⊿ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角。
【答案】AB与AC,AE与AD,BE与CD。
【解析】将两个全等的三角形⊿ABE和⊿ACD分离出来,如图5,因为∠1=∠2,∠B=∠C,所以另一组对应角为∠BAE=∠CAD;又因为∠B和∠C的对边分别是AE,AD,∠1和∠2的对边分别是AB和AC,所以它们的对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD。
【例题6】
【题干】如图7,⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于M、N,有如下结论:
1⊿ACE≌⊿DCB;②CM=CN;③AC=DN,其中正确结论的个数是()
A.3个B.2个C.1个D.0个
【答案】B。
【解析】∵⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形,
∴CA=CD,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°,
∴到把⊿ACE绕点C旋转60°后与⊿DCB重合
∴⊿ACE≌⊿DCB
∴∠AEC=∠DBC
∵∠DCN=60°,∠BCN=∠ECM=60°,
∴180°-∠AEC-∠DCE=180°-∠DBC-∠ECB
∴∠CME=∠CNB
又因为CE=CB
∴把⊿MCE绕点C旋转60°后与⊿NCB重合
∴⊿MCE≌⊿NCB
∴CM=CN
∴选B。
【例题7】
【题干】如图8,⊿ABC绕顶点A顺时针旋转,若∠B=20°,∠C=50°。
(1)顺时针旋转多少度时,旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上;
(2)在继续旋转多少度时,C,A,C’在同一直线上(原⊿ABC是指开始位置)。
【答案】
(1)110°,
(2)70°。
【解析】
(1)如图9所示:
∵∠B=20°,∠C=50°,且∠B+∠C+∠CAB=180°
∴∠CAB=180°-20°-50°=110°
∴⊿ABC绕顶点A顺时针旋转110°时,旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上。
(2)如图10所示:
∵C,A,C’在同一直线上
∴∠CAC’=180°
180°-110°=70°
【例题8】
【题干】如图11,若⊿ABC≌⊿DCB,且A与D,B与C是对应点,进行怎样的图形变换可使这两个三角形重合呢?
【答案】先将⊿ABC沿BC翻折180°,再将⊿ABC绕点C旋转180°,最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位长度,如图14,⊿ABC和⊿DCB重合。
【解析】根据两个全等三角形的边角对应关系,首先将⊿ABC沿BC翻折180°,再把⊿ABC绕点C旋转180°,最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位就可使得两个三角形重合。
四、课堂运用
【基础】
1、已知△ABC≌△DEF,∠A=50°,∠B=75°,则∠F的大小为()
A.50°B.55°C.65°D.75°
2、如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是()
3、(2011•呼伦贝尔)如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为( )
A.20°B.30°C.35°D.40°
4、(2009•海南)已知图中的两个三角形全等,则∠α的度数是( )
A.72°B.60°C.58°D.50°
5、如图,在△ABC中,D、E分别是AB,BC上的点,若△ACE≌△ADE≌△BDE,则∠ABC=( )
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
6、如图所示,若△ABE≌△ACF,且AB=5,AE=3,则EC的长为( )
A.2
B.3
C.5
D.2.5
7.如图,△ABC≌△DEF,DF和AC,FE和CB是对应边.若∠A=100°,∠F=47°,则∠DEF等于( )
A.100°
B.53°
C.47°
D.33°
【巩固】
1.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C=_______度.
2.已知△ABC≌△DEF,且∠A=100°,∠E=35°,则∠F=( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.70°
3.如图,在直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(4,4),∠OAB=90°,有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边,请写出这些直角三角形未知顶点的坐标
.
【拔高】
1.已知△ABC与△DEF全等,∠A=∠D=90°,∠B=37°,则∠E的度数是( )
A.37°
B.53°
C.37°或63°
D.37°或53°
2.已知△DEF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4 cm,则△DEF的边中必有一条边等于_________
3.如图7,⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于M、N,有如下结论:
①⊿ACE≌⊿DCB;②CM=CN;③AC=DN,其中正确结论的个数是()
A.3个B.2个C.1个D.0个
4.如图8,⊿ABC绕顶点A顺时针旋转,若∠B=200,∠C=500。
(1)顺时针旋转多少度时,旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上;
(2)再继续旋转多少度时,C,A,C’在同一直线上(原⊿ABC是指开始位置)。
五、课程小结
1.全等三角形的基本概念
2.全等三角形的性质