九年级数学二次函数实际应用专项练习四.docx

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九年级数学二次函数实际应用专项练习四

九年级数学二次函数实际应用专项练习（四）

1．某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，市场调查发现：

在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．

（1）求该种商品每件的进价为多少元．

（2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？

2．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+0.9．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶上方0.4米处，求小华的身高是多少？

此时小华若向点O方向走多少米，就能让绳子甩到最高处时，绳子刚好通过他的头顶．

（3）如果有若干个与小华同身高的同学一起站在OD之间玩跳绳，现知只要绳子甩到最高处时超过她们的头顶且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.55米就可以一起玩，问最多可以几个同学一起玩．

3．某实验器材专营店为迎接我县理化实验操作中考，购进一批电学实验盒子，一台电学实验盒子的成本是30元，当售价定为每台50元时，每天可卖出20台，但由于电学实验盒子是特殊时期的销售产品，专营店准备对它进行降价销售，根据以往经验，每台售价每降低3元，每天的销售量增加6台．设每台降低了x（元），每天销售量为y（台）．

（1）求y与x之间的函数表达式（不用写出x的取值范围）；

（2）每天的利润用w（元）表示，当每台降低多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

4．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：

y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

5．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米．

（1）求活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；

（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？

并求出最大面积．

6．鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润w最大，最大利润是多少？

（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？

7．某公司生产某种商品每件成本为20元，这种商品在未来40天内的日销售量y（件）与时间x（天）的关系如下表：

时间x（天）

1

2

3

4

…

日销售量y（件）

94

92

90

88

…

未来40天内，前20天每天的价格m（元/件）与时间x的函数关系式为

，后20天每天的价格为30元/件（21≤x≤40）．

（1）分析上述表中的数据，求出y（件）与x（天）之间的函数关系式；

（2）当1≤x≤20时，设日利润为W元，求出W与x的函数关系式；

（3）在未来40天中，哪一天的日利润最大？

最大日利润是多少？

8．疫情期间，某防疫物品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：

当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润．

售价x（元）

…

70

65

60

…

销售量y（个）

…

300

350

400

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）售价为多少时利润最大？

最大利润为多少？

9．用18m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗框的透光面积为ym2．（铝合金型材宽度不计）

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若1≤x≤4，求窗框的透光面积的最大值与最小值．

10．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．

（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；

（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；

（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．

参考答案

1．解：

（1）设每件商品的进价为a元，

根据题意，得：

80×0.8﹣a＝60%a，

解得：

a＝40，

答：

该种商品每件的进价为40元；

（2）y＝（80×0.8﹣x﹣40）（220+20x）

＝﹣20x2+260x

+5280

＝﹣20（x﹣6.5）2+6125，

∴当x＝6.5时，y最大，

∵x为整数，

∴x1＝7，x2＝6，

∴当x＝6或7时，y最大为6120元．

80×0.8﹣7＝57（元），80×0.8﹣6＝58（元），

∴当售价为57元或58元时，每星期的利润最大，最大利润为6120元．

2．解：

（1）由题意得把点E（1，1.4），B（6，0.9），代入y＝ax2+bx+0.9得，

，

解得

，

∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9；

（2）把x＝3代入y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9得：

y＝﹣0.1×32+0.6×3+0.9＝1.8；

1.8﹣0.4＝1.4（米），

∴小华的身高是1.4米；

把y＝1.4代入y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9得﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.4，

解得：

x1＝1，x2＝5（舍），

则3﹣1＝2（米），

此时小华向点O方向走2米就能让绳子甩到最高处时绳子刚好通过他的头顶．

（3）当y＝1.4时，﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.4，

解得x1＝1，x2＝5，

∴5﹣1＝4，

∴4÷0.55≈7.27，

∴最多可以8个同学一起玩．

3．解：

（1）由题意可得，y＝20+

×6＝20+2x，

∴y与x之间的函数表达式是y＝2x+20；

（2）由题意得，w＝（50﹣30﹣x）（20+2x）＝（20﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣5）2+450，

当x＝5时，w有最大值450，

∴当售价为45元，利润最大为450元，

即当每台降低5元时获得最大利润，最大利润是450元．

4．解：

（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，

∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；

（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，

解得：

x＝35或x＝25，

∵这种产品的销售价不高于每千克28元，

∴x＝25，

答：

该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

5．解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝x米，

∴BC＝（40﹣2x）米，

∵墙长为22米，

∴0＜40﹣2x≤22，

∴9≤x＜20，

∴S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，

即S＝﹣2x2+40x（9≤x＜20）；

（2）设矩形的面积为S

S＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，

由

（1）知，9≤x＜20，

∴当x＝10时，S有最大值200，

即当AB为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．

6．解：

（1）y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700．

（2）设每星期利润为W元，

W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000．

∴x＝50时，W最大值＝4000．

当每件售价为50元时，即降价了60﹣50＝10（元），

∴每件降价定为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．

（3）①由题意：

﹣10（x﹣50）2+4000＝3910

解得：

x＝53或47，

∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．

②由题意：

﹣10（x﹣50）2+4000≥3910，

解得：

47≤x≤53，

∵y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700．

170≤y≤230，

∴每星期至少要销售该款童装170件．

7．解：

（1）设一次函数为y＝kx+b，由题意，得：

，

解得：

，

∴y＝﹣2x+96，

经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，

∴所求函数解析式为y＝﹣2x+96；

（2）设前20天日销售利润为W元：

W＝（﹣2x+96）（

x+25﹣20）

＝﹣

x2+14x+480；

（3）∵1≤x≤20，前20天日销售利润W，

∴当x＝14时，W＝﹣

x2+14x+480＝﹣

（x﹣14）2+578，即二次函数有最大值578（元），

后20天日销售利润为S元，

S＝（30﹣20）（﹣2x+96）＝﹣20x+960，

当21≤x≤40时，S随x的增大而减小．

则当x＝21时，S有最大值为540元，

∵578＞540，

∴第14天时，销售利润最大，为578元．

8．解：

（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，

将（70，300）、（65，350）代入上式得

，

解得

，

故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；

（2）当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润，则商品的进价为70÷1.4＝50（元），

设销售利润为w（元），

则w＝y（x﹣50）＝（﹣10x+1000）（x﹣50）＝﹣10（x﹣100）（x﹣50），

∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝

（100+50）＝75（元）时，最大利润为6250（元），

故售价为75元时，利润最大，最大利润为6250元．

9．解：

（1）设窗框的宽为xm，则长为

（18﹣3x）m，

根据题意可得：

y＝x×

×（18﹣3x）＝﹣

x（x﹣6）＝﹣

x2+9x；

（2）函数的对称轴为x＝

（0+6）＝3，

∵﹣

＜0，故y有最大值，

当x＝3时，y的最大值为

；

当x＝1时，y有最小值为

，

故窗框的透光面积的最大值与最小值分别为13.5m2、7.5m2．

10．解：

（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，

将（9，110），（10，108）代入，得

，

解得：

，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+128（8≤x≤12）；

（2）根据题意得：

（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318，

解得：

x＝11或61（舍去），

∴x＝11．

即：

超市将大蒜销售单价定为11元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；

（3）设每天的销售利润为W（元），则：

W＝（x﹣8）y

＝（x﹣8）（﹣2x+128）

＝﹣2（x﹣8）（x﹣64），

∵a＝﹣2＜0，

∴当

即x＜36时，W随x的增大而增大，

∵8≤x≤12，

∴当x＝12时，W取得最大值，最大值为416．

答：

当超市大蒜销售单价定为12元时，每天销售大蒜的利润最大，最大利润是416元．