平行四边形证明练习题.docx
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平行四边形证明练习题
平行四边形证明练习题
一．解答题
1．以下图，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：
∠DAE=∠BCF．
2．在?
ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：
AE=CF．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2求证：
△ABE≌△CDF．
4．如图，已知：
平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连结BE并延伸与AD的延伸线订交于F点．求证：
BC=DF．
5．如图，在?
ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
6．已知：
如图，?
ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：
△ABE≌△CDF．
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7．如图，已知在?
ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：
DE=BF．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？
为何？
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：
DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：
四边形ABCD是平行四边形．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延伸线于点F，连结BF．
求证：
四边形AFBD是平行四边形．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．
求证：
（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
13．已知：
如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
（1）△ADF≌△CBE；
.
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（2）连结DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明原因．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：
四边形EFGH是平行四边形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
（1）猜想研究：
BE与DF之间的关系：
_________
（2）请证明你的猜想．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：
∠1=∠2．
17．如图，已知E，F分别是?
ABCD的边AB，CD的中点．求证：
ED=BF．
18．如图，BD是?
ABCD的对角线，∠ABD的均分线BE交AD于点E，∠CDB的均分线DF交BC于点F．求证：
四边形DEBF为平行四边形．
19．如图，在?
ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：
四边形BFDE是平行四边形．
.
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20．以下图，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，能够获得BD均分EF，为何？
说明原因．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：
EF=DG且EF∥DG．
22．已知以下图，?
ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：
四边形EHFG是平行四边形．
.
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平行四边形证明练习题
参照答案与试题分析
一．解答题（共22小题）
1．以下图，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：
∠DAE=∠BCF．
考点：
平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判断与性质．
剖析：
依据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，
推出∠DAE=∠BCF即可．
解答：
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF
又∵BE=DF，
∴BF=DE，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DAE=∠BCF．
评论：
本题考察了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判断的应用，重点是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考察学生的推理能力．
2．在?
ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：
AE=CF．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．
剖析：
依据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，依据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
评论：
本题主要考察对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判断等知识点的理解和掌握，能依据性质证出△ABE≌△CDF是证本题的重点．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2
.
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求证：
△ABE≌△CDF．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判断．
剖析：
利用平行四边形的性质和题目供给的相等的角能够为证明三角形全等供给足够的条件．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∴在：
△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
评论：
本题考察了平行四边形的性质及全等三角形的判断，依据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的重点．
4．如图，已知：
平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连结BE并延伸与AD的延伸线订交于F点．求证：
BC=DF．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．
剖析：
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，依据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又
由E是CD边的中点，依据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，
又∵EC=ED，
∴△EBC≌△EFD（AAS），
∴BC=DF．
评论：
本题考察了平行四边形的性质以及全等三角形的判断与性质．本题难度不大，解题的重点是要注意数形联合思想的应用．
5．（2013?
莒南县二模）如图，在?
ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．
.
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剖析：
依据平行四边形的性质对角线相互均分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，进而利用平
行四边形的判断定理“对角线相互均分的四边形是平行四边形”判断BFDE是平行四边形，进而得出BE=DF，
BE∥DF．
解答：
解：
由题意得：
BE=DF，BE∥DF．原因以下：
连结DE、BF．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
评论：
本题考察了平行四边形的基天性质和判断定理的运用．性质：
①平行四边形两组对边分别平行；②平行四
边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线相互均分．判断：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角
分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相互均分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形．
6．已知：
如图，?
ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
求证：
△ABE≌△CDF．
考点：
平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判断．
剖析：
依据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，依据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，依据SAS证出即
可．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
评论：
本题主要考察对平行四边形的性质，全等三角形的判断，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解本题的重点．
7．如图，已知在?
ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：
DE=BF．
考点：
平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判断与性质．
.
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剖析：
依据平行四边形的性质获得DC=AB，DC∥AB，依据平行线的性质获得∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，
能推出△AOF≌△COE，获得CE=AF，即可证出答案．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵DC=AB，
∴DE=BF．
评论：
本题主要考察对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判断等知识点的理解和掌握，解
本题的重点是依据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？
为何？
考点：
等腰梯形的性质；平行线的判断与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判断．
剖析：
依据等腰三角形性质求出∠B=∠C，依据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，依据平行
四边形的判断推出即可．
解答：
解：
是平行四边形，
原因：
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∴∠AEB=∠C，
∴AE∥DC，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
评论：
本题考察了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判断，平行四边形的判断等知识点的应
用，重点是依据题意推出AE∥CD，培育了学生剖析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：
DE=BF．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质；平行四边形的判断．
剖析：
连结BE，DF，BD，BD交AC于O，依据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，依据平
行四边形的判断推出四边形BEDF是平行四边形即可．
解答：
证明：
连结BE，DF，BD，BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
.
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∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF．
评论：
本题考察了平行四边形的性质和判断等应用，重点是能娴熟地运用平行四边形的性质和判断进行推理，本题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：
四边形ABCD是平行四边形．
考点：
平行四边形的判断；平行线的性质；全等三角形的判断与性质．
剖析：
求出∠AED=∠CFB=90°，依据HL证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，获得AD∥BC，依据平
行四边形的判断判断即可．
解答：
证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△AED和Rt△CFB中
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），
∴∠ADE=∠CBD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
评论：
本题考察了平行四边形的判断，平行线的性质，全等三角形的性质和判断等知识点的应用，重点是推出
AD∥BC，主要考察学生运用性质进行推理的能力．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延伸线于点F，连结BF．
求证：
四边形AFBD是平行四边形．
考点：
平行四边形的判断；全等三角形的判断与性质．
专题：
证明题．
剖析：
求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，依据平行四边形的判断推出即可．
.
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解答：
证明：
∵E为AD中点，
∴AE=DE，∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．
评论：
本题考察了平行四边形的性质和判断，全等三角形的性质和判断，重点是推出AF=DC=BD．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．
求证：
（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
考点：
等腰梯形的性质；等边三角形的判断；平行四边形的判断与性质．
剖析：
（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；
（2）依据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，
推出DC=EC即可证出答案．
解答：
证明：
（1）∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，∵AB=DC，
∴DE=DC．
（2）证明：
∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，
∴DC=EC，
由
（1）知：
DE=DC，
∴DE=DC=EC，
∴△DEC是等边三角形．
评论：
本题主要考察平等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判断，等边三角形的判断等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解本题的重点．
13．已知：
如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
（1）△ADF≌△CBE；
（2）连结DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明原因．
.
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考点：
平行四边形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．
剖析：
（1）依据平行四边形的性质对边平行且相等获得AD与BC平行且相等，由AD与BC平行获得内错角∠DAF
与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，依据“SAS”获得△ADF与△CBE全等；
（2）由
（1）证出的全等，依据全等三角形的性质获得DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角
相等两直线平行获得DF与BE平行，依据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可获得四边形DEBF
的形状．
解答：
证明：
（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC（1分）
∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）
∴△ADF≌△CBE（4分）
（2）四边形DEBF是平行四边形（5分）
∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形（6分）
评论：
本题综合考察了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．此中第2问是一道先试验猜想，
再研究证明的新式题，其目的是考察学生提出问题，解决问题的能力，这种几何试题将成为此后中考的热门试题．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：
四边形EFGH是平行四边形．
考点：
平行四边形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．
剖析：
易证得△AEH≌△CGF，进而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，依据两组对边分别相等
的四边形是平行四边形而得证．
解答：
证明：
在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，AH=CF（已知），
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），
∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH；
∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
评论：
本题考察了平行四边形的判断和性质、全等三角形的判断和性质．平行四边形的判断方法共有五种，应用
.
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时要仔细领悟它们之间的联系与差别，同时要依据条件合理、灵巧地选择方法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．
（1）猜想研究：
BE与DF之间的关系：
平行且相等
（2）请证明你的猜想．
考点：
平行四边形的判断与性质．
剖析：
（1）BE平行且等于DF；
（2）连结BD交AC于O，依据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形
BEDF即可．
解答：
（1）解：
BE和DF的关系是：
BE=DF，BE∥DF，
故答案为：
平行且相等．
（2）证明：
连结BD交AC于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
评论：
本题考察了平行四边形的性质和判断的应用，主要检查学生可否娴熟地运用平行四边形的性质和判断进行推理，题型较好，经过本题培育了学生剖析问题和解决问题的能力，同时培育了学生的察看能力和猜想能力．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：
∠1=∠2．
考点：
平行四边形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．
剖析：
由三角形全等（△ABE≌△CDF）获得BE=DF，因此四边形BFDE是平行四边形，依据对角相等即可得证．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；
.
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∵BE∥DF（已知），
∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB=∠CFD（等量代换），
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．
评论：
本题主要考察平行四边形的性质和三角形全等的判断，需要娴熟掌握并灵巧运用．平行四边形的判断定理：
对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．如图，已知E，F分别是?
ABCD的边AB，CD的中点．求证：
ED=BF．
考点：
平行四边形的判断与性质．
剖析：
依据平行四边形的性质获得
AB∥CD，AB=CD，依据线段的中点的定义获得
EB=AB，DF=
CD，即BE=DF，
BE∥DF，获得平行四边形EBFD，依据平行四边形的性质即可获得答案．
解答：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别是?
ABCD的边AB，CD的中点，∴EB=AB，DF=CD，
∴BE=DF，∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴ED=BF．
评论：
本题主要考察对平行四边形的性质和判断的理解和掌握，能灵巧运用平行四边形的性质和判断进行证明是解本题的重点．
18．如图，BD是?
ABCD的对角线，∠ABD的均分线BE交AD于点E，∠CDB的均分线DF交BC于点F．求证：
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