证明三 3 单元复习.docx

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证明三3单元复习

四边形

四边形以及由它衍生出来的平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形

一、知识总结与梳理

（一）四边形的“全家福”

（二）知识要点

1、平行四边形

（1）平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）平行四边形的性质

平行四边形的邻角互补，对角相等；

平行四边形的对边平行且相等；

平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；

若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等．

（3）平行四边形的判定方法

定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

判定方法1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

判定方法2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

判定方法3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

判定方法4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

2、矩形

（1）矩形的定义

有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

具有平行四边形的一切性质；

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等；

矩形是轴对称图形；又是中心对称图形，还是旋转对称图形；

（3）、矩形的判定方法

定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

判定方法1：

有三个角是直角的四边形是矩形；

判定方法2：

对角线相等的平行四边形是矩形．

3、菱形

（1）菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（2）菱形的性质

具有平行四边形的一切特征；

菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形是轴对称图形．

（3）菱形的判定方法

定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

判定方法1：

四条边都相等的四边形是菱形；

判定方法2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

4、正方形

（1）正方形定义

有一组邻边相等并且有一个角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

（2）正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．

边——四边相等、邻边垂直、对边平行；角——四角都是直角；对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；是轴对称图形，有4条对称轴．

（3）正方形的判定方法：

①根据定义；②一组邻边相等的矩形是正方形；③一个角是直角的菱形是正方形．

5、梯形

（1）梯形的定义；

（2）梯形的性质及其判定；

梯形是特殊的四边形所具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．

（3）等腰梯形的性质和判定：

①性质：

等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．

②判定方法：

两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形．

（4）直角梯形

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

（5）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

①“作高”：

使两腰在两个直角三角形中．

②“移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中．

③“廷腰”：

构造具有公共角的两个三角形．

④“等积变形”：

连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．

几种特殊四边形的特征

边

角

对角线

对称性

平行四边形

对边平行且相等

对角相等

两条对角线互相平分

中心对称

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

两条对角线互相平分且相等

轴对称

中心对称

菱形

对边平行

四边都相等

对角相等

两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

轴对称

中心对称

正方形

对边平行四边相等

四个角都是直角

两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

轴对称

中心对称

等腰梯形

两底平行

两腰相等

同一底上的

两个角相等

两条对角线相等

轴对称

二、典型例题解析

例1如图，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求DE、EF、FC的长．

例2如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，BC＝12，求∠B的度数．

例3如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t为何值时，四边形APQD也为矩形？

例4已知梯形ABCD，如图所示，其中AB∥CD，现要求添加一个条件．例如AD＝BC，使梯形ABCD是等腰梯形，那么除了AD＝BC外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯形？

甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件．

甲：

∠A＝∠B；乙：

∠B＋∠D＝180°；丙∠A＝∠D；丁：

梯形是轴对称图形．

你认为哪些同学的条件符合要求？

理由是．

你能另外添加一个其他的条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？

例5阅读下面操作过程，回答后面的问题：

在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图

（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图

（2））．

（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：

S1______S2，S3________S4；

（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；

（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？

课堂练习

一、填空题

1、若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分成2厘米和3厘米的两条线段，则该平行四边形的周长是_________厘米或_________厘米.

2、以不共线的A、B、C三点为其中的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作_________个.

3、若矩形的面积S=16cm2,其中一边是a=2

cm,则另一边b=_________cm.

4、直角三角形斜边上的中线与高线的长分别是6cm、5cm，则它的面积是_______cm2.

5、在△ABC中，AD⊥BC于D，E、F分别是AB、AC的中点，连结DE、DF，当△ABC满足条件_________时，四边形AEDF是菱形（填写一个你认为恰当的条件即可）.

6、如图，矩形ABCD中（AD＞2），以BE为折痕将△ABE向上翻折，点A正好落在DC的A′点，若AE=2，∠ABE=30°，则BC=_________.

7、已知直角梯形一条腰的长为5cm，它与下底成30°的角，则该梯形另一腰的长为_________cm.

8、已知O是

ABCD的对角线的交点，AC=38mm，BD=24mm,AD=14mm，那么△BOC的周长等于_________.

二、选择题

1、不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）

A.AB=CD,AD=BCB.AB

CD

C.AB=CD,AD∥BCD.AB∥CD,AD∥BC

2、如图，

ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围是（）

A.1＜AB＜7B.2＜AB＜14

C.6＜AB＜8D.3＜AB＜4

3、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）

A.AB=CD

B.AC=BD

C.当AC⊥BD时，它是菱形

D.当∠ABC=90°时，它是矩形

4、如图

（1）所示，用一块边长为2

的正方形ABCD厚纸板，按下面的做法做一套七巧板：

作对角线AC，分别取AB、BC的中点E、F，连结EF；连结BD，交EF于G，交AC于H；将正方形ABCD沿画出的线剪开，现把它们拼成一座桥，如图

（2）所示，这座桥阴影部分的面积是（）

A.8B.6C.4D.5

5、正方形的对角线与边长之比为（）

A.1∶1B.

∶1C.1∶

D.2∶1

6、若四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，且∠D=108°，则∠A+∠C的度数等于（）

A.108°B.180°C.144°D.216°

7、在梯形ABCD中，AD∥BC，四边形A′B′C′D′是平行四边形，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D与∠A′∶∠B′∶∠C′∶∠D′的值可能分别是（）

A.2∶3∶6∶4和4∶6∶3∶2B.3∶4∶5∶6和3∶4∶3∶4

C.4∶5∶6∶3和4∶3∶4∶3D.5∶2∶3∶4和6∶5∶4∶3

三、解答题

1、如图，AE∥BD，若AE=5，BD=8，且△ABD的面积为24，设C在直线BD上，则△ACE的面积是多少？

2、如图，矩形ABCD的两对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm,

①判定△AOB的形状；②求对角线的长；③求距形的面积。

3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、

OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？

说明理由。

4、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8。

将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。

求

（1）求EF的长；

（2）求梯形ABCE的面积。

5、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG平分线于点F．

（1）试说明EO=FO；

（2）当点O在边AC上运动时，四边形AECF会是矩形吗?

若是，请证明;若不是，请说明理由

6、如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3.

（1）延长HF交AB于G，则△AHG的面积为.

（2）操作：

固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图12）.探究：

在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？

若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由

参考答案：

一、填空题：

1、720°2、14163、34、4

5、306、AB=AC或AD是∠BAC的平分线，或AD是BC的中线等中的任一个7、38、

9、②③10、45

二、选择题：

11、C12、A13、B14、B15、C16、B17、B18、D19C20、D

三解答题：

21、解：

过A作AF⊥BD交BD于F

∵S△ABD=24，BD=8，∴AF=6

又∵AE∥BD，∴AF即为△ACE中AE上的高

∴S△ACE=

×6×5=30×

=15

22解：

四边形AFCE是平行四边形，理由是：

设AC、BD相交于点O

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA

∵AE、CF分别平分∠DAC、∠BCA

∴∠EAO=

∠DAC，

∠FCO=

∠BCA

∴∠EAO=∠FCO，∴AE∥CF

在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF，OA=OC

∴△AOE≌△COF，∴AE=CF

又∵AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形.

26、解：

（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6

∴AH=

AC=

×6=4

又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分

∴

=

，即

=

，∴HG=

…………………………………2分

∴S△AHG=

AH·HG=

×4×

=

……………………………………3分

（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分

∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形

又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分

又CH=AC-AH=6-4=2

∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形

此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形