九年级数学上册知识点归纳.docx

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九年级数学上册知识点归纳

22.1一元二次方程

知识点一一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：

ax²+bx+c=0（a≠0）.其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2降次——解一元二次方程

22.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

〔1〕如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x²=a（a≥0）的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.〔2〕直接开平方法适用于解形如x²=p或（mx+a）²=p（m≠0）形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

〔3〕用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

〔4〕直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：

一移、二除、三配、四开。

〔1〕把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷假设等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

22.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

〔1〕一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），如果b²-4ac≥0，那么方程的两个根为x=

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

〔2〕一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的过程。

〔3〕公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：

ax²+bx+c=0（a≠0），一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b²-4ac的值；④假设b²-4ac≥0，那么把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，假设b²-4ac＜0，那么方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b²-4ac.

△＞0，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根

一元二次方程△=0，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根

根的判别式

△＜0，方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实数根

22.2．3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

〔1〕把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

〔2〕因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用适宜的方法解一元一次方程

方法名称理论依据适用围

直接开平方法平方根的意义形如x²=p或〔mx+n〕²=p（p≥0）

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法当ab=0，那么a=0或b=0一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。

22.2.4一元二次方程的根与系数的关系

假设一元二次方程x²+px+q=0的两个根为x1,x2,那么有x1+x2=-p,x1x2=q.

假设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1,x2,那么有x1+x2=-b/a，,x1x2=c/a

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

〔1〕审：

是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是量，哪些是未知量以与它们之间的等量关系。

〔2〕设：

是指设元，也就是设出未知数。

〔3〕列：

就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

〔4〕解：

就是解方程，求出未知数的值。

〔5〕验：

是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

〔6〕答：

写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

〔1〕数字问题三个连续整数：

假设设中间的一个数为x，那么另两个数分别为x-1，x+1。

三个连续偶数〔奇数〕：

假设中间的一个数为x，那么另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：

设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，那么这个三位数是100a+10b+c.

〔2〕增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，那么经过两次的增长或降低后的等量关系为a〔1

〕²=b。

〔3〕利润问题利润问题常用的相等关系式有：

①总利润=总销售价-总本钱；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=本钱×利润率

〔4〕图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数

1.定义：

一般地，如果y=ax²+bx+c〔a,b,c是常数,

〕，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=ax²的性质

（1）抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y=ax²的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：

y=a（x-h）²+k的形式，其中h=-b/2a,k=4ac-b²/4a.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax²；②y=ax²+k；③y=a（x-h）²；④y=a（x-h）²+k；⑤y=ax²+bx+c.

6.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状一样.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

，∴顶点是

，对称轴是直线

.

（2）配方法：

运用配方法将抛物线的解析式化为

的形式，得到顶点为（h,k），对称轴是

.

（3）运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失★

9.抛物线

中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向与开口大小，这与

中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线

的对称轴是直线

故：

①b=0时，对称轴为y轴；

②

（即a、b同号）时,对称轴在y轴左侧；③

（即a、b异号）时,对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线

与y轴交点的位置.

当x=0时，y=c，∴抛物线

与y轴有且只有一个交点（0，c）：

1c=0，抛物线经过原点;②c＞0,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，那么

.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

x=0（y轴）〔0,0〕

当a＞0时x=0（y轴）（0,k）

开口向上x=h（h,0）

当a＜0时x=h（h,k）

开口向下

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：

.图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：

.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：

图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

.

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线

得交点为（0,c）

（2）与y轴平行的直线x=h与抛物线

有且只有一个交点（h,

）.

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数

的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①两个交点

抛物线与x轴相交；

2一个交点（顶点在x轴上）

抛物线与x轴相切；

③没有交点

抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，那么横坐标

是的两个实数根.

（5）一次函数

的图像l与二次函数

的图像G的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时

l与G有两个交点;

3程组只有一组解时

l与G只有一个交点；

4程组无解时

l与G没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：

假设抛物线

与x轴两交点为

，由于

、

是方程

的两个根，故

13．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程

就是二次函数

当函数y的值为0时的情况．

（2）二次函数

的图象与x轴的交点有三种情况：

有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象

与x轴有交点时，交点的横坐标就是当

时自变量x的值，即一元二次方程

的根．

（3）当二次函数

的图象与x轴有两个交点时，那么一元二次方程

有两个不相等的实数根；当二次函数

的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程

有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x轴没有交点时，那么一元二次方程

没有实数根

14.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：

分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．

15.解决实际问题时的根本思路：

（1）理解问题；

（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进展求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面，把一个平面图形绕着平面某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：

〔1〕对应点到旋转中心的距离相等；〔2〕对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；〔3〕旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

〔1〕图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

〔2〕对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

〔3〕图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：

〔1〕任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；〔2〕对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：

①连：

即连接图形中每一个关键点与旋转中心；

②转：

即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度〔作旋转角〕

③截：

即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

④接：

即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。

最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

〔1〕关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；

〔2〕关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

〔3〕关于中心对称的两个图形，对应线段平行〔或共线〕且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p〔x,y〕关于原点对称点为〔-x,-y〕。

第二十四章圆

24.1圆

24.1.1圆

知识点一圆的定义

圆的定义：

第一种：

在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。

固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。

第二种：

圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比拟圆的两种定义可知：

第一种定义是圆的形成进展描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

〔1〕弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

〔2〕弧：

圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

〔3〕等圆：

等够重合的两个圆叫做等圆。

〔4〕等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

（1）垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的推论：

平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧注意：

因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否那么结论不成立。

24.1.3弧、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

〔1〕弦、弧、圆心角之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

〔3〕注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角一样，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

〔1〕圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

〔2〕圆周角定理的推论：

半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

〔3〕圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。

“同弧或等弧〞是不能改为“同弦或等弦〞的，否那么就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆接四边形与其性质

圆接多边形：

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆接四边形的性质：

圆接四边形的对角互补。

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

〔1〕点与圆的位置关系有：

点在圆外，点在圆上，点在圆三种。

〔2〕用数量关系表示：

假设设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，那么有：

点P在圆外

d＞r；点p在圆上

d=r；点p在圆

d＜r。

知识点二过点作圆

〔1〕经过一个点的圆〔如点A〕以点A外的任意一点〔如点O〕为圆心，以OA为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个。

〔2〕经过两点的圆〔如点A、B〕以线段AB的垂直平分线上的任意一点〔如点O〕为圆心，以OA〔或OB〕为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个。

〔3〕经过三点的圆

①经过在同一条直线上的三个点不能作圆

②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。

如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：

连接AB、BC〔或AB、AC或BC、AC〕并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA〔或OB、OC〕的长为半径作圆即可，这样的圆只能作一个。

知识点三三角形的外接圆与外心

〔1〕经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

〔2〕外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

〔1〕反证法：

假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

〔2〕反证法的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与等相矛盾的结论；③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2直线和圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

〔1〕直线与圆的位置关系有：

相交、相切、相离三种。

〔2〕直线与圆的位置关系可以用数量关系表示假设设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，那么有：

直线l和⊙O相交

d＜r；直线l和⊙O相切

d=r；直线l和⊙O相离

d＞r。

知识点二切线的判定和性质

〔1〕切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

〔2〕切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

〔3〕切线的其他性质：

切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理

〔1〕切线长的定义：

经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

〔2〕切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

〔3〕注意：

切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的切圆和心

（1）三角形的切圆定义：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

（2）三角形的心：

三角形切圆的圆心叫做三角形的心。

（3）注意：

三角形的心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的心时，过三角形的顶点和心的射线，必平分三角形的角。

24.2.3圆和圆的位置关系

知识点一圆与圆的位置关系

（1）圆与圆的位置关系有五种：

①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和含两种；

②如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括切和外切两种；

③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

（2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

假设设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1r2,且r1＜r2，那么有

两圆外离

d＞r1+r2两圆外切

d=r1+r2两圆相交

r2-r1＜d＜r1+r2两圆切

d=r2-r1两圆含

d＜r2-r1

24.3正多边形和圆

知识点一正多边形的外接圆和圆的接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n〔n是大于2的自然数〕等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：

外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：

正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：

中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

〔1〕正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

〔2〕所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。

〔3〕正n边形的每一个角等于，中心角和外角相等，等于。

24.4弧长和扇形面积

知识点一弧长公式l=

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=

×2πR=

。

知识点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR²，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=

。

比拟扇形的弧长公式和面积公式发现：

S扇形=

知识点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。

设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积

。

圆锥的全面积为

。

25.1随机事件与概率

25.1.1随机事件

知识点一必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。

必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。

知识点二事件发生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。

不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2概率

知识点概率

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件